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5．1.2　导数的概念及其几何意义
第1课时　导数的概念
学习目标　1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
导语
同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，从此也可看出，现实中的瞬时速度实际上是不存在的，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是极限的思想，但在几何上，曲线的切线斜率却是存在的，今天我们继续研究更一般的问题．
一、导数的概念
问题　瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？
提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率．实际上，上节课我们通过研究抛物线的切线斜率就有了瞬时变化率在数学中的意义．
知识梳理
1．平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
2．导数
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ .
注意点：(1)曲线切线的斜率即函数y＝f(x)在x＝x0处的导数；(2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价．
例1　已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01；
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解　(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)
＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
反思感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解　函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
二、导数定义的直接应用
例2　求函数y＝x－在x＝1处的导数．
解　∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴ ＝ ＝2.
从而y′|x＝1＝2.
反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)求极限 .
跟踪训练2　(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
答案　B
解析　 ＝
＝ ＝ (2＋Δx)＝2.
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
答案　D
解析　因为＝
＝＝，
所以f′(m)＝ ＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
三、导数在实际问题中的意义
例3　(教材P65例2改编)航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度为h(t)＝5t3＋30t2＋45t＋4，其中h的单位为m，t的单位为s.
(1)h(0)，h(1)，h(2)分别表示什么？
(2)求第2s内的平均速度；
(3)求第2s末的瞬时速度．
解　(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度；
h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度．
(2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度为
＝
＝＝170(m/s)．
(3)第2s末的瞬时速度为
＝
＝
＝ ＝225(m/s)．
因此，第2s末的瞬时速度为225 m/s.
反思感悟　导数的物理意义是：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为它的瞬时变化率．
跟踪训练3　一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝
求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．
解　当0≤t<3时，s(t)＝3t2，
＝＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
当t≥3时，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝
＝＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
s′(1)＝6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度为6米/分，s′(4)＝18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度为18米/分．
1．知识清单：
(1)导数的概念．
(2)导数定义的直接应用．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法归纳：定义法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．
1．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．Δx
答案　A
解析　＝＝0.
2．若函数f(x)可导，则 等于(　　)
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
答案　C
解析　
＝－ ＝－f′(1)．
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案　C
解析　＝
＝＝4＋2Δx.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案　
解析　f′(1)＝
＝
＝ ＝.
课时对点练
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案　B
解析　＝＝＝－1.
2．已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案　B
解析　由题意，知f′(3)＝ ＝－2.
3．设函数f(x)在x0处附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
答案　C
解析　∵＝＝a＋bΔx.
∴f′(x0)＝ ＝a.
4．已知某质点的运动方程为s＝2t2－t，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在2s末的瞬时速度为(　　)
A．3 m/s B．5 m/s C．7 m/s D．9 m/s
答案　C
解析　 ＝
＝ (7＋2Δt)＝7，
所以该质点在2s末的瞬时速度为7 m/s.
5．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案　C
解析　∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.
6．(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则 的值(　　)
A．与x0有关 B．与h有关
C．与x0无关 D．与h无关
答案　AD
解析　由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD.
7．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.
答案　3
解析　因为f′(1)＝
＝ ＝a.
又因为f′(1)＝3，所以a＝3.
8．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为－8，则f(x0)＝________.
答案　9
解析　由题知－8＝ ＝ (2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.
9．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
10．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
解　因为＝＝＝3，
所以f′(2)＝ ＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
11．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则f′(1)为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案　B
解析　令x→0，则Δx＝1－(1－2x)＝2x→0，
所以
＝ ＝f′(1)＝－1.
12．已知函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B．f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈(a，b)，函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈(a，b)，使得函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率
答案　D
解析　∵f(x)在a到b之间的平均变化率是，
g(x)在a到b之间的平均变化率是，
又∵f(b)＝g(b)，f(a)＝g(a)，
∴＝，
∴A，B错误；
易知函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x＝x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，
同理可得，函数g(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，即函数g(x)在该点处的切线的斜率，
由题中图象可知，
当x0∈(a，b)时，函数f(x)在x＝x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x＝x0处切线的斜率，也有可能小于g(x)在x＝x0处切线的斜率，故C错误，D正确．
13．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________.
答案　－a
解析　∵
＝
＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－a.
14．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
答案　[x3，x4]
解析　由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，，，
结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
答案　2
解析　由导数的定义，得f′(0)＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b>0.
又∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
当且仅当a＝c＝时等号成立．
16．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
解　山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为
hBC＝＝＝，
∵hBC>hAB，
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．
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