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§5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
[学习目标]　
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
一、基本初等函数的求导公式
问题1　回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？
问题2　如何求常函数f(x)＝c的导数？
知识梳理
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝______
f(x)＝xα，(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax (a>0，且a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝______
f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
反思感悟　(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝2 023；(2)y＝；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.
二、导数公式的应用
例2　某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln 1.1≈0.095)
反思感悟　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数．
跟踪训练2　从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cos t表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．
三、利用导数研究曲线的切线方程
例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
延伸探究　求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．
反思感悟　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3　(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　)
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为________．
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数．
1．(多选)下列选项正确的是(　　)
A．y＝ln 2，则y′＝
B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2xln 2
D．y＝log2x，则y′＝
2．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f′(1)＝1，则a等于(　　)
A．e B. C. D.
3．已知f(x)＝，则f′(8)等于(　　)
A．0 B．2 C. D．－1
4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是__________________________.
5.2.1　基本初等函数的导数
问题1　幂函数、指数函数、对数函数、三角函数．
问题2　因为＝＝＝0，
所以f′(x)＝ ＝ 0＝0，即(c)′＝0.
我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：
f(x)＝x f′(x)＝1＝1x1－1；
f(x)＝x2 f′(x)＝2x＝2x2－1；
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2＝3x3－1；
f(x)＝＝x－1 f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；
f(x)＝＝ f′(x)＝＝.通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)′＝αxα－1.
知识梳理
0　cos x　－sin x　axln a　ex
例1　解　(1)y′＝0.
(2)y′＝xln ＝－xln 3.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝，
∴y′＝＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
跟踪训练1　解　(1)因为y＝2 023，
所以y′＝(2 023)′＝0.
(2)因为y＝＝，
所以y′＝.
(3)因为y＝4x，
所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝log3x，
所以y′＝.
例2　解　由题意得p′(t)＝1.1tln 1.1，
所以p′(5)＝1.15ln 1.1≈1.611×0.095
≈0.15(万元/年)，
所以在第5个年头，该市房价上涨的速度大约是0.15万元/年．
跟踪训练2　解　由q＝cos t得q′＝－sin t，
所以q′(5)＝－sin 5，q′(7)＝－sin 7，
即第5秒，第7秒时的电流强度分别是－sin 5安，－sin 7安．
例3　解　∵y′＝，
∴k＝y′|x＝e＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，
即x－ey＝0.
延伸探究　
解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上．
∴设切点为Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
∴＝，即x0＝e，
∴Q(e,1)，∴k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，
即x－ey＝0.
跟踪训练3　(1)A　[因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.]
(2)－1
解析　设切点坐标为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝.
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以＝＝1，
即x0＝1，
所以切点坐标为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
随堂演练
1．BCD　2.A　3.C　4.x＋y－6＝0

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