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5.2.2　导数的四则运算法则
[学习目标]　
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
一、f(x)±g(x)的导数
问题1　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？
知识梳理
两个函数和或差的导数：[f(x)±g(x)]′＝____________.
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x5－x3＋cos x；
(2)y＝lg x－ex.
反思感悟　两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的运算法则即可．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)f＝x2＋sin x；
(2)g＝x3－x2－6x＋2.
二、f(x)g(x)和的导数
问题2　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？′与是否相等？
知识梳理
1．[f(x)·g(x)]′＝__________________，特别地，[cf(x)]′＝____________.
2.′＝__________________________.
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
反思感悟　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝x2＋tan x；
(3)y＝.
三、导数四则运算法则的应用
例3　(1)日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1 t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c＝.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　)
A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
(2)曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　)
A. B. C．1 D．2
反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同．
跟踪训练3　(1)记函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝3xf′(2)－2ln x，则f(1)等于(　　)
A．1 B．2 C. D.
(2)曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
1．知识清单：
(1)导数的运算法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　)
A. B.
C. D.
3．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位：s，s的单位：m)，则它在第4 s末的瞬时速度应该为________m/s.
5.2.2　导数的四则运算法则
问题1　设y＝f(x)＋g(x)＝x3＋x，
Δy＝(x＋Δx)3＋(x＋Δx)－(x3＋x)
＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，
＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2，
y′＝ ＝3x2＋1，
而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)．
设y＝f(x)－g(x)＝x3－x，
Δy＝(x＋Δx)3－(x＋Δx)－(x3－x)
＝3x2Δx＋3x(Δx)2＋(Δx)3－Δx，
＝3x2－1＋3xΔx＋(Δx)2，
y′＝ ＝3x2－1，
而f′(x)＝3x2，g′(x)＝1，
所以[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
知识梳理
f′(x)±g′(x)
例1　解　(1)y′＝′－′＋′＝5x4－3x2－sin x.
(2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex.
跟踪训练1　解　(1)∵f＝x2＋sin x，
∴f′＝2x＋cos x.
(2)∵g＝x3－x2－6x＋2，
∴g′＝3x2－3x－6.
问题2　因为[f(x)g(x)]′＝(x4)′＝4x3，
f′(x)g′(x)＝3x2·1＝3x2，
′＝(x2)′＝2x，
＝＝3x2，
所以[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，
′≠.
知识梳理
1．f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　cf′(x)
2.(g(x)≠0)
例2　解　(1)y′＝(x2＋xln x)′
＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·
＝2x＋ln x＋1.
(2)y′＝′＝
＝
＝.
(3)y′＝′＝＝.
(4)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′·(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)
＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
跟踪训练2　解　(1)∵y＝(x2＋1)·(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)∵y＝x2＋，
∴y′＝(x2)′＋′
＝2x＋
＝2x＋.
(3)y′＝
＝＝.
例3　(1)D　[净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80所以c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.]
(2)B　[设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴＝ln x0＋1＝1，
解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.]
跟踪训练3　(1)D　[f′(x)＝3f′(2)－，
∴f′(2)＝3f′(2)－1，
解得f′(2)＝，
∴f(x)＝x－2ln x，
∴f(1)＝.]
(2)1
解析　由题意可知，y′＝x·ex，
y′|x＝1＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积S＝×2×1＝1.
随堂演练
1．D　2.D　3.A　4.

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