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初一数学新定义题型专练
例题讲解
1．规定：对于确定位置的三个数a，b，c，计算，将这三个数的最小值称为a，b，c的“白马数”．例如，对于1，﹣2，3，因为．所以1，﹣2，3的“白马数”为．调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“白马数”，若其中的一个“白马数”为2，则x＝　 　．
2．[新定义运算]：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2．
（1）填空：log66＝　 　，log0.5＝　 　；
（2）如果log2|m﹣5|＝3，求m的值．
3．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被5整除，则t的值 　 　．
4．定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为﹣2，1，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的最小值是 　 　．
5．学习材料：对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异位数”，将一个“异位数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
问题解决：
（1）计算：F（243）＝　 　；F（617）＝　 　；
（2）若n为“异位数”，则F（n）的最大值与最小值的差为 　 　；
（3）若m＝为“异位数”，且满足a＜b＜c，若F（m）＝8，则m＝　 　；
（4）若s，t都是“异位数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是整数），规定：k＝，当F（s）+F（t）＝16时，k的值为 　 　．
6．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和等数”．例如：4563，x＝4+5＝9，y＝6+3＝9，因为x＝y，所以4563是“和等数”．
（1）请判断3975、5648是否是“和等数”；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的所有满足条件的“和等数”．
7．阅读下列材料：
若一个三位自然数的各数位上数字互不相同，且满足百位数字与个位数字之和为十位数字的两倍，则称这个数为“等差数”．例如：345，因为3+5＝2×4，所以345是一个“等差数”．
（1）最小的“等差数”为 　 　；最大的“等差数”为 　 　．
（2）已知M＝，N＝（其中1≤a≤4，0≤b≤4，a、b均为整数），若M、N的和为“等差数”，求M的值．
巩固练习
8．已知[x]表示不超过x的最大整数．例如：[4.8]＝4，[﹣1.8]＝﹣2．
（1）[0.6]＝　 　；[﹣2.2]＝　 　；[﹣0.5]＝　 　；
（2）求[﹣5.5]﹣[3.1]﹣[﹣4.8]的值；
（3）嘉淇在探究中发现，[﹣4.1]＝﹣5，[﹣4.3]＝﹣5，[﹣4.5]＝﹣5，[﹣4.99]＝﹣5，如果[x]＝﹣5，那么有理数x有没有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由．
9．对于一个三位自然数，若百位数字的2倍加上十位数字的3倍，再加上个位数字的和能被7整除，则称这个三位数为“太阳数”．如：448，2×4+3×4+8＝28＝4×7，故448是“太阳数”．
（1）请写出最小的三位“太阳数”是 　 　，最大的三位“太阳数”是 　 　；
（2）若一个小于700的三位“太阳数”满足百位数字是十位数字的2倍，求这个“太阳数”．
10．高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]＝﹣2；②[x]+[﹣x]＝0；③[2.5]+[﹣2.5]＝﹣1；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为2．其中正确的结论有 　 　（填序号）．
11．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y＝ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a＝1，b＝2，c＝3时，1△3＝1×1+2×3+3×1×3＝16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2＝3，2△3＝4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d＝x，求a、b、c、d的值．
12．数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质．数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，而哥德巴赫猜想就是“皇冠上的明珠”．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究方面就取得国际最领先地位，为我国赢得世界荣誉．现在我们来研究整数的一种简单的现象：定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b互为质数）有相同余数（余数不能为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”．例如：13+3＝4…1，13÷4＝3…1所以13是3和4的“公平数”．
又例如：32÷5＝6…2，32÷6＝5…2所以32是5和6的“公平数”．
（1）判断：60、55是否为7和8的“公平数”，请说明理由；
（2）求：在自然数中100以内5和7的“公平数”．
参考答案与试题解析
1．规定：对于确定位置的三个数a，b，c，计算，将这三个数的最小值称为a，b，c的“白马数”．例如，对于1，﹣2，3，因为．所以1，﹣2，3的“白马数”为．调整﹣1，6，x这三个数的位置，得到不同的“白马数”，若其中的一个“白马数”为2，则x＝　﹣7或8　．
【解答】解：由题意得：﹣1，6，x这三个数的位置为：6，﹣1，x或6，x，﹣1或x，6，﹣1．
当三个数的位置为：6，﹣1，x时，
6﹣（﹣1）＝7，若＝2，则x＝2，
∵＝﹣1＜2，
∴x＝2不合题意，舍去．
若＝2，则x＝﹣7，
∵＞2，
∴x＝﹣7符合题意；
当三个数的位置为：6，x，﹣1时，
若6﹣x＝2，则x＝4，
∵＞2，＜2，
∴x＝4不合题意，舍去，
若＝2，则x＝5，
∵6﹣5＝1＜2，
∴x＝5 不合题意，舍去，
综上，x的值为﹣7．
当三个数的位置为：x，6，﹣1时，
若x﹣6＝2，则x＝8，
∵＞2，＝＞2，
∴x＝8符合题意，
∴x＝8．
若＝2，则x＝3，
∵3﹣6＝﹣3＜2，
∴x＝3不符合题意，舍去．
综上，x的值为﹣7或8．
故答案为：﹣7或8．
2．[新定义运算]：如果ab＝N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，例如：因为53＝125，所以log5125＝3；因为112＝121，所以log11121＝2．
（1）填空：log66＝　1　，log0.5＝　3　；
（2）如果log2|m﹣5|＝3，求m的值．
【解答】解：（1）∵61＝6，（）3＝，
∴log66＝1，log0.5＝3，
故答案为：1，3；
（2）根据题意知23＝|m﹣5|，即|m﹣5|＝8，
则m﹣5＝8或m﹣5＝﹣8，
解得m＝13或m＝﹣3．
3．如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被5整除，则t的值 　26或27或t＝28或t＝2　．
【解答】解：∵s和t是一对“黄金搭档数”，s与t的和能被5整除，
∴s+t＝55，
∵两位数s和两位数t的十位数字相同，
∴s与t的十位数字是2，
∴t＝26或27或t＝28或t＝29，
故答案为：26或27或t＝28或t＝29．
4．定义：数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离满足2倍关系，则称该点是其它两个点的“友好点”，这三点满足“友好关系”，已知数轴上点A，B表示的数分别为﹣2，1，点C从点B出发，沿数轴的负方向运动．在运动过程中，使A，B，C三点满足“友好关系”的点C表示的数的最小值是 　﹣5　．
【解答】解：由题意可知，点C在点A的左侧，设点C所表示的数为x，
根据“友好点”的定义可得，BC＝2AC，
∴1﹣x＝2（﹣2﹣x），
解得x＝﹣5．
故答案为：﹣5．
5．学习材料：对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异位数”，将一个“异位数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
问题解决：
（1）计算：F（243）＝　9　；F（617）＝　14　；
（2）若n为“异位数”，则F（n）的最大值与最小值的差为 　18　；
（3）若m＝为“异位数”，且满足a＜b＜c，若F（m）＝8，则m＝　125或134　；
（4）若s，t都是“异位数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是整数），规定：k＝，当F（s）+F（t）＝16时，k的值为 　　．
【解答】解：（1）F（243）＝（234+423+342）÷111＝999÷111＝9，
F（617）＝（671+716+167）÷111＝1554÷111＝14，
故答案为：9，14；
（2）当n的三位数字分别是9.8，7时，F（n）的值最大，
此时F（n）＝7+8+9＝24，
当n的三位数字分别是1，2，3时，F（n）的值最小，
此时F（n）＝6，
∴24﹣6＝18，
∴F（n）的最大值与最小值的差为18，
故答案为：18；
（3）∵F（m）＝8，
∴a+b+c＝8，
∵a＜b＜c，
∴a＝1，b＝2，c＝5或a＝1，b＝3，c＝4，
∴m＝125或，mm＝134，
故答案为：125或134；
（4）∵s＝100x+32，
∴F（s）＝x+3+2＝5+x，
∵t＝150+y，
∴F（t）＝1+5+y＝6+y，
∵F（s）+F（t）＝16，
∴11+x+y＝16，
∴x+y＝5，
∵x≠2，x≠3，y≠1，
∴x＝1或x＝4，y＝2或y＝3或y＝4，
∴x＝1，y＝4，
∴s＝132，t＝154，
∴F（s）＝6，F（t）＝10，
∴k＝，
故答案为：．
6．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“和等数”．例如：4563，x＝4+5＝9，y＝6+3＝9，因为x＝y，所以4563是“和等数”．
（1）请判断3975、5648是否是“和等数”；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的所有满足条件的“和等数”．
【解答】解：（1）3975是“和等数”；5648不是“和等数”；理由如下：
3975，x＝3+9＝12；y＝7+5＝12，
∵x＝y，
∴3975是“和等数”；
∴5648，x＝5+6＝11；y＝4+8＝12，
∵x≠y，
∴5648不是“和等数”．
（2）设这个“和等数”千位、百位、十位、个位上数字分别为a、b、c、d，
根据题意得：d＝2a，a+b＝c+d，b+c＝12，
∴2c+a＝12，
即a＝2，4，6，8，d＝4，8，12（舍去），16（舍去），
①当a＝2，d＝4时，2（c+1）＝12，可知c+1＝6且a+b＝c+d，
∴c＝5，b＝7，
②当a＝4，d＝8时，2（c+2）＝12，可知c+2＝6且a+b＝c+d，
∴c＝4，b＝8，
综上所述，这个数为2754和4848．
7．阅读下列材料：
若一个三位自然数的各数位上数字互不相同，且满足百位数字与个位数字之和为十位数字的两倍，则称这个数为“等差数”．例如：345，因为3+5＝2×4，所以345是一个“等差数”．
（1）最小的“等差数”为 　123　；最大的“等差数”为 　987　．
（2）已知M＝，N＝（其中1≤a≤4，0≤b≤4，a、b均为整数），若M、N的和为“等差数”，求M的值．
【解答】解：（1）最小的”等差数“为123，最大的”等差数“为987，
故答案为123，987；
（2）∵0≤b≤4，1≤a≤4，
∴1≤b+b+1≤9，3≤2a+1≤9，
∴M+N＝＝
∵M、N的和为等差数，
∴2a+1+2b+1＝2×5，
∴a+b＝4，
∵1≤a≤4，0≤b≤4，且a、b为整数，
∴当a＝1时，b＝3，M＝213，N＝144，M+N＝357，符合题意；
当a＝2时，b＝2，M＝412，N＝143，M+N＝555，不符合题意；
当a＝3时，b＝1，M＝611，N＝142，M+N＝753，符合题意；
当a＝4时，b＝0，M＝810，N＝141，M+N＝951，符合题意．
综上所述，M的值为213或611或810．
8．已知[x]表示不超过x的最大整数．例如：[4.8]＝4，[﹣1.8]＝﹣2．
（1）[0.6]＝　0　；[﹣2.2]＝　﹣3　；[﹣0.5]＝　﹣1　；
（2）求[﹣5.5]﹣[3.1]﹣[﹣4.8]的值；
（3）嘉淇在探究中发现，[﹣4.1]＝﹣5，[﹣4.3]＝﹣5，[﹣4.5]＝﹣5，[﹣4.99]＝﹣5，如果[x]＝﹣5，那么有理数x有没有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）[0.6]＝0，[﹣2.2]＝﹣3，[﹣0.5]＝﹣1，
故答案为：0，﹣3，﹣1；
（2）[﹣5.5]﹣[3.1]﹣[﹣4.8]
＝﹣6﹣3﹣（﹣5）
＝﹣6﹣3+5
＝﹣4；
（3）x有最小值，理由如下：
∵[x]＝﹣5，
∴﹣5≤x＜﹣4，
∴x的最小值为﹣5．
9．对于一个三位自然数，若百位数字的2倍加上十位数字的3倍，再加上个位数字的和能被7整除，则称这个三位数为“太阳数”．如：448，2×4+3×4+8＝28＝4×7，故448是“太阳数”．
（1）请写出最小的三位“太阳数”是 　105　，最大的三位“太阳数”是 　994　；
（2）若一个小于700的三位“太阳数”满足百位数字是十位数字的2倍，求这个“太阳数”．
【解答】解：（1）∵“太阳数”是三位数，而三位数要最小，百位数字最小是1，十位数字最小是0，个位数字是a，
设这个最小的“太阳数”为a，
由“太阳数”的定义得，1×2+3×0+a＝2+a，
∴2+a能被7整除，且要最小，
∴2+a＝7，
∴a＝5，
∴最小的“太阳数”为 105，
设最大的三位“太阳数”百位数字最小是9，十位数字最小是9，个位数字是y，
则2×9+3×9+y＝45+y，能被7整除，
∴y最大为4，
最大的三位“太阳数”是994．
故答案为：105；994．
（2）一个小于700的三位“太阳数”，
∴百位数字可取1、2、3、4、5、6，
∵百位数字是十位数字的2倍，
∴百位数字可取2、4、6，设个位上的数字为x，
当百位上的数字是2，十位数字是1，2×2+1×3+x＝7+x能被7整除，
∴x＝0或x＝7，
∴210和217符合条件；
当百位上的数字是4，十位数字是2，4×2+2×3+x＝14+x能被7整除，
∴x＝0或x＝7，
∴420和427符合条件；
当百位上的数字是6，十位数字是3，6×2+3×3+x＝21+x能被7整除，
∴x＝0或x＝7，
∴630和637符合条件；
综上所述，这个“太阳数”为210或217或420或427或630或637．
10．高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]＝2，[﹣1.5]＝﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]＝﹣2；②[x]+[﹣x]＝0；③[2.5]+[﹣2.5]＝﹣1；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为2．其中正确的结论有 　①③　（填序号）．
【解答】解：①∵[﹣2.1]+[1]＝﹣3+1＝﹣2，
∴①的结论正确；
②∵[2.5]＝2，[﹣2.5]＝﹣3，
∴[2.5]+[﹣2.5]＝2+（﹣3）＝﹣1≠0，
∴②的结论不正确；
③∵[2.5]+[﹣2.5]＝2+（﹣3）＝﹣1，
∴③的结论正确；
④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，0＜﹣x+1≤2，
∴[x+1]＝0或1，[﹣x+1]＝0或1或2，
当[x+1]＝0时，[﹣x+1]＝1；当[﹣x+1]＝1时，[﹣x+1]＝1或0；
所以[x+1]+[﹣x+1]的值为1、2，
∴④的结论错误，
综上，正确的结论有：①③，
故答案为：①③．
11．对任意有理数x、y定义运算如下：x△y＝ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a＝1，b＝2，c＝3时，1△3＝1×1+2×3+3×1×3＝16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2＝3，2△3＝4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d＝x，求a、b、c、d的值．
【解答】解：∵x△d＝x，∴ax+bd+cdx＝x，
∴（a+cd﹣1）x+bd＝0，
∵有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d＝x，
则有①，
∵1△2＝3，∴a+2b+2c＝3②，
∵2△3＝4，∴2a+3b+6c＝4③，
又∵d≠0，∴b＝0，
∴有方程组
解得．
故a的值为5、b的值为0、c的值为﹣1、d的值为4．
12．数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质．数论被高斯誉为“数学中的皇冠”，而哥德巴赫猜想就是“皇冠上的明珠”．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究方面就取得国际最领先地位，为我国赢得世界荣誉．现在我们来研究整数的一种简单的现象：定义：对于一个非0自然数N，如果这个自然数N分别除以自然数a、b（a、b互为质数）有相同余数（余数不能为0），那么自然数N叫做a、b的“公平数”．例如：13+3＝4…1，13÷4＝3…1所以13是3和4的“公平数”．
又例如：32÷5＝6…2，32÷6＝5…2所以32是5和6的“公平数”．
（1）判断：60、55是否为7和8的“公平数”，请说明理由；
（2）求：在自然数中100以内5和7的“公平数”．
【解答】解：（1）∵60÷7＝8…4，60÷8＝7…4，
∴60是7和8的“公平数”，
∵55÷7＝7…6，55÷8＝6…7，
∴55不是7和8的“公平数”；
（2）5×7＝35，
35+1＝36，35+2＝37，35+3＝38，35+4＝39，35+5＝40，35+6＝41，
∴自然数中100以内5和7的“公平数”是36，37，38，39，40，41．
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