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引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第4讲 等差数列的前n项和公式
题型1 求等比数列的通项公式
例1.（2021 巴中模拟）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝﹣6．则{an}的通项公式为（　　）
A．an＝（﹣2）n B．an＝﹣2n C．an＝（﹣3）n D．an＝﹣3n
例2.已知等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
例3．已知数列为等比数列，其前项和为，若，，则（ ）．
A．或32 B．或64 C．2或 D．2或
例4．已知正项等比数列的前项和为，，且，则公比（ ）
A． B．2 C．3 D．
例5．设是等比数列，是的前项和，对任意正整数，有，又，则的值为（ ）
A．2 B．200 C．－2 D．0
例6．已知等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，求的值.
例7．已知等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，并且，试求数列的前项和．
例8．（2022·全国·高二课时练习）一个球从高度处自由落下，每次着地后又跳回到原来的再落下，当它第5次着地时共经过的路程是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，，其中，求数列的前项和．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知公差为正的等差数列的前项和为，若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
5.（2021秋 安康期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7a1（a1＞0），a4＝24，则数列{an}的通项公式为（　　）
A． B．3×2n C． D．2n
6.（2021春 铜陵期末）各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，若a2﹣a5＝﹣78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝（　　）
A．2n B．B、2n﹣1 C．3n D．3n﹣1
7.（2021春 博野县校级月考）设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S4＝5S2，数列{an}的通项公式（　　）
A．an＝2n﹣1 B．an＝3n C．2 D．an＝5n
题型2 等比数列前n项和的性质
例1.（2021秋 滨海新区校级期末）记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12＝（　　）
A．12 B．18 C．21 D．27
例2.（2021秋 赣州期中）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S4＝10，S12＝70，则S8＝（　　）
A．30 B．﹣20 C．﹣30 D．30或﹣20
例3．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
例4．等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．72 B．81 C．90 D．99
例5．设等比数列的前项和记为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
例6．等比数列的前n项和为，已知，则（ ）
A． B． C．10 D．9
例7．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例8．（2022·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
例9．（2022·山东聊城一中高三期末）已知等比数列的公比，且，则___________.
1．（2022·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
3．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2021 甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
题型3 求等比数列的前n项和
例1.（2021秋 河池月考）在正数等比数列{an}中，若，，则该数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
1.2021秋 南阳期末）已知数列{an}中，an＝2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（　　）
A．3n﹣1 B．3（3n﹣1） C． D．
2.（2021秋 全国月考）若单调递增的等比数列{an}，满足a4+a6＝20，a2a8＝64，则S5＝（　　）
A．16 B．32 C． D．31
3.（2021秋 安徽月考）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an（n∈N*），其前n项和为Sn，则（　　）
A．Sn＝2an﹣1 B．
C．Sn＝3an﹣2 D．
题型4 等比数列的应用
例1.（2021秋 菏泽期中）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，则“衰分比”为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
1.（2021秋 河东区期末）我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程？在这个问题中，第四天所走的路程为（　　）
A．96 B．48 C．24 D．12
2.（2021秋 安徽月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则第五天走的路程为（　　）里．
A．6 B．12 C．24 D．48
3.（2021秋 安宁区校级期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为（　　）
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
题型5 等差数列与等比数列的综合应用
例1.（2020秋 榆林期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝14，a2+a12＝10．
（1）求an；
（2）设，证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn．
例2.（2021秋 重庆期末）已知数列{an}满足an+1﹣an＝3，且a1，a5，a8成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．
例3.（2020秋 惠州月考）在等差数列{an}中，a3＝4，a9＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}中，b2＝1，b3＝4．若cn＝an+bn，且数列{cn}是等比数列，求数列{cn}的前n项和Sn．
例4.（2020秋 丰满区校级月考）已知等差数列{an}中，a2＝3，a4＝7，数列{bn}满足b1＝a1，bn+1＝3bn．
（1）求数列{an}通项公式an；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
题型6 数列的求和
例1.（2021春 宣城期末）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列的前n项和，求Tn．
例2.（2021秋 通渭县校级期末）在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn﹣an）+2an＝0
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求Sn和数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
1.（2021 天门校级模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣3 2n+4，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{Sn﹣4}的前n项和，求Tn．
2.（2021 眉山模拟）若Sn是公差不为0的等差数{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比例数列．
（Ⅰ）求等比数列S1，S2，S4的公比；
（Ⅱ）若S2＝4，设bn，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
题型6 等比数列前你项和中的最值与范围
例1.设为等比数列的前项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3.已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4.已知等比数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
例5.已知数列满足，．记为数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
例6.已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
例7.设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
例8.已知数列，满足，若的前项和为，
且对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9.已知数列的前n项和，则的最大值为___________.
1.已知等比数列的公比为前项和为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知数列满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．60 B．62 C．63 D．65
3.已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．2008 B．2014 C．2021 D．2022
4.已知数列满足：，，记数列的前项和为，
若对所有满足条件的，的最大值为____.
5.已知数列的前n项和为且.若+5≥(2-λ)n对都成立，则实数的最小值为_______.
6.设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________．
7.在等比数列中，，，记数列的前项和 前项积分别为，，若对任意正整数都成立，则实数的最小值为___________.
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 重庆月考）在等比数列{an}中，a2＝2，S3＝7，则a6＝（　　）
A．12 B．16 C．64 D．32
2．（3分）（2021秋 安康期中）等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3，则S5＝（　　）
A．1 B．5 C．1或31 D．5或11
3．（3分）（2021秋 让胡路区校级期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q＝2，则（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2021秋 河池月考）在正数等比数列{an}中，若，，则该数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021秋 信阳期中）一个等比数列的前n项和为Sn＝（1﹣2λ）+λ 2n，则λ＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
6．（3分）（2021 全国Ⅰ卷模拟）等比数列{an}中，a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝6，则{an}的前12项和为（　　）
A．90 B．60 C．45 D．32
7．（3分）（2021春 内江期末）中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）
A．4里 B．16里 C．64里 D．128里
8．（3分）（2021秋 商丘期中）在正项等比数列{an}中，a5，a6+a7＝3，{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则满足Sn+a1＞Tn的最大正整数n的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 保定月考）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则（　　）
A．S8＝729 B．S8＝820 C．q＝3 D．q＝9
10．（4分）（2021 姑苏区校级开学）已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则下列等式不正确的是（　　）
A．P+Q＝R B．Q2＝PR C．（P+Q）﹣R＝Q2 D．P2+Q2＝P（Q+R）
11．（4分）（2021秋 岳麓区校级月考）设等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知a7＝a6+2a5，且存在两项am，an，使得4a1，则下列结论正确的是（　　）
A．an+1＝2an B．Sn＝an+1﹣a1 C．m+n＝6 D．mn＝8
12．（4分）（2021春 沈阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有（　　）
A．大鼠与小鼠在第三天相逢 B．大鼠与小鼠在第四天相逢
C．大鼠一共穿墙尺 D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为59：26
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 潮州期末）设{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和．若a1+a2a3＝34，则S5＝　 　．
14．（4分）（2021秋 山东月考）已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{an2}的前n项和为 　 　．
15．（4分）（2021秋 南昌月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝12，则S20＝　 　．
16．（4分）（2021秋 保定期中）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃．《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上．现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异．已知第i（i＝1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为 　 　里．（取1.18＝2.14）
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021春 赤峰期末）已知数列{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，请写出数列{an}的前n项和Sn的表达式，并用错位相减法加以证明．
18．（6分）（2021秋 河南月考）记Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn≠0，已知a1＝1，S4＝5S2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若Sm＝43，求m．
19．（8分）（2020 江西模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m．
20．（8分）（2021秋 鼓楼区校级月考）已知数列{an}满足a1＝3，a2＝5，且．
（1）设bn＝an+1﹣an，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）若数列{an}满足，求实数m的取值范围．
21．（8分）（2021 唐山二模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝24，S10＝120．
（1）求Sn；
（2）记数列的前n项和为Tn，证明：Tn．
22．（8分）（2021春 房山区期末）已知等比数列{an}满足a1＝1，a5a2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）比较Sn与2的大小，并说明理由．引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第4讲 等差数列的前n项和公式
题型1 求等比数列的通项公式
例1.（2021 巴中模拟）记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝﹣6．则{an}的通项公式为（　　）
A．an＝（﹣2）n B．an＝﹣2n C．an＝（﹣3）n D．an＝﹣3n
【解题思路】根据题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则有，解可得a1与q的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
又由S2＝2，S3＝﹣6，则有，
解可得a1＝﹣2，q＝﹣2，则an＝（﹣2）n；故选：A．
例2.已知等比数列中，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，等比数列中，，
可得，解得，所以.
故选：A.
例3．已知数列为等比数列，其前项和为，若，，则（ ）．
A．或32 B．或64 C．2或 D．2或
【答案】B
【详解】∵数列为等比数列，，解得，
设数列的公比为，，解得或，
当，则，
当，则．故选：B．
例4．已知正项等比数列的前项和为，，且，则公比（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【详解】由得，
又，∴，即，
∴或(舍去).故选：B
例5．设是等比数列，是的前项和，对任意正整数，有，又，则的值为（ ）
A．2 B．200 C．－2 D．0
【答案】A
【详解】设的公比为，因为，所以，即，
因为，所以，可得，
因为，所以，故选：A.
例6．已知等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【详解】（1）因为在等比数列中，，所以数列公比满足，所以，
当时，；当时，；
（2）当时，，解得；
当时，，无正整数解，不合题意；综上，.
例7．已知等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，并且，试求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设数列的公差为d，根据题意得：解得：
∴通项公式为
（2））∵，∴是公比为2的等比数列，
∴,∴
例8．（2022·全国·高二课时练习）一个球从高度处自由落下，每次着地后又跳回到原来的再落下，当它第5次着地时共经过的路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题设知当小球5次着地时共经过的米数：
．
故选：D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，，
当时，
当时，所以，即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.故选：A
1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和，，其中，求数列的前项和．
【答案】
【详解】对于，
当时，，
当时，，
当时，上式也符合，所以.
所以.
由于，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，其前项和.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前项和为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，∴，当时，，两式相减可得，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．故选:D．
3．（多选）（2022·全国·高二课时练习）已知正项等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】因为，所以，即，解得或，
又，所以，所以A正确；
数列的通项公式为，所以B正确；
，所以C不正确；
由，得，，
所以，所以D正确．故选:ABD
4．（2022·全国·高三专题练习）已知公差为正的等差数列的前项和为，若构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由为正项等差数列，，得，则，
又构成等比数列，所以，
即，解得或（舍去），所以；
（2）由（1）知，所以，
又因为，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以数列的前项和
5.（2021秋 安康期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7a1（a1＞0），a4＝24，则数列{an}的通项公式为（　　）
A． B．3×2n C． D．2n
【解题思路】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得a1+a2+a3＝a1（1+q+q2）＝7a1，变形解可得q的值，验证可得q的值，进而可得a1的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若S3＝7a1，则a1+a2+a3＝a1（1+q+q2）＝7a1，
变形可得：q2+q﹣6＝0，解可得：q＝2或﹣3，
当q＝2时，a13，
当q＝﹣3时，a1，不符合题意，舍去；
故a1＝3，则an＝a1qn﹣1＝3×2n﹣1；故选：A．
6.（2021春 铜陵期末）各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，若a2﹣a5＝﹣78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝（　　）
A．2n B．B、2n﹣1 C．3n D．3n﹣1
【解题思路】设公比为q的等比数列{an}，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到所求通项公式．
【解答过程】解：各项均为正数，公比为q的等比数列{an}，a2﹣a5＝﹣78，S3＝13，
可得a1q﹣a1q4＝﹣78，a1+a1q+a1q2＝13，
解得a1＝1，q＝3，则an＝a1qn﹣1＝3n﹣1，n∈N*，故选：D．
7.（2021春 博野县校级月考）设公比大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S4＝5S2，数列{an}的通项公式（　　）
A．an＝2n﹣1 B．an＝3n C．2 D．an＝5n
【解题思路】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答过程】解：设公比q大于零的等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S4＝5S2，q≠1．
∴5，化为：q2＝4．解得q＝2
数列{an}的通项公式an＝2n﹣1．故选：A．
题型2 等比数列前n项和的性质
例1.（2021秋 滨海新区校级期末）记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12＝（　　）
A．12 B．18 C．21 D．27
【解题思路】根据等比数列的性质进行计算即可．
【解答过程】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，S8＝9，
∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，
即3，6，S12﹣9成等比数列，
∴（S12﹣9）×3＝36，∴S12＝21．
故选：C．
例2.（2021秋 赣州期中）已知Sn为等比数列{an}的前n项和，S4＝10，S12＝70，则S8＝（　　）
A．30 B．﹣20 C．﹣30 D．30或﹣20
【解题思路】根据题意可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8构成等比数列，即（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8），
故（S8﹣10）2＝10（70﹣S8），从而即可求出S8的值．
【解答过程】解：由{an}是等比数列，且S4＝10，S12＝70，{an}的公比q≠1，
所以S4，S8﹣S4，S12﹣S8构成等比数列，
所以（S8﹣S4）2＝S4（S12﹣S8），即（S8﹣10）2＝10（70﹣S8），化简并整理得S82﹣10S8﹣600＝0，
又S8＝S4+q4S4＞0，所以解得S8＝30或S8＝﹣20（舍去）．故选：A．
例3．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（ ）．
A．83 B．108 C．75 D．63
【答案】D
【详解】设等比数列前项和为，
因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，
故，故，故选：D.
例4．等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．72 B．81 C．90 D．99
【答案】B
【详解】由等比数列的性质，可得成等比数列，
则，即，
解得，即.故选：B.
例5．设等比数列的前项和记为，若，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10=S5,
∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为=-.
∴S15-S10=-(S10-S5)=S5.
∴S15=S5+S10=S5.
∴S15∶S5=.故选：A.
例6．等比数列的前n项和为，已知，则（ ）
A． B． C．10 D．9
【答案】C
【详解】因为，可得，设数列的公比为q，则．
所以．故选：C．
例7．已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，则，
即，
因为，所以，
则，即，解得，故选：B.
例8．（2022·全国·高二）已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】当时，，又，
即前10项分别为，
所以数列的前10项中，，
所以，故选：C．
例9．（2022·山东聊城一中高三期末）已知等比数列的公比，且，则___________.
【答案】120
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
1．（2022·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故
设等比数列的公比为，设该等比数列共有项，
则，所以，，
因为，可得，因此，.故选：C.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.
【答案】2
【详解】由题意, 设奇数项的和为,偶数项的和为,得
故公比 .故答案为2
3．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，
得为等比数列 又
故选：．
4.（2021 甲卷）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】由等比数列的性质得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，从而得到关于S6的方程，再求出S6．
【解答过程】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6，
由等比数列的性质，可知S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
∴4，2，S6﹣6成等比数列，∴22＝4（S6﹣6），解得S6＝7．故选：A．
题型3 求等比数列的前n项和
例1.（2021秋 河池月考）在正数等比数列{an}中，若，，则该数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】由等比数列的通项公式求得q和a1的值，再由等比数列前n项和公式，得解．
【解答过程】解：因为，，所以q2，
因为正数等比数列{an}，所以q，a11，
所以S102．故选：B．
1.2021秋 南阳期末）已知数列{an}中，an＝2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（　　）
A．3n﹣1 B．3（3n﹣1） C． D．
【解题思路】由已知可知，数列{an}是以2为首项以3为公比的等比数列，从而可得由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，代入求等比数列的求和公式即可求解
【解答过程】解：∵，
则数列{an}是以2为首项以3为公比的等比数列
由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列
前n项的和为Sn
故选：D．
2.（2021秋 全国月考）若单调递增的等比数列{an}，满足a4+a6＝20，a2a8＝64，则S5＝（　　）
A．16 B．32 C． D．31
【解题思路】由等比数列中项性质知a4a6＝64，从而求得a4和a6的值，进而得q和a1的值，再由等比数列前n项和公式，得解．
【解答过程】解：由等比数列的性质知，a4a6＝a2a8＝64，
因为a4+a6＝20，且单调递增的等比数列{an}，所以a4＝4，a6＝16，
所以公比q＝2，首项a1，
所以S5．故选：C．
3.（2021秋 安徽月考）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an（n∈N*），其前n项和为Sn，则（　　）
A．Sn＝2an﹣1 B．
C．Sn＝3an﹣2 D．
【解题思路】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可判断．
【解答过程】解：由题意得，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以，Sn．故选：B．
题型4 等比数列的应用
例1.（2021秋 菏泽期中）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，则“衰分比”为（　　）
A．20% B．25% C．75% D．80%
【解题思路】设“衰分比”为m，由题意化简得80 （1﹣m）＝164，解方程即可．
【解答过程】解：设“衰分比”为m，
则甲分得，丙分得80 （1﹣m），
故80 （1﹣m）＝164，解得，m＝20%，故选：A．
1.（2021秋 河东区期末）我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378里的要塞去，第一天走路强壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程？在这个问题中，第四天所走的路程为（　　）
A．96 B．48 C．24 D．12
【解题思路】由题意，每天所走的路程构成公比为的等比数列，然后结合等比数列的求和公式可求首项，再由等比数列的通项公式可求．
【解答过程】解：由题意，每天所走的路程构成公比为的等比数列，
设第一天走了x里，则378，解得x＝192，
所以第四天走的路程为192×（）3＝24．故选：C．
2.（2021秋 安徽月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则第五天走的路程为（　　）里．
A．6 B．12 C．24 D．48
【解题思路】直接利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果．
【解答过程】解：根据题意：，q，
所以a1＝192，故．故选：B．
3.（2021秋 安宁区校级期中）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么请问此人前两天所走的里程为（　　）
A．189里 B．216里 C．288里 D．192里
【解题思路】由题意得，每天行走的路程成等比数列{an}，且公比为，由条件和等比数列的前n项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．
【解答过程】解：由题意可知此人每天走的步数{an}构成公比为的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得378，解得a1＝192，
此人第二天走19296里，
可得此人前两天所走的里程为192+96＝288里．故选：C．
题型5 等差数列与等比数列的综合应用
例1.（2020秋 榆林期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝14，a2+a12＝10．
（1）求an；
（2）设，证明数列{bn}是等比数列，并求其前n项和Tn．
【解题思路】（1）根据题意，由等差数列的通项公式和前n项和公式可得S7＝7a1+21d＝14，a2+a12＝2a1+12d＝10，解可得a1、d的值，由等差数列的通项公式即可得答案，
（2）根据题意，求出数列{bn}的通项公式，由等比数列的定义可得结论，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．
【解答过程】解（1）根据题意，{an}是等差数列，
若S7＝14，a2+a12＝10，则有S7＝7a1+21d＝14，a2+a12＝2a1+12d＝10，
联立解得a1＝﹣1，d＝1，
所以an＝n﹣2；
（2）证明：由2n﹣2，则，
故列{bn}是首项为，公比为2的等比数列．
数列{bn}的前n项和．
例2.（2021秋 重庆期末）已知数列{an}满足an+1﹣an＝3，且a1，a5，a8成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及此时n的值．
【解题思路】（1）由题意得数列{an}的公差为3，再由a1，a5，a8成等比数列得（a1+12）2＝a1（a1+21），从而解得；
（2）由等差数列性质知，当Sn取最小值时，即an变号时，从而确定最小值．
【解答过程】解：（1）∵an+1﹣an＝3，∴数列{an}的公差为3，故an＝a1+3（n﹣1），
又∵a1，a5，a8成等比数列，∴（a1+12）2＝a1（a1+21），
解得a1＝﹣48，故an＝a1+3（n﹣1）＝3n﹣51；
（2）由题意得，Sn取最小值时，即an变号时，
令an＝3n﹣51＝0得，n＝17；
故Sn的最小值为S16＝S17＝﹣408；此时n的值为16或17．
例3.（2020秋 惠州月考）在等差数列{an}中，a3＝4，a9＝10．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}中，b2＝1，b3＝4．若cn＝an+bn，且数列{cn}是等比数列，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解题思路】（1）由题意可得，解得a1＝2，d＝1，即可求出通项公式，
（2）根据cn＝an+bn，可得c2＝4，c3＝8，可得q＝2，根据等比数列求和公式即可求出．
【解答过程】解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由，解得a1＝2，d＝1，∴an＝a1+（n﹣1）d＝n+1，即an＝n+1；
（2）当n＝2时，c2＝a2+b2＝2+1+1＝4，
当n＝3时，c3＝a3+b3＝3+1+1＝8，
∵数列{cn}是等比数列，∴其公比为q2，∴c1＝2，
∴数列{cn}的前n项和Sn2n+1﹣2．
例4.（2020秋 丰满区校级月考）已知等差数列{an}中，a2＝3，a4＝7，数列{bn}满足b1＝a1，bn+1＝3bn．
（1）求数列{an}通项公式an；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
【解题思路】（1）设等差数列{an}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）设等比数列{bn}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．
【解答过程】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，
所以，解得a1＝1，d＝2，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1（n∈N*）；
（2）由（1）得b1＝a1＝1，∵bn+1＝3bn，
∵3，∴{bn}是首项1公比是3的等比数列，
∴，（n∈N*）．
题型6 数列的求和
例1.（2021春 宣城期末）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列的前n项和，求Tn．
【解题思路】（1）设公差为d，利用S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列，建立方程，即可求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）利用裂项法，可求数列的前n项和．
【解答过程】解：（1）设公差为d，则
∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列
∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）
∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴an＝n+1
（2）
∴Tn．
例2.（2021秋 通渭县校级期末）在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足Sn（Sn﹣an）+2an＝0
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求Sn和数列{an}的通项公式an；
（Ⅲ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解题思路】（I）由已知中数列{an}的前n项和Sn满足Sn（Sn﹣an）+2an＝0，结合an＝Sn﹣Sn﹣1，可得为定值，进而得到数列{}是等差数列；
（Ⅱ）由（I）可得数列{}的通项公式，进而得到Sn的通项公式，再由an与Sn的关系，得到数列{an}的通项公式
（III）由已知中Sn的通项公式，可得数列{bn}的通项公式，进而利用裂项相消法得到答案．
【解答过程】证明：（I）∵当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，且Sn（Sn﹣an）+2an＝0
∴Sn[Sn﹣（Sn﹣Sn﹣1）]+2（Sn﹣Sn﹣1）＝0
即Sn Sn﹣1+2（Sn﹣Sn﹣1）＝0 即
又∵S1＝a1＝1，故数列{}是以1为首项，以为公差的等差数列
（II）由（I）得： ∴Sn
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1
∵n＝1时，无意义,故an
（III）∵2（）
∴Tn＝2（1）＝2（1）
1.（2021 天门校级模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣3 2n+4，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设Tn为数列{Sn﹣4}的前n项和，求Tn．
【解题思路】（Ⅰ）令n＝1得a1＝s1＝2a1﹣2即a1＝2，然后当n≥2时根据sn﹣sn﹣1得到an变形为，设，则数列{bn}是首项b1＝1、公差为的等差数列，表示出bn通项即可求出an；
（Ⅱ）先求出sn﹣4的通项公式，利用数列求和的方法求出Tn即可．
【解答过程】解：（Ⅰ）∵a1＝S1＝2a1﹣2，∴a1＝2．
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，an＝2an﹣1+3×2n﹣1，于是；
令，则数列{bn}是首项b1＝1、公差为的等差数列，；∴an＝2nbn＝2n﹣1（3n﹣1）．
（Ⅱ）∵Sn﹣4＝2n（3n﹣4）＝3×2n×n﹣2n+2，
∴Tn＝3（2×1+22×2++2n×n）﹣4（2+22++2n），
记Wn＝2×1+22×2++2n×n①，则2Wn＝22×1+23×2++2n+1×n②，
①﹣②有﹣Wn＝2×1+22++2n﹣2n+1×n＝2n+1（1﹣n）﹣2，
∴Wn＝2n+1（n﹣1）+2．
故
2.（2021 眉山模拟）若Sn是公差不为0的等差数{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比例数列．
（Ⅰ）求等比数列S1，S2，S4的公比；
（Ⅱ）若S2＝4，设bn，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【解题思路】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）S2＝4，可得4a1＝4，解得a1．可得d．可得an＝2n﹣1．
可得bn，利用“裂项求和”可得Tn，再利用“放缩法”、数列的单调性即可得出．
【解答过程】解：（I）设等差数{an}的公差为d≠0，
∵S1，S2，S4成等比例数列．
∴，
∴a1（4a1+6d），化为d＝2a1．
∴4．
∴等比数列S1，S2，S4的公比为4．
（II）∵S2＝4，∴4a1＝4，解得a1＝1．∴d＝2．
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
∴bn，
∴数列{bn}的前n项和Tn，
由Tn对所有n∈N*都成立，
则20∈[20，30），
∴使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m为30.
题型6 等比数列前你项和中的最值与范围
例1.设为等比数列的前项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等比数列前项和公式，结合题意和指数幂的性质进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，因为，，，所以，
，因为，
所以有，因为，所以，
因此要想对于恒成立，只需，而，所以.故选：A
例2.已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由利用，得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，进而得到是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到，，将恒成立，转化为对恒成立，再分为偶数和为奇数讨论求解.
【详解】当时，，得；
当时，由，得，两式相减得，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.
因为，所以.又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以，，由，
得，所以，
所以.
又，所以，所以，
即对恒成立，
当为偶数时，，所以，
令，则数列是递增数列，所以；
当为奇数时，，所以，
所以，所以.综上，实数的取值范围是.故选：D.
例3.已知数列的前项和为，且满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意求出，从而得到；再由对于任意的，不等式恒成立，得到不等式在时恒成立，
从而得到，通过解不等式组即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以时，，
两式相减，得，即，又时，，所以，
因为也适合，所以.所以，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，不等式恒成立，
即对于任意的，不等式恒成立，
所以只需，即，解得或.
所以实数的取值范围为.故选：A.
例4.已知等比数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】C
【分析】先根据求出的通项公式，求出，再根据是等比数列，利用等比数列的性质求出，从而求出，再用基本不等式求解的最小值.
【详解】当时，，
当时，
从而，
因为是等比数列
所以公比，且，即，即
所以，当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值为4.故选：C
例5.已知数列满足，．记为数列的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由递推关系得数列从第2项起是递增数列，得出不等关系，，，对从后开始用上式放缩，证得，
只要对前面几项求和可证．
【详解】解析：的前几项依次为1，1，2，3，5，8，13…，易知数列从第二项起为递增数列，
从而，即得，
由，得，
从而，
所以
又，
因此，．故选：B.
例6.已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.故选：B.
例7.设为数列的前项和，，且.记为数列的前项和，若对任意，，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由已知得.再求得，从而有数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得，从而求得得答案.
【详解】解：由，得，∴.
又由，得，又，∴.所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
∴，
∴，
∴.
∴.
∵对任意，，∴的最小值为.故选：B.
例8.已知数列，满足，若的前项和为，
且对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由求得，即得，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．
【详解】由题意，时，，
综上，，
题设不等式为，整理得，
记，则，
当时，，，时，，，
所以是中的最大值，，
所以．故选：D．
例9.已知数列的前n项和，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】由数列的递推公式可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求得数列的通项公式，写出的表达式，分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解.
【详解】已知，令，则，解得，
当时，，
两式相减，得，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，，
当n为偶数时，；
当n为奇数时，.
，即的最大值为.故答案为：
1.已知等比数列的公比为前项和为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，可得再根据结合等比数列前n项和得公式即可得出答案.
【详解】解：因为，所以
，故选：C.
2.已知数列满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．60 B．62 C．63 D．65
【答案】C
【分析】由已知得，由此有数列是首项为4，公比为的等比数列，运用分组求和法求得，建立不等式，解之可得选项.
【详解】解：根据题意，数列，中满足，即+1，
所以，
又由，则数列是首项为4，公比为的等比数列，则，
所以，
所以，
当时，单调递增,<2021,>2021，
故满足不等式的最小整数为63．故选：C．
3.已知数列中满足，，若前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是（ ）
A．2008 B．2014 C．2021 D．2022
【答案】B
【分析】由题设条件可得，即是以4为首项，为公比的等比数列，可求得，分析可得关于单调递增，结合选项分析可得解
【详解】由题意，，又
是以4为首项，为公比的等比数列记的前n项之和为
由于单调递增，单调递减，故关于单调递增
由于
，由于
故满足不等式的最小整数n是2014故选：B
4.已知数列满足：，，记数列的前项和为，
若对所有满足条件的，的最大值为____.
【答案】
【分析】推导出对任意的时，取最大值时，为等比数列，求出该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得的最大值.
【详解】因为数列满足，，
所以，，可得，，则.
易得当时，，则、、、均为正数，
由可知，可得数列为单调递增数列，
当取最大值时，，可得，
所以，对任意的，取最大值时，数列为等比数列，且该数列的公比为，首项为.
因此，的最大值为.故答案为：.
5.已知数列的前n项和为且.若+5≥(2-λ)n对都成立，则实数的最小值为_______.
【答案】
【分析】根据累加法求出数列，再代入已知条件后可得，
构造函数，再利用导数研究函数的最值，即可得答案；
【详解】，，
又，
当时，
，满足上式，
代入，得，构造函数，求导，
当时，;
当时，;
当时，.
于是函数在时取得最大值，
又∵，故最大值为，，故实数入的最小值为.
6.设数列的前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________．
【答案】
【分析】先根据和项与通项关系得通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得取值范围，解得结果.
【详解】因为是6和的等差中项，所以
当时，
当时，
因此
当为偶数时，
当为奇数时，因此
因为在上单调递增，
所以。故答案为：
7.在等比数列中，，，记数列的前项和 前项积分别为，，若对任意正整数都成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】
先求出，，再求出，即对任意正整数都成立，求出函数的最大值即得解.
【详解】因为，，所以公比，所以，
所以，，，，
要，即对任意正整数都成立，只要，
又，所以或时，取最大值，
所以，的最小值为.故答案为：8
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋 重庆月考）在等比数列{an}中，a2＝2，S3＝7，则a6＝（　　）
A．12 B．16 C．64 D．32
【解题思路】利用等比数列通公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【解答过程】解：∵在等比数列{an}中，a2＝2，S3＝7，
∴q≠1，且，解得a1＝1，q＝2，a6＝1×25＝32．故选：D．
2．（3分）（2021秋 安康期中）等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3，则S5＝（　　）
A．1 B．5 C．1或31 D．5或11
【解题思路】根据题意，求出等比数列{an}的公比，进而计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，
a1＝1，S3＝3，则有1+q+q2＝3，解可得：q＝1或q＝﹣2，
若q＝1，S5＝5a1＝5，
若q＝﹣2，S511，故选：D．
3．（3分）（2021秋 让胡路区校级期末）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q＝2，则（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意，由等比数列的前n项和公式直接计算即可．
【解答过程】解：根据题意，等比数列{an}中，公比q＝2，
则；故选：A．
4．（3分）（2021秋 河池月考）在正数等比数列{an}中，若，，则该数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】由等比数列的通项公式求得q和a1的值，再由等比数列前n项和公式，得解．
【解答过程】解：因为，，所以q2，
因为正数等比数列{an}，所以q，a11，
所以S102．故选：B．
5．（3分）（2021秋 信阳期中）一个等比数列的前n项和为Sn＝（1﹣2λ）+λ 2n，则λ＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据题意，求出数列的前三项，由等比数列的定义可得关于λ的方程，解可得答案．
【解答过程】解：根据题意，等比数列的前n项和为Sn＝（1﹣2λ）+λ 2n，
则a1＝S1＝（1﹣2λ）+2λ＝1，
a2＝S2﹣S1＝2λ，
a3＝S3﹣S2＝4λ，
必有（2λ）2＝4λ，解可得λ＝1或0（舍）；则λ＝1；故选：B．
6．（3分）（2021 全国Ⅰ卷模拟）等比数列{an}中，a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝6，则{an}的前12项和为（　　）
A．90 B．60 C．45 D．32
【解题思路】由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，由此能求出{an}的前12项和．
【解答过程】解：∵等比数列{an}中，a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝6，
由等比数列的性质得：a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9，a10+a11+a12也成等比数列，
∴由a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝6，得a7+a8+a9＝12，a10+a11+a12＝24，
∴{an}的前12项和为：3+6+12+24＝45．故选：C．
7．（3分）（2021春 内江期末）中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走252里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则最后一天走了（　　）
A．4里 B．16里 C．64里 D．128里
【解题思路】第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列，从而252，由此能求出a1＝128，由此能求出最后一天走的里程数．
【解答过程】解：有一个人走252里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，
则第n天走的里程数{an}是公比为的等比数列，
∴252，解得a1＝128，
则最后一天走了a6＝1284．
故选：A．
8．（3分）（2021秋 商丘期中）在正项等比数列{an}中，a5，a6+a7＝3，{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则满足Sn+a1＞Tn的最大正整数n的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解题思路】求出等比数列{an}的公比和首项，利用等比数列的求和公式和等差数列的求和公式可得出关于n的不等式，求出n的取值范围即可得解．
【解答过程】解：∵在正项等比数列{an}中，a5，a6+a7＝3，
∴，且q＞0，解得a1，q＝2，
∴{an}的前n项和为Sn，
{an}的前n项积为Tn，则Tn2222n﹣1＝（）n×21+2+3+ +n﹣1，
∵Sn+a1＞Tn，∴，即2n﹣5，即n2﹣13n+10＜0，
解得n，
∵1112，则12，
因此满足条件的正整数n的最大值为12．故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋 保定月考）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2＝1，S6＝91，则（　　）
A．S8＝729 B．S8＝820 C．q＝3 D．q＝9
【解题思路】利用正项等比数列前n项和列方程组求出q＝3，a1，再求出S8，由此能求出结果．
【解答过程】解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，S2＝1，S6＝91，
∴，且q＞0，q≠1，
整理得（1﹣q+q2）（1+q+q2）＝（1+q2）2﹣q2＝91，
整理得q4+q2﹣90＝0，由q＞0，解得q＝3，故C正确，D错误；
∴a1，S8820，故A错误，B正确．故选：BC．
10．（4分）（2021 姑苏区校级开学）已知一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，则下列等式不正确的是（　　）
A．P+Q＝R B．Q2＝PR
C．（P+Q）﹣R＝Q2 D．P2+Q2＝P（Q+R）
【解题思路】由等比数列的性质得Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列，从而P，Q﹣P，R﹣Q成等比数列，由此能求出结果．
【解答过程】解：一个等比数列的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为P、Q、R，
由等比数列的性质得Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列，
∴P，Q﹣P，R﹣Q成等比数列，∴（Q﹣P）2＝P（R﹣Q），解得P2+Q2＝P（Q+R）．故选：ABC．
11．（4分）（2021秋 岳麓区校级月考）设等比数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知a7＝a6+2a5，且存在两项am，an，使得4a1，则下列结论正确的是（　　）
A．an+1＝2an B．Sn＝an+1﹣a1 C．m+n＝6 D．mn＝8
【解题思路】A选项，设公比为q，由通项公式得，解出q，得到an+1＝2an即可判断．
B选项，将an+1＝qan代入求和公式化简即可．
根据通项公式及条件，化简整理得，解出m+n，即可判断C，D．
【解答过程】解：A选项，设公比为q，则，
所以q2﹣q+2＝0，又q＞0，解得q＝2，所以，说法正确．
B选项，，说法正确．
因为，
所以，即，解得m+n＝6，故C正确，D错误．故选：ABC．
12．（4分）（2021春 沈阳期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载有“耗子穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．下列说法中正确的有（　　）
A．大鼠与小鼠在第三天相逢 B．大鼠与小鼠在第四天相逢
C．大鼠一共穿墙尺 D．大鼠和小鼠穿墙的长度比为59：26
【解题思路】大鼠第n日穿墙an＝2n﹣1，小鼠第n日穿墙bn＝（）n﹣1，由Sn5，
求出n∈（2，3），从而大鼠与小鼠在第三天相逢；第一天的时候，大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．设第三天大老鼠打了X尺，小老鼠则打了（0.5﹣X）尺，则X÷4＝（0.5﹣x）÷0.25，
解方程得X，由此能求出结果．
【解答过程】解：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，
则大鼠第n日穿墙an＝2n﹣1，小鼠第n日穿墙bn＝（）n﹣1，
Sn5，整理得4，∴n∈（2，3），
∴大鼠与小鼠在第三天相逢，故A正确，B错误；
第一天的时候，大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；
第二天的时候，大老鼠打了2尺，小老鼠打了0.5尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺．
第三天按道理来说大老鼠打4尺，小老鼠0.25尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通．
我们现在设大老鼠打了X尺，小老鼠则打了（0.5﹣X）尺
则打洞时间相等：X÷4＝（0.5﹣x）÷0.25，解方程得X，
∴大老鼠在第三天打了尺，小老鼠打了0.5尺，三天总的来说：大老鼠打了3尺，故C正确；
大鼠和小鼠穿墙的长度比为：59：26，故D正确．故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋 潮州期末）设{an}是首项为2的等比数列，Sn是其前n项和．若a1+a2a3＝34，则S5＝　62　．
【解题思路】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式求出q，进而计算可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a1+a2a3＝34且a1＝2，则2+2q×2q2＝34，解可得q＝2，
则S562，故答案为：62．
14．（4分）（2021秋 山东月考）已知数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
则数列{an2}的前n项和为 　　．
【解题思路】由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解．
【解答过程】解：由题意得，an＝2n﹣1，
所以4n﹣1，即数列{an2}是以1为首项，以4为公比的等比数列，
所以前n项和Sn．故答案为：．
15．（4分）（2021秋 南昌月考）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝12，则S20＝　120　．
【解题思路】由等比数列{an}的前n项和为Sn，可得S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15成等比数列，再结合等比中项的公式，即可求解．
【解答过程】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15成等比数列，
∴，即 （12﹣3）2＝3×（S15﹣12），解得S15＝39，
∴（S10﹣S5） （S20﹣S15），即（39﹣12）2＝（12﹣3）×（S20﹣39），解得S20＝120．故答案为：120．
16．（4分）（2021秋 保定期中）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃．《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上．现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异．已知第i（i＝1，2，…，7）匹马的最长日行路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路程之和为 　4560　里．（取1.18＝2.14）
【解题思路】根据题意，第8匹马、第七匹马、……、第一匹马构成以400为首项，1.1为公比的等比数列，进一步利用等比数列前n项和公式进行求解即可．
【解答过程】解：根据题意，第8匹马、第七匹马、……、第一匹马构成以400为首项，1.1为公比的等比数列，
则这8匹马的最长日行路程之和为4560．故答案为：4560．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021春 赤峰期末）已知数列{an}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，请写出数列{an}的前n项和Sn的表达式，并用错位相减法加以证明．
【解题思路】Sn，分类讨论q＝1与q≠1两种情况即可证明．
【解答过程】证明：Sn，理由如下：
当q＝1时，Sn＝a1+a2+…+an＝a1+a1+…+an＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1+a2+…+an＝Sn＝a1+a1q+a1q2+…+a1qn﹣1①，则qSn＝a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②，
两式相减得（1﹣q）Sn＝a1﹣a1qn＝a1（1﹣qn），所以Sn，
综上，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn，
18．（6分）（2021秋 河南月考）记Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn≠0，已知a1＝1，S4＝5S2．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若Sm＝43，求m．
【解题思路】（I ）利用等比数列前n项和公式列出方程组，求出公比，由此能求出通项公式．
（II）由题意分类讨论，利用等比数列求和公式即可求解．
【解答过程】解：（I ）设{an}的公比为q，
由S4＝5S2得a1+a2+a3+a4＝5（a1+a2），整理得a3+a4＝4（a1+a2），
因为a1+a2≠0，所以q2＝4，所以q＝2或q＝﹣2，
故an＝2n﹣1，或an＝（﹣2）n﹣1．
（II）若an＝2n﹣1，则Sn＝2n﹣1，
由Sm＝43，得2m＝44，此方程没有正整数解；
若an＝（﹣2）n﹣1，则Sm，
由Sm＝43，得（﹣2）m＝﹣128，解得m＝7，综上，m＝7．
19．（8分）（2020 江西模拟）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18．
（1）求数列{an}的通项公式．
（2）若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m．
【解题思路】（1）先由题设条件求出等差数列{an}的基本量a1，d，再求出其通项公式；
（2）由S3、a17、Sm成等比数列求出m，再代入前n项和公式求出S3m．
【解答过程】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S7＝49，a2+a8＝18，
∴ ，解得：d＝2．∴an＝a4+（n﹣4）d＝2n﹣1．
（2）由（1）知：S．
∵S3、a17、Sm成等比数列，∴S3Sm＝a172，即9m2＝332，解得m＝11．故S3m＝S33＝332＝1089．
20．（8分）（2021秋 鼓楼区校级月考）已知数列{an}满足a1＝3，a2＝5，且．
（1）设bn＝an+1﹣an，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）若数列{an}满足，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）将条件化为2an+2﹣2an+1＝an+1﹣an，即bn+1bn，从而证得数列{bn}是等比数列；
（2）求得数列{bn}的通项，由累加法求得数列{an}的通项，并根据单调性求得参数取值范围．
【解答过程】（1）证明：由题知，2an+2﹣2an+1＝an+1﹣an，即bn+1bn，且b1＝a2﹣a1＝5﹣3＝2，
则数列{bn}是以2为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知bn＝an+1﹣an，
则当n≥2时，其前n﹣1项和Sn﹣1＝a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝an﹣a14，
则an＝7，n≥2，且a1＝3也满足通项，
则由指数函数单调性知，an＝77，
若满足，则m≥7，即实数m的取值范围是[7，+∞）．
21．（8分）（2021 唐山二模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4＝24，S10＝120．
（1）求Sn；
（2）记数列的前n项和为Tn，证明：Tn．
【解题思路】（1）利用S4＝24，S10＝120，求出数列的首项与公差，然后求解数列的和．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，然后证明不等式即可．
【解答过程】（1）解：设等差数列的公差为d，S4＝24，S10＝120，
可得4a1+6d＝24；10a1+45d＝120，解得a1＝3，d＝2，所以Sn＝2n+n2．
（2）证明：，
所以Tn ．
所以：Tn．
22．（8分）（2021春 房山区期末）已知等比数列{an}满足a1＝1，a5a2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）比较Sn与2的大小，并说明理由．
【解题思路】（Ⅰ）利用等比数列通项公式列方程，求出q，由此能求出数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）利用等比数列前n项和公式能求出数列{an}的前n项和．
（Ⅲ）由Sn＝2，，得到Sn＜2．
【解答过程】解：（Ⅰ）∵等比数列{an}满足a1＝1，a5a2，
∴，解得q，
∴数列{an}的通项公式an．
（Ⅱ）数列{an}的前n项和：Sn2．
（Ⅲ）∵Sn＝2，，∴Sn＜2

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