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导数专题
引子:
我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。
大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。
如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。
只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。
道理我都懂，可再多的道理也无济于事。
道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。
有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何……
函数的单调性与导数
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，最后小于，
故排除B；故选：A
例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，
从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，故选：A
例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由图像可知f(x)图像大致如下：
由图可知f(a)>f(b)，f(b)例4．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）已知函数的图象如图所示,则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由函数的图象可知：
当时，，即，此时单调递增；
当时，，即，此时单调递减；
当时，，即，此时单调递减；
当时，，即，此时单调递增．故选：C
1．（2021·福建省漳州第一中学高二阶段练习）是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由导函数的图象可知，
当x＜0时，＞0，即函数f(x)为增函数；
当0＜x＜2时，＜0，即f(x)为减函数；
当x＞2时，＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.故选：D
2．（2021·全国·高二课时练习）如图为函数的导函数的图象，那么函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由导函数的图象，可知当时，，所以在上单调递减；
当或时，，所以在和上单调递增．
综上，函数的图象可能如A中图所示.故选：A
3．（2021·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））设是函数的导数，的图象如图所示，则的图像最有可能的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
解：由导函数的图象可知：
导函数在上，，则函数单调递增；
导函数在上，，则函数单调递减；
导函数在上，，则函数单调递增；故选：C
题型二：求单调区间
例1.函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导，然后通分，进而令导函数小于0，最后求得单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，求导得，令，
，，因此函数的减区间为.故选：C.
例2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用f(x)的导数的正负即可求其单调性．
【详解】∵，∴，
当x＞2时，，∴f(x)的单调递增区间是．故选：D．
例3．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【分析】对求导得到关于、的方程求出它们的值，代入原解析式，根据求单调减区间.
【详解】由题设，则，可得，
而，则，
所以，即，则且递增，
当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A
例4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：函数的定义域为，
由，得，
令，得，，解得或（舍去），
所以函数的单调递增区间为，故选：C
例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
当时，，，则；
当时，，，则；
在上的单调递增区间为.故选：D.
1．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，∴，
由得，，∴函数的减区间是.故选：C.
2．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）函数的单调减区间是（ ）
A．（－∞，] B．（0，） C．和（0，） D．
【答案】B
【详解】函数定义域是，，
由可得．即减区间是．故选：B．
3.（2021秋 兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝2x2﹣lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．（0，1） B． C．（﹣∞，1） D．
【解题思路】对f（x）求导，令f′（x）＞0即可求得单调递增区间．
【解答过程】解：函数f（x）＝2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）＝4x，
令f′（x）＞0，解得x，故f（x）的单调递增区间为（，+∞）．故选：D．
4.（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【详解】当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，故答案为：
5.（2021春 修水县期末）已知函数．求函数f（x）的单调区间．
【解题思路】对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；
【解答过程】解：f′（x），
令f′（x）＞0，可得x＞0，令f′（x）＜0，可得x＜0，
∴（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
题型三：已知函数在区间上单调问题求参数范围
（一）已知函数在区间上单调递增或递减
例1．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在单调递增，
故在区间恒成立，
即，令
则，故在单调递增，
则，故，的取值范围为.故选：B.
例2．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得，
由于函数在区间内单调递减，
即在上恒成立，即，
即得在恒成立，所以，故选：D.
例3．（2021·陕西宝鸡市·高三月考）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．故答案为：．
例4．（2022·全国·高二课时练习）若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，故选：A.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求导，由单调性得到在上恒成立，由二次函数数形结合得到不等关系，求出m的取值范围.
【详解】，因为在上为单调递增函数，
所以在上恒成立，
令，
要满足①，或②，
由①得：，由②得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D
1.（2021秋 昌江区校级期末）若函数f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调减函数，则m的取值范围（　　）
A．[24，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，0]
【解题思路】由导数与单调性的关系可得f′（x）＝3x2+6x﹣m≤0在[﹣2，2]上恒成立，由二次函数的性质可得关于m的不等式组，即可求解m的取值范围．
【解答过程】解：因为函数f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调减函数，
所以f′（x）＝3x2+6x﹣m≤0在[﹣2，2]上恒成立，
所以，即，解得m≥24，即m的取值范围是[24，+∞）．故选：A．
2.（2021秋 尧都区校级期末）函数f（x）＝ex﹣（a﹣2）x﹣3是R上的单调增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）
【解题思路】求导函数，条件转化为f′（x）≥0在R上恒成立，由此可求a的取值范围．
【解答过程】解：求导函数可得f′（x）＝ex﹣a+2，
∵函数f（x）＝ex﹣（a﹣2）x﹣3是R上的单调增函数，
∴f′（x）＝ex﹣a+2≥0在R上恒成立，∴a≤ex+2，
∵ex+2＞2，∴a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：C．
3.（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，
所以
因为在上的增函数，所以在R上恒成立，
所以，即，所以，解得，故选：B
4.（2021秋 鹰潭期末）定义在R上的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）﹣kx在[1，2]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣12] B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
【解题思路】求出f（x）的单调性，从而求出g（x）在[﹣1，1]的单调性，得到k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，求出k的范围即可．
【解答过程】解：f′（x）＝﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，
结合题意g（x）＝﹣x3+m﹣kx在[1，2]递减，故g′（x）＝﹣3x2﹣k≤0在[1，2]恒成立，
故k≥﹣3x2在[1，2]恒成立，故k≥﹣3，故选：B．
5.（2021秋 怀仁市校级期末）已知函数在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，+∞） C． D．
【解答过程】解：因为在（0，+∞）上单调递增，
所以g'（x）＝x2≥0在（0，+∞）上恒成立，即2a≤x（x﹣2）在（0，+∞）上恒成立，
而y＝x（x﹣2）＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，
所以2a≤﹣1，即a，所以实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：D．
（二）存在单调区间问题
例1．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，，因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以存在使得成立，即.故选:C
例2．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵函数在区间上存在单调增区间，
∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，，
设，则或，
即或，
得或，则；故选：A．
例3．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，
所以当时有解，而当时，
，（此时），所以，所以的取值范围是.故选：B.
例4．函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，，
由题意可知，存在，使得，即存在，使得，
二次函数，当且仅当时，等号成立，则.故选：B.
1．（2021·海南）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
由题意可知，存在，使得，即存在，使得，
二次函数，当且仅当时，等号成立，则.故选：B.
2．（2021·江苏苏州市）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数在区间上存在单调增区间，
∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，
，
设，则或，即或，
得或，则；故选：A．
3.（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】求导后，转化为在上有解，转化为在上有解，
利用函数单调性求出的最大值即可得解.
【详解】，则原向题等价于在上有解，
即在上有解，即在上有解，
因为，且在上单调递减，
所以当时，，所以.故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【详解】函数h(x)＝ln x－ax2－2x，则 ，
因为h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，所以h′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，有解，
令，而当x∈[1,4]时，令 ，即为 ，
此时(此时x＝1)，所以a>－1，
又因为a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).故答案为：
(三) 已知函数在区间上不单调
例1．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围.
【详解】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.故选：A
例2．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于函数在不是单调函数，
则在内存在极值点，所以在内有解，
即在内有解，．故选：D
例3．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【详解】由题意，函数，可得，
因为函数在其定义域上不单调，
即有变号零点，
结合二次函数的性质，可得，
即，解得或，
所以实数的取值范围为.故选：A.
1．（2022·浙江·高二阶段练习）函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1) C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【详解】，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.故选：B
2．（2022·安徽省太和中学高二开学考试）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，
①当a≤0时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.故选：B．
3．（2022·江苏·高二）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【详解】可得，
在其定义域上不单调等价于方程有两个解，
，解得或.故选：A.
4.（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
【答案】(4，5)
【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.
【详解】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，
所以.故答案为：.
例1．（2022·河南·高二阶段练习（理））若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，函数定义域为
，令，解得在定义域内，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
函数在区间内不单调，所以，
解得，又因为，得，综上，故选：D．
例2.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在这样的实数
【答案】B
【分析】根据题意，导函数在区间上有正有负，所以在区间上至少有一个实数根，所以或，解不等式即可得解
【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，
而的根为，区间的长度为2，故区间内必含有2或．
∴或，∴或，故选：B．
例3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围.
【详解】，当，解得：，
由条件可知，所以 ，解得：.故选：D
1.（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围.
【详解】，由于函数有三个单调区间，
所以有两个不相等的实数根，所以.故答案为：
2.（2022·江西赣州·高二期中（理））已知函数在上不单调，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：因为函数，
所以，
令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上不单调，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.
3．（2022·全国·高二专题练习）若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【详解】对于函数，，
∴，，由，可得，
因为函数在上为单调减函数，
所以，即实数的取值范围是.故答案为：.
(四) 已知函数在的单调区间为（是），求参数
例1．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））若函数的单调递增区间为，求的取值范围（ ）
A．－6 B．6 C．6或－6 D．
【答案】A
【详解】由题意知：，又单调递增区间为，，解得.
此时，令，解得，即单调递增区间为.故选：A.
例2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．
【答案】
【详解】函数的定义域为，且，
由题意可知，不等式的解集为，所以，，解得.故答案为：.
1．（2022·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
【答案】
【详解】由题设，，由单调递减区间是，
∴的解集为，则是的解集，
∴，可得，故.故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数的值为______.
【答案】
【详解】的导函数为.
因为函数f(x)的单调递减区间恰为，所以-1和4是的两根，所以.故答案为:-4.
3．（2022·全国·高二课时练习）若函数的单调递减区间为，则__________．
【答案】1
【详解】，由题知是方程的解，故.
题型四：函数单调性讨论(含参)
一次函数型
例1.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．求函数f(x)的单调区间；
【答案】见解析
【解析】f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调增区间为，单调减区间为
例2．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
【解析】(1)由题设，且，则，
所以，，故在处的切线方程为.
(2)由且，
当时，即在定义域上递减；
当时，在上，递减，在上，递增，
综上，时递减；时在上递减，上递增.
例3．已知函数.讨论的单调性；
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【详解】（1）且，
∴当时，，递增；
当时：若时，，递减；当时，，递增；
∴时，在上递增；时，在上递减，在上递增；
1．已知函数（为常数）,讨论函数的单调性；
【答案】时，递增，时，在递减，递增；
【详解】函数定义域是，，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
2．（2022·全国·高二）已知函数，讨论的单调性．
【答案】答案见解析
解： ，
，
当时，，函数在上单调递增
当时，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.讨论的单调性.
解：因为，所以定义域为，所以.
当a≤0时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得；由，得.
故在上单调递减，在上单调递增.
综上，当a≤0时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
指数型
例1.已知函数，其中，为自然对数的底数.设是函数的导函数，求函数的单调性
【解析】因为函数的定义域为R,所以由，有，
所以.由>0,可分析,且为增函数,所以先讨论≥0,即a≤0时成立,所以,在R上单调递增,
接下来讨论=0有根的情况,当a＞0时, 令，得x=ln(2a),
所以根据为增函数,可知x＜ln(2a)时,可知导数小于0,函数单调递减,
x＞ln(2a)时,可知导数大于0,函数单调递增,
综上:a≤0时, 在R上单调递增, a＞0时, 在(-∞, ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递增.
例2．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，
（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；
【解析】函数 的定义域为 ， ，
①当时，对任意的 ， ，此时函数的减区间为，无增区间；
②当时，由 可得，由 可得，
此时函数的单调递增区间为，递减区间为；
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；
1．（2021·云南昆明市（节选））已知函数，，判断函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得.
若，则，此时函数单调递减，
若，则，此时函数单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
2．（2021·玉林市第十一中学节选）已知函数f(x)=aex-2(a+1)，讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调性；
【答案】当时在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【解析】，定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，则，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增；
综上可得：当时在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
对数型
例1.已知函数 ．求 的单调区间．
【解析】． 当 时，在 时 ， 所以 的单调增区间是 ；
当 时，函数 与 在定义域上的情况如下：
所以 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
综上所述：当 时， 的单调增区间是 ；
当时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
例2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
当时，求函数的单调区间；
【解析】，.
当时，恒成立，则在上为减函数，
当时，令，可得，则，解得，
令，解得，综上，当时，的减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
1．已知函数，求函数的单调区间
【答案】（1）极大值点，无极小值点.（2）
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
2.（2022·广东·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性；
【解析】∵，
（Ⅰ）当时，在上单调递增，
（Ⅱ）当时，令，则，
令，则，
∴在上单调递增， 上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
3.（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，．
令，解得，
则有当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
可因式分解的二次函数型
例1．（2022·天津·二模）已知函数．求函数的单调区间；
【解析】
，
① 当时， ，
仅有单调递增区间，其为：
② 当时，，
当时，；
当时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当时，，当时；当时
的单调递增区间为：，单调递减区间为：
综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当时，的单调递增区间为：，单调递减区间为：
例2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数,讨论f（x）的单调性；
【解析】(1)由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当时，，
∴在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，令，解得：
∴当时，；当时，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.
例3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；
【解析】函数，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，此时单调递减，
令，此时单调递增.
综上可得：当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为，减区间为.
例4．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.讨论函数的单调性；
【解析】
若时，，在上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
1．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；
【解析】函数的定义域为
则：
当，时，恒成立，所以单调递减；
当时，令，解得或(舍去)，
令，，令，
所以在上单调递减；上单调递增．
综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为(0，)
2.（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
当时，求函数的单调递增区间.
【解析】解：因为定义域为，
所以，
因为，
当，即当时，由，解得或，
当时，恒成立，
当，即当时，由，解得或，
综上，当时，的递增区间是，，
当时，的递增区间是，
当时，的递增区间是，；
3.（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为，.
当时，在区间递减；在区间递增.
当时，在上递增.
当时，在区间递减；在区间递增.
4.（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知函数.
讨论函数的单调性.
【解析】由，
求导得，
①当时，，
，解得，，解得，
则：单减区间：，单增区间：；
②当时，令，解得或（舍去）
当时，，当时，，
则：单减区间：，单增区间：；
③当时，令，解得或，
当时，，当时，，
则：单减区间：和，单增区间：；
④当时，，则：单减区间：；
⑤当时，令，解得或，
当时，，当时，，
则：单减区间：和，单增区间：；
综上，当时，单减区间：，单增区间：
当时，单减区间：和，单增区间：
当时，单减区间：
当时，单减区间：和，单增区间：.
5．（2022·辽宁锦州）已知函数，其中为实常数．讨论的单调性；
【解析】的定义域为,，
当时，在区间递减；
在区间递增.
当时，，在上递减.
当时，在区间递减；
在区间递增.
6.（2022·全国·高二课时练习）求函数的单调区间.
【答案】见解析
【解析】因为，所以.
由，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时，，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为；
当时，当时，；
当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（0，2a）；
当时，当时，；
当时，，
所以f（x）的单调增区间为及，单调减区间为（2a，0）.
不可因式分解的二次函数型
例1．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
【解析】由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．
例2.（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）
已知，讨论的单调性；
【答案】见解析
【解析】，
①当时，，
当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减；
当时，令，则或，
②当，即时，，所以函数在上递增；
③当，即时，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
④当，即时，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
综上所述，当时，函数在上递增，在上递减；
当时，函数在上递增；
当时，函数在和上递增，在上递减；
当时，函数在和上递增，在上递减；
1.已知函数，其中.讨论的单调性；
【解析】解：由题得，其中，
考察，，其中对称轴为，.
若，则，此时，则，所以在上单调递增；
若，则，
此时在上有两个根，，且，
所以当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
2.（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；
【解析】函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为；
当时，方程在时的解为，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为.
3.已知函数.讨论的单调性；
【解析】由题意得：的定义域为，
令，
当，即时，恒成立即：, 在上单调递减
当，即时令，
解得：，
当时，，即；
当时，，即
在，上单调递减；在上单调递增
4.（2022陕西省）已知函数．讨论函数的单调性；
【解析】因为，所以．
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，时，；时，；
故在和上单调递增，在上单调递减．
5.（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
【解析】解：由已知可得，故可得．
当时，，故在单调递增；
当时，由，解得，或，
记，，则可知当变化时，的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以，函数在区间单调递增，在区间单调递减，
在区间单调递增．
准二次函数型
例1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．
讨论的单调性;
【解析】由题，
当时，，令则，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，令则，：
当，即时，在当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当，即时，，单调递增；
当，即时，在当和时，，单调递增；
当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
例2.（2021·辽宁高三（节选））已知函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得或，
当，即时，在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，在上单调递增；
当，即时，在和，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
例3.（2022·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性.
【解析】设．
当时，则，在R上单调递增，
当时，令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
1.（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），其中．
试讨论函数的单调性；
【解析】函数定义域为R，求导得，而，
则当时，即在R上为增函数，
当时，由，得，即，解得或，
则有或，由，解得，
所以在上递减，在和上递增．
2．（2021·广西南宁三中（节选））已知函数，讨论的单调性；
【答案】具体见解析．
【解析】，
若，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
若，令，解得，
当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
综上：当在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
3．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）．
讨论的单调性；
【答案】见解析
【解析】由可得，
当a≤0时，，
当时，，当时，，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，由得，，，
①若，即时， 恒成立，故在R上单调递增：
②若，即时，由可得，或．
令可得，此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，由可得，或，
令可得，此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当a≤0时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
4.（2022·浙江·模拟预测）已知函数.讨论的单调性；
【解析】定义域为R，
，
当时，恒成立，在R上单调递减，
当时，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在R上单调递减，
当时，则在上单调递减，在上单调递增.
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·北京师大附中高二期中）已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3)
【答案】B
【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．故选：B．
2．（2022·广东实验中学附属天河学校高二期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：函数的定义域是，，
令，解得，所以函数在上单调递减．故选：D．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，
且原函数在处与轴相切，故可知，导函数图象为D.故选：D
4．（2022·四川省成都市第八中学校高三阶段练习（文））已知函数， 则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数定义域为R，求导得，
因此函数在R上单调递减，而，则有，
所以的大小关系是，A正确.故选：A
5．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在定义域上恰有三个单调区间，
所以其导函数在定义域上有两个不同的零点，
由可得，即，
所以只需，方程在上有两个不同的实数根.故选：A.
6．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知，函数的定义域为.
因为恒成立，所以在上单调递减.
则由可得，解得，即原不等式的解集为.故选：B.
7．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三阶段练习）若函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】依题意可得对恒成立，
即对恒成立，
∴，解得．故选：D
8．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数为上的奇函数，则，所以.
原不等式可化为，即.
令，则，
故在上单调递减，且由所以.故选：B.
二、多选题
9．（2022·全国·高二专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】定义域为，；
由得函数的增区间为；
由得函数的减区间为；
因为在区间上单调，
所以或,解得或；
结合选项可得A,C正确.故选：AC.
10．（2022·全国·高二期末）函数在下列哪些区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由，
因为函数的定义域为，所以选项A显然不正确；
当时，单调递增，因此选项B正确；
当时，单调递减，因此选项C不正确；
当时，单调递增，因此选项D正确，故选：BD
三、填空题
11．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】解：由题意得：由函数可知：函数，
函数在R上单调递增，可转化为在上恒成立.
于是可知对于二次函数只要
解得：.故答案为：
12．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为______________．
【答案】
【详解】令，定义域为R，
且，
所以为奇函数，
变形为，
即，
其，当且仅当，即时，等号成立，
所以在R上单调递增，
所以，解得：，
所以解集为.故答案为：
四、解答题
13．（2022·天津实验中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若在处的切线倾斜角为，求的值；
(2)当时，求的单调区间.
【答案】(1)；(2)的单调增区间为，单调减区间为
【详解】（1）由，可得，
故由在处的切线倾斜角为得，即，解得；
（2）时，，，
令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的单调增区间为，单调减区间为
14．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递减区间
【答案】(1) (2)和
（1）解：，
所以，，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）解：.
又，故当和时，，即，
当时，，即，所以函数的单调递减区间为和.
B能力提升
15．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数，.
(1)若时，求实数的值；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)1； (2).
【详解】(1)∵，∴；
(2)，
则函数在上单调递增，等价于在上恒成立，
即则上恒成立，
在上单调递增，故，∴.
C综合素养
16．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数的单调区间.
【答案】(1)；(2)增区间为，减区间为.
【详解】(1)当时，，
则，
又，
设所求切线的斜率为，则，
则切线的方程为：，
化简即得切线的方程为：.
(2)，其定义域为，
，
∵，∴ax＋1＞0，
∴当时，；
当时，.
的增区间为，减区间为.导数专题
引子:
我们总是对现有的东西不忍放弃，包括认知方式、学习模式以及那些习以为常的思维逻辑。
大脑也喜欢偷懒，面对问题的第一反应是搜索曾经的习惯，让你无法自拔。
如果要有所长进，就必须与过去的自己一刀两段。
只有被逼到了悬崖的边缘，才能放弃幻想，去追求另一片蓝天。
道理我都懂，可再多的道理也无济于事。
道理从来就不是拿来懂的，而是拿来悟的。
有人悟成了诗，有人悟成了歌，有人演绎成了故事，也有人活成了无可奈何……
函数的单调性与导数
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·云南曲靖·二模（文））设是函数的导函数，是函数的导函数，
若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））已知定义在R上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
例4．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）已知函数的图象如图所示,则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·福建省漳州第一中学高二阶段练习）是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高二课时练习）如图为函数的导函数的图象，那么函数的图象可能为（ ）
A． B． C．D．
3．（2021·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））设是函数的导数，的图象如图所示，则的图像最有可能的是（ ）．
A． B． C．D．
题型二：求单调区间
例1.函数的减区间为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数的单调增区间是( )
A． B． C． D．
例3．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
例4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）函数的单调减区间是（ ）
A．（－∞，] B．（0，） C．和（0，） D．
3.（2021秋 兴庆区校级期末）已知函数f（x）＝2x2﹣lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．（0，1） B． C．（﹣∞，1） D．
4.（2022·全国·高三专题练习（文））函数的单调递减区间为__________．
5.（2021春 修水县期末）已知函数．求函数f（x）的单调区间．
题型三：已知函数在区间上单调问题求参数范围
（一）已知函数在区间上单调递增或递减
例1．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·全国·高二课时练习）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2021·陕西宝鸡市·高三月考）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
例4．（2022·全国·高二课时练习）若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1.（2021秋 昌江区校级期末）若函数f（x）＝x3+3x2﹣mx+1在[﹣2，2]上为单调减函数，则m的取值范围（　　）
A．[24，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，0]
2.（2021秋 尧都区校级期末）函数f（x）＝ex﹣（a﹣2）x﹣3是R上的单调增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）
3.（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（2021秋 鹰潭期末）定义在R上的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）﹣kx在[1，2]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣12] B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
5.（2021秋 怀仁市校级期末）已知函数在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，+∞） C． D．
（二）存在单调区间问题
例1．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4．函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2021·海南）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏苏州市）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2022·河北·高三阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是_________．
4．（2022·全国·高三专题练习（文））若函数h(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间”，则实数a的取值范围为________.
(三) 已知函数在区间上不单调
例1．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
1．（2022·浙江·高二阶段练习）函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1) C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
2．（2022·安徽省太和中学高二开学考试）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏·高二）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．
4.（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.
例1．（2022·河南·高二阶段练习（理））若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．不存在这样的实数
例3.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1.（2022·全国·高三专题练习）若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
2.（2022·江西赣州·高二期中（理））已知函数在上不单调，则实数的取值范围是______．
3．（2022·全国·高二专题练习）若函数在上为单调减函数，则实数的取值范围是_________.
(四) 已知函数在的单调区间为（是），求参数
例1．（2022·四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））若函数的单调递增区间为，求的取值范围（ ）
A．－6 B．6 C．6或－6 D．
例2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数的单调递减区间为，则的值为________．
1．（2022·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））已知函数的单调递减区间是，则的值为______.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的单调递减区间恰为，则实数的值为______.
3．（2022·全国·高二课时练习）若函数的单调递减区间为，则__________．
题型四：函数单调性讨论(含参)
一次函数型
例1.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．求函数f(x)的单调区间；
例2．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
例3．已知函数.讨论的单调性；
1．已知函数（为常数）,讨论函数的单调性；
2．（2022·全国·高二）已知函数，讨论的单调性．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.讨论的单调性.
指数型
例1.已知函数，其中，为自然对数的底数.设是函数的导函数，求函数的单调性
例2．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ，
（为自然对数的底数，）．求函数的单调区间；
1．（2021·云南昆明市（节选））已知函数，，判断函数的单调性；
2．（2021·玉林市第十一中学节选）已知函数f(x)=aex-2(a+1)，讨论函数g(x)=f(x)-2x的单调性；
对数型
例1.已知函数 ．求 的单调区间．
例2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数，其中.
当时，求函数的单调区间；
1．已知函数，求函数的单调区间
2.（2022·广东·模拟预测）已知函数．讨论函数的单调性；
3.（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数.讨论的单调性；
可因式分解的二次函数型
例1．（2022·天津·二模）已知函数．求函数的单调区间；
例2．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知函数,讨论f（x）的单调性；
例3．（2022·浙江省江山中学模拟预测）函数．讨论函数的单调性；
例4．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数.讨论函数的单调性；
1．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数．求函数的单调区间；
2.（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数
当时，求函数的单调递增区间.
3.（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数，讨论函数的单调性；
4.（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知函数.
讨论函数的单调性.
5．（2022·辽宁锦州）已知函数，其中为实常数．讨论的单调性；
不可因式分解的二次函数型
例1．（2022·江苏徐州·模拟预测）已知函数，函数的导函数为．
讨论函数的单调性；
例2.（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）
已知，讨论的单调性；
1.已知函数，其中.讨论的单调性；
2.（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；
3.已知函数.讨论的单调性；
4.（2022陕西省）已知函数．讨论函数的单调性；
5.（2022·天津南开·三模）已知函数，记的导函数为
讨论的单调性；
准二次函数型
例1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））设函数．
讨论的单调性;
例2.（2021·辽宁高三（节选））已知函数，讨论函数的单调性；
例3.（2022·全国·二模（理））已知函数．讨论的单调性.
1.（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知函数（e为自然对数的底数），
其中．试讨论函数的单调性；
2．（2021·广西南宁三中（节选））已知函数，讨论的单调性；
3．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）．
讨论的单调性；
4.（2022·浙江·模拟预测）已知函数.讨论的单调性；
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·北京师大附中高二期中）已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(0，1)(2，3)
2．（2022·广东实验中学附属天河学校高二期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川省成都市第八中学校高三阶段练习（文））已知函数， 则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若函数在定义域上恰有三个单调区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三阶段练习）若函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）定义在上的函数的导数为，若对任意实数都有，且函数为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二专题练习）若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高二期末）函数在下列哪些区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是_____________．
12．（2022·山东·日照一中高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为______________．
四、解答题
13．（2022·天津实验中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若在处的切线倾斜角为，求的值；
(2)当时，求的单调区间.
14．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调递减区间
B能力提升
15．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知函数，.
(1)若时，求实数的值；
(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围.
C综合素养
16．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，设，求函数的单调区间.

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