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立体几何证明题
一．【线面平行的判定——中位线模型】
1．如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC＝60°，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点，AB＝CE．求证：DE∥平面ACF；
2．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥AD，PD⊥DC，PD⊥BD，且M是PA的中点．
证明：PC∥平面BDM；
3．如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为2，点D是A1B的中点，点E是B1C1的中点．
证明：DE∥平面ACC1A1；
4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD；
二．【线面平行的判定——构造平行四边形模型】
5．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1和BCC1B1是矩形，M，N分别为AB和A1C1的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC1B1；
（2）求证：三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，且AD＝2BC，PA⊥PD，AB＝PB．若F为PA的中点，求证BF∥平面PCD；
8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝3，M为棱AC上靠近A的三等分点，N为棱A1B1上靠近A1的三等分点．证明：MN∥平面BB1C1C；
三．【线面平行的性质】
9．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M为PC的中点，在DM上任取一点G，过G和AP作平面PAHG交平面DMB于GH，求证：AP∥GH．
10．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．
11．在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．求证：BC∥EF；
四．【面面平行的判定】
12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点．求证：平面ACP∥平面B1MN．
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别为DD1，CC1的中点．求证：
平面D1BQ∥平面PAO．
14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．求证：平面PAB∥平面EFG．
五．【面面平行推线面平行】
15．如图，四棱锥C﹣ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．求证：GF∥平面ABC．
16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．求证：EF∥平面PAD．
17．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．求证：MN∥平面BEC；
18．如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．
六．【面面平行的性质】
19．如图，四边形ABCD是矩形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD．若平面ABE与平面CDE的交线为l，求证：AB∥l．
20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．线段AD上是否存在点N，使平面CEN∥平面PAB，若不存在请说明理由；若存在给出证明．
21．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2，求证：l1∥l2；
七．【拔高题】
22．如图在四面体A﹣BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．
求证：PQ∥平面BCD；
23．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且PD＝2DC．证明：CF∥平面BDE；
24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BC⊥AB，点M、N分别是线段A1C1，A1B的中点．
设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MN∥l．
25．在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EF∥平面ABCD，EA＝ED＝AB＝2EF＝2，M为BC中点．求证：FM∥平面BDE；
26．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，点F在棱PA上，且PF＝2FA，点E为棱PD的中点，
求证：CE∥平面BDF；
八．【线面垂直的判定——证线面垂直】
27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD∥BC，AD＝2BC，点E为棱PD的中点．求证：AD⊥平面PAB．
28．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E为DD1中点．求证：AC⊥平面BDB1D1．
29．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝2，D在线段A1B上，且A1D：DB＝3：1．求证：A1B⊥平面ACD；
30．在如图所示的多面体中，ABCD是边长为3的正方形，A，D，E，F四点共面，AF∥面CDE，AF＝1，DE＝3，EF＝．求证：AD⊥平面CDE；
九．【线面垂直的判定——证线线垂直】
31．如图，四边形ABCD为矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E为BC上的动点．
当E为BC的中点时，求证：PE⊥DE；
32．如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ACB＝90°，E、F分别是棱CC1、AB的中点．证明：AC⊥B1E；
33．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，M，N分别为PC，CD的中点，PD＝AD＝2，AB＝4．求证：BN⊥AM；
34．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，且PA＝PC＝PD＝3，CD＝AD＝2AB＝4，O为AC的中点．求证：OP⊥BC；
一十．【面面垂直的判定】
35．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
面BDM⊥面ECA．
36．如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝2，AB＝4．求证：平面ACF⊥平面BCE．
37．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝1，CD＝3，AP＝2，DP＝2，∠PAD＝60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．求证：平面PAB⊥平面PCD；
38．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．求证：平面PAD⊥平面ABCD；
一十一．【面面垂直的性质定理】
39．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E为PD中点．求证：平面PCD⊥平面ACE；
40．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC的中点．求证：平面A1B1O⊥平面BCA1；
41．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求证：BC⊥AB．
42．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．证明：EF⊥BC；
43．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°，∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．证明：PA⊥平面ABCD；
44．如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3．求证：BF⊥平面ACFD；
答案解析
1．
【解答】证明：如图，连接OF，
因为底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，
可得O点为BD的中点，又F为BE的中点，所以OF为△BDE的中位线，
可得OF∥DE，又OF 平面ACF，DE 平面ACF内，
可得DE∥平面ACF；
2．
【解答】解：证明：连接AC，交BD于点O，连接OM，则O为AC中点，
又M是PA的中点，
∴OM是△PAC的中位线，则OM∥PC，
又OM 平面BDM，PC 平面BDM，
∴PC∥平面BDM；
3．
【解答】证明：如图，连接AB1，AC1，
∴D是A1B的中点，E是B1C1的中点，
∴在△B1AC1中，DE∥AC1
∵DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1
∴DE∥平面ACC1A1
4．
【解答】证明：连结AC1，交A1C于点O，连结OD，
因为D是AB的中点，所以BC1∥OD，
因为BC1 平面A1CD，OD 平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．
5．
【解答】解：证明：如图，取BC的中点E，连接ME，EC1，
又M，N分别为AB和A1C1的中点．
∴ME∥AC，且ME＝AC，
NC1∥AC，且NC1＝AC，
∴ME∥NC1，且ME＝NC1，
∴四边形MEC1N为平行四边形，
∴MN∥EC1，又MN 平面BCC1B1，EC1 平面BCC1B1，
∴MN∥平面BCC1B1；
6．
【解答】证明：取PD的中点E，连接AE，EN，
因为E，N分别是PD，PC的中点，所以EN∥CD且，
又因为CD∥AB，M是AB中点，所以AM∥CD且，
所以AM∥EN且AM＝EN，
所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE，
因为MN 平面PAD，AE 平面PAD，
所以MN∥平面PAD；
7．
【解答】解：证明：取PD的中点E，连接EF，EC，又F为PA的中点，
∴EF∥AD，且EF＝AD，又AD∥BC，且BC＝AD，
∴EF∥CB，且EF＝CB，∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF∥CE，又BF 平面PCD，CE 平面PCD，
∴BF∥平面PCD；
8．
【解答】解：证明：取BC上靠近B的三等分点M1，连接MM1，B1M1，
又M为棱AC上靠近A的三等分点，N为棱A1B1上靠近A1的三等分点，
∴MM1∥，NB1∥，
∴MM1∥NB1，且MM1＝NB1，
∴四边形MM1B1N是平行四边形，∴MN∥M1B1，
∵NM 平面BB1C1C，M1B1 平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C．
9．
【解答】证明：∵AP∥平面BDM，AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH．
10．
【解答】证明：取PD的中点E，连接AE、NE，如图所示：
由NE∥DC，且NE＝DC，
AM∥DC，且AM＝DC，
所以NE∥AM，且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，
所以MN∥AE，
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD；
11．
【解答】解：因为AD∥BC，AD 平面ADEF，BC 平面ADEF，
所以BC∥平面ADEF，
又BC 平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，
所以BC∥EF．
12．
【解答】解：证明：连接PQ、BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形，
∴AP∥BQ，
∵AP 面AOP，BQ 面AOP，
∴BQ∥面AOP，
同理可证D1B∥面AOP，
又∵BQ∩D1B＝B，BQ 面BQD1，BD1 面BQD1，
∴面BQD1∥面AOP．
14．
【解答】证明：由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD＝D，
∴AD⊥平面PDC，
∴AD⊥PC，得证．
15．
【解答】证明：取CD的中点H，连接GH，FH，
∵G，F，H分别是线段EC，BD，CD的中点，
∴FH∥BC，GH∥DE∥AB，
又FH∩GH＝H，BC∩AB＝B，
∴平面FGH∥平面ABC，
又GF 平面FGH，
∴GF∥底面ABC．
16．
【解答】解：证明：如图，取PA的中点M，连接MD，MF，
∵F，M分别为PB，PA的中点，∴FM∥AB，FM＝AB，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵E为CD的中点，∴DE∥AB，DE＝AB．
∴DE∥FM，DE＝FM，则四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM．
∵EF 平面PAD，DM 平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
17．
【解答】证明：取CD中点F，连结NF、MF，
∵矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，
M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．
∴NF∥BC，MF∥CE，
∵NF∩MF＝F，BC∥CE＝C，
NF、MF 平面MNF，BC、CE 平面BCE，
∴平面BCE∥平面MNF，
∵MN 平面MNF，∴MN∥平面BEC．
18．
【解答】证明：由AB是圆O的直径，得AC⊥BC．…（2分）
由PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，得PA⊥BC．…（4分）
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．…（7分）
19．
【解答】证明：因为ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，
所以BF∥DE，
又因为DE 平面ADE，BF 平面ADE，
故BF∥平面ADE，
在矩形ABCD中，BC∥AD，
又AD 平面ADE，BC 平面ADE，
故BC∥平面ADE，
因为BC∩BF＝B，BC，BF 平面BCF，
故平面AED∥平面BCF；
20．
【解答】解：证明：因为BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BC∥AD；
21．
【解答】证明：连接DD1．在四边形BDD1B1中，BD＝BC＝B1C1＝B1D1，BD∥B1D1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，
所以DD1＝BB1＝AA1①，且DD1∥BB1∥AA1②；由①、②得：
四边形ADD1A1为平行四边形，
所以AD∥A1D1③；
过B点作直线l1'∥AD，由③知l1'∥A1D1，由于AD在面ABC中，
A1D1在面A1B1C1中，
所以l1'∥面ABC，l1'∥A1B1C1，由于B点同时在面ABC和面A1B1C1中，
所以l1'同时在面ABC和面A1B1C1中，即l1'为面ABC和面A1B1C1的交线，
所以l1'即为l1，
所以l1∥AD∥A1D1④；
过C1作直线l2'∥A1D1，同上可以证明l2'即为l2，l2∥AD∥A1D1⑤；由④、⑤即得l1∥l2．
22．
【解答】解：证明：过点P作PE∥AD交BD于点E，过点Q作QF∥AD交CD于点F，则PE∥QF，
因为M是AD的中点，P是BM的中点，所以，因为AQ＝3QC，
由平行线分线段成比例定理，得，所以PE＝QF，
所以四边形PEFQ为平行四边形，所以PQ∥EF，
又PQ 平面BCD，EF 平面BCD，所以PQ∥平面BCD；
23．
【解答】证明：设AE中点为G，连结GF，GC，
又∵F为AB的中点，∴GF∥EB，
∵GF 平面BED，BE 平面BED，∴GF∥平面EBD．
由题意可得，，∴ED∥GC，
又CG 平面BED，ED 平面BED，∴GC∥平面EBD，
∴平面GFC∥平面EBD，
则FC∥平面EBD；
24．
【解答】证明：∵AA1⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴AA1⊥BC，
又∵BC⊥AB，AA1 平面A1AB，AB 平面A1AB，AA1∩AB＝A，
∴BC⊥平面A1AB，又∵BC 平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面A1AB．
25．
【解答】解：取CD中点N，连接MN，FN，
因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD，
又BD 平面BDE，且MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE，
因为EF∥平面ABCD，EF 平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
所以EF∥AB，又AB＝CD＝2DN＝2EF＝2，AB∥CD，
所以EF∥CD，EF＝DN．
所以四边形EFND为平行四边形．所以FN∥ED．
又ED 平面BDE且FN 平面BDE，
所以FN∥平面BDE，又FN∩MN＝N，
所以平面MFN∥平面BDE．又MF 平面MFN，
所以FM∥平面BDE．
26．
【解答】解：证明：连结AC，BD，交于点O，连结OP，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设OB＝OD＝OA＝OC＝a，PO＝b，
则C（0，a，0），E（，0，），B（a，0，0），D（﹣a，0，0），F（0，﹣，），
＝（，﹣a，），＝（2a，0，0），＝（a，﹣，），
设平面DBF的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝b，得＝（0，b，2a），
＝0﹣ab+ab＝0，CE 平面BCF，
∴CE∥平面BDF．
27．
【解答】证明：取PA中点F，连接EF，BF，因为E为PD中点，F为PA中点，
所以EF∥AD，且．
又因为BC∥AD，且，
所以EF∥BC，且EF＝BC．
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE∥BF，
因为CE 平面 PAB，BF 平面PAB，
所以CE∥平面 PAB．
28．
【解答】证明：设AC与BD交于点O，连接OE，
∵底面ABCD是菱形，
∴O为DB中点，
又∵E是DD1的中点，
∴OE∥D1B，
∵OE 面AEC，BD1 平面AEC
∴BD1∥平面ACE．
29．
【解答】解：证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（2，0，2），D（0，，），
＝（2，0，0），＝（0，，），＝（0，2，﹣2），
因为 ＝0， ＝0，所以⊥，⊥，
又AC∩AD＝A，所以A1B⊥平面ACD．
30．
【解答】证明：在DE上取点M，使DM＝AF，
因为AF∥面CDE，平面AFED∩面CDE＝DE，所以AF∥DE，
所以四边形AFMD为平行四边形，所以MF∥AD，MF＝AD＝3，
因为AF＝1，DE＝3，EF＝，所以ME＝2，于是EF2＝MF2+ME2，
所以MF⊥DE，所以AD⊥DE，
又因为ABCD是正方形，所以AD⊥DC，
又因为DE∩DC＝D，所以AD⊥平面CDE．
31．
【解答】证明：以为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
不妨设AP＝a，则P（0，0，a），E（1，1，0），D（0，2，0），
从而，
于是 ＝（1，1，﹣a） （1，﹣1，0）＝0，
所以，所以PE⊥DE
32．
【解答】证明：因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直棱柱，所以 BB1⊥平面 ABC，
又因为 AC 平面 ABC，所以 AC⊥BB1，
因为∠ACB＝90°，则 AC⊥BC，且 BC∩BB1＝B，所以 AC⊥平面 BCC1B1，
又因为 B1E 平面 BCC1B1，所以 AC⊥B1E；
33．
【解答】证明：因为M，N分别为PC，CD的中点，则MN∥PD，
因为PD⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，
因为BN 平面ABCD，所以MN⊥BN，
因为ABCD时矩形，AD＝2，DN＝CN＝2，所以AN＝BN＝，
在△ABN中，AN2+BN2＝AB2，所以AN⊥BN，因为MN∩AN＝N，
所以BN⊥平面AMN，又AM 平面AMN，所以BN⊥AM；
34．
【解答】解：因为AD⊥CD，
所以，
又PA＝PC＝3，O为AC的中点，
所以，
连接OD，在Rt△ACD中，O为AC的中点，
所以．
因为OD2+OP2＝PD2，
所以OP⊥OD，
又OD∩AC＝O，
所以OP⊥平面ABCD．
又BC 平面ABCD，
所以OP⊥BC．
35．
【解答】证明：取AC中点N，连接MN、BN，
∵△ABC是正三角形，
∴BN⊥AC，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，
∴EC∥BD，EC⊥BN，
又∵M为AE中点，EC＝2BD，
∴MNBD，∴BNDM，
∴四边形MNBD是平行四边形，
因为BN⊥AC，BN⊥EC，
所以BN⊥平面AEC，
∴DM⊥平面AEC，
∴DM⊥AE，
∴AD＝DE．
36．
【解答】证明：因为四边形ABEF为矩形，所以AF∥BE，
又BE 平面BCE，AF 平面BCE，所以AF∥平面BCE．
37．
【解答】证明：∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥DP，
∵DP＝2，AP＝2，∠PAD＝60°，
由，可得sin，∴∠PDA＝30°，
∴∠APD＝90°，∴DP⊥AP，
∵AB∩AP＝A，∴DP⊥平面PAB，∵DP 平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．
38．
【解答】证明：取AD的中点O，连OE，OC，CA，
∵∠ABC＝60°，∴△ACD为等边三角形，得AD⊥OC，
又AD⊥CE，∴AD⊥平面COE，得AD⊥OE，
又OE∥PD，∴AD⊥PD，
又∠PDC＝90°，∴PD⊥平面ABCD，
又PD 平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
39．
【解答】解：证明：由正三角形PAD中，E为PD中点，可得AE⊥PD，
因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，
而AE 平面PAD，所以CD⊥AE，
由CD∩PD＝D，则AE⊥平面PCD，
而AE 平面AEC，所以平面PCD⊥平面ACE；
40．
【解答】证明：因为AB⊥BC，AB∥A1B1，所以BC⊥A1B1，
在△A1AC中，A1A＝A1C＝AC＝2，O为AC的中点，
所以A1O⊥AC，
又侧面AA1C1C⊥底面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，
所以A1O⊥平面ABC，
因为BC 平面ABC，所以A1O⊥BC，
因为A1B1，A1O 平面A1B1O，A1B1∩A1O＝A1，
所以BC⊥平面A1B1O，
又BC 平面BCA1，所以平面A1B1O⊥平面BCA1．
41．
【解答】证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC，又BC 平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB．
42．
【解答】
证明：连接A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中点，
∴A1E⊥AC，
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E 平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
∴A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，
∵A1F∥AB，∠ABC＝90°，∴BC⊥A1F，
∵A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF，
∴EF⊥BC．
43．
【解答】在平面PAB内过点A作AE⊥PB，垂足为E，
因为平面PBA⊥平面PBD，平面PBA∩平面PBD＝PB，
所以AE⊥平面PBD，
又BD 平面PBD，
则AE⊥BD，
过点B，C分别作BM，CN垂直AD于点M，N，
所以∠DBA＝90°，即AB⊥BD，
因为AB∩AE＝A，且AB，AE 平面PAB，
则BD⊥平面PAB，
又PA 平面PAB，
所以BD⊥PA，又PA⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD 平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD；
44．
【解答】证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC；
∴AC⊥平面BCK，BF 平面BCK；
∴BF⊥AC；
又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2；
∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点；
∴BF⊥CK，且AC∩CK＝C；
∴BF⊥平面ACFD；

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