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普集镇高中2022-2023学年高三上学期12月阶段性检测
数学（文）试题参考答案
1．D
【分析】由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.
【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数
所求概率为
故选：D
2．C
【分析】利用等比中项得到，直接求得.
【详解】等比数列{an}中，若a5＝9，所以，
所以.
故选：C
3．D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
4．D
【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.
【详解】解：对于A：若，，则或，故A错误；
对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，，则或或或与相交（不垂直），故C错误；
对于D：若，，由线面垂直的性质可得，故D正确；
故选：D
5．D
【分析】根据椭圆的焦距，分，求解.
【详解】由题知，.
若，则，，
所以，即；
若，则，，即.
故选：D
6．D
【分析】由题意求出，，由交集的定义即可得出答案.
【详解】因为，
所以，所以.
故选：D.
7．A
【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
8．D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

9．B
【分析】根据二项展开式的通项公式，并结合求解即可.
【详解】解：展开式第项，
因为，所以，即，
所以，整理得，解得.
故选：B.
10．D
【分析】如图以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设，则，然后表示出，求其最小值即可，
【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为，，，，
所以，不妨设，，
则，
所以当时，取得最小值，
故选：D
11．A
【分析】根据指对数互化，利用对数函数的性质判断a、b、c的大小.
【详解】由题设，，又，
而，则，
综上，.
故选：A
12．B
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，
所以最短路径条数为条，错误；
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，
所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；
对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，
所以，错误.
故说法正确的个数是2.
故选：B.
13．#
【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为齐次式，代入即可求解.
【详解】因为，可得.
故答案为：#.
14．
【分析】利用数列通项与前n项和的关系求解即可.
【详解】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，
显然当n＝1时，不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an＝
故答案为：
15．4880
【分析】设，则可表示出这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出.
【详解】设，，则，
则这个简易工作房总造价为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.
故答案为：4880.
16．
【分析】设，，则，再对分两种情况讨论得解.
【详解】记，，
因为p是q的充分条件，所以.
当时，，即，符合题意；
当时，，由可得，所以，即.
综上所述，实数的k的取值范围是．
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【详解】（1）由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因为，即
所以得
所以
（2）因为所以
化为，即或
不等式的解集为
18．(1)
(2)7
【分析】（1）设等差数列的公差为d，则由题意可得，化简可得从而可求出d，进而可求出通项公式，
（2）由，得，解不等式可得答案
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则
∵成等比数列，
∴，即，即
又
∴
∴
∴数列的通项公式为
（2）
则不等式，即
整理可得，解得或，
又n为正整数，故n的最小值为7.
19．(1)
(2)，或
(3)或
【分析】（1）利用点到直线的距离求出半径，即可得到圆C的标准方程；
（2）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，当斜率存在时，设出直线，利用点到直线距离等于半径求出斜率，即可求解；
（3）分类讨论直线斜率不存在与存在的情况，利用圆的垂径定理，列出弦长公式进行求解.
【详解】（1）圆心到直线的距离，
所以圆的半径为，
所以；
（2）当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，不相切．
直线斜率存在，设直线，
由，得所以切线方程为，或．
（3）当直线斜率不存在时，，直线被圆所截得的弦长为，符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，
由，解得：，
故的方程是，即，
综上所述，直线的方程为或
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程.
（2）分析可得四边形为梯形的充分必要条件是，设,可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论.
【详解】（1）解：由已知得,解得,
∴椭圆的方程.
（2）证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点,
设,则,.
，.
∵直线与椭圆交于、两点，
∴
由于直线与直线不平行，
∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，
即,即,
∵,∴上式又等价于，
即（*）.
由,得,
∴,
，
∴（*）成立，
∴四边形为梯形.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为,由此即可求出，再结合，即可求出答案.
（2）设出直线，联立直线与椭圆，消，利用韦达定理即可表示出、.利用即可列出方程,即可求出答案.
(1)
∵的周长为8，
∴，即，
又，且，
∴，.
∴椭圆C的方程为.
(2)
依题意可设直线的方程为：，
联立消去x得.
设，，则，.
∴.
∴，解得.
∴直线的方程为：或
22．（1）极大值为，极小值为；（2）．
【分析】（1）求出函数的导数，进而求出函数的单调区间，从而结合极值的概念即可求出结果；
（2）问题转化为有三个不同的解，设，求出导数，根据函数的单调性作出函数图象，数形结合即可求出结果.
【详解】（1）因为，
令，得，，
当变化时，，的变化如下表所示：
极大值 极小值
由上表可知，函数的极大值为，极小值为．
（2）由（1）知，
由题知需有三个不同的解，即有三个不同的解．
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又当时，，当时，且，且，．
作出函数的简图如图：
数形结合可知：．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．普集镇高中2022-2023学年高三上学期12月阶段性检测
数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20
2．等比数列{an}中，若a5＝9，则log3a4+log3a6＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
3．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知、是两条不同的直线，是一个平面，则（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．已知椭圆的焦距为，则m的值不可能为（ ）
A．1 B．7 C． D．
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设，若，则n=（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
10．已知梯形ABCD 中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
11．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若，则=______．
14．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
15．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
16．已知条件，，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知函数是二次函数，，．
(1)求的解析式；
(2)解不等式．
18．记Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，若，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的n的最小值.
19．已知圆C的圆心为原点，且与直线相切，直线过点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C相切，求直线的方程．
(3)若直线被圆C所截得的弦长为，求直线的方程．
20．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．
21．已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
22．已知，是的导数．
（1）求的极值；
（2）令，若的函数图像与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围．

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