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高中数学 高考复习 基本不等式 专题练习
（选择题+解答题）100题合集
一、单选题
1．已知，则的最小值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则取得最小值时，的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
6．若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
11．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
12．已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
13．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
15．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0 B．有最小值为0
C．有最大值为－4 D．有最小值为－4
17．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
18．若，则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
19．已知，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
20．若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
21．若，则有（ ）
A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值
22．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
23．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
24．若实数，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
25．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
26．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
27．已知集合，则=
A． B． C． D．
28．下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
29．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
30．已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
31．已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．当时，的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
33．已知实数x，y满足，那么的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
34．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
35．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
36．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
39．小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
40．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（ ）
A．60单位 B．70单位 C．80单位 D．90单位
41．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
43．若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
44．已知实数满足，则的最小值为( )
A．2 B．1 C．4 D．5
45．当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
46．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
47．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
48．已知函数()，当时，取得最小值，则（ ）
A． B．2 C．3 D．8
49．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
50．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、解答题
51．已知x、，且，求xy的范围．
52．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
53．（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
54．若，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.
（1）；
（2）；
（3）.
55．已知.
(1)若x ，求的最大值；
(2)若x ，求的取值范围.
56．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值．
57．已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
58．设求取得最小值时x，y的取值．
59．已知正数a、b满足a＋b－ab＝0．
(1)求4a＋b的最小值；
(2)求的最小值．
60．（1）已知正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最大值．
61．某地政府指导本地建扶贫车间 搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
62．已知函数.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围
63．（1）若，求的最小值及对应的值；
（2）若，求的最小值及对应的值．
64．某旅游公司在相距为的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．
（1）当游船以航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润收入成本）
（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？
65．（1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？
66．（1）已知，求的最大值．
（2）已知，求的最大值．
（3）已知，求的最大值．
67．如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
(1)现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
(2)若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
68．已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.
69．销售甲种商品所得利润是万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式；销售乙种商品所得利润是万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式．其中，为常数．现将万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品．所得利润为万元．若将万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y万元
（1）求利润总和y关于x的表达式：
（2）怎样将万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．
70．某种商品原来每件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
71．已知关于的不等式的解集为．
(1)求，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
72．动物园要围成相同面积的矩形虎笼两间，一面利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成（如图）．若每间虎笼的面积为，墙长米，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成西间虚笼的钢筋网总长最小？并求出钢筋网的长度．
73．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
74．已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.
75．某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：.小明由此得到启发，在求，的最小值时，小明给出的解法是：，当且仅当时，取到最小值-2.
（1）请你模仿小明的解法，研究，上的最小值；
（2）求出当时，，的最小值.
76．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.
(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.
77．（1）设，求的最大值；
（2）已知，，若，求的最小值．
78．若x,y为正实数,且,求的最小值.
79．已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.
80．已知且，求使不等式恒成立的实数m的取值范围．
81．在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
(1)已知正实数x y满足，求的最小值.甲给出的解法：由，得，所以，所以的最小值为4.而乙却说甲的解法是错的，请你指出其中的问题，并给出正确的解法；
(2)结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值.
82．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．
（1）求的最小值；
（2）证明：＜．
83．已知，求的最大值，以及y取得最大值时x的值．
84．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
85．（1）已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值．
（2）已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值．
（3）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值；
86．已知均为正实数．
(1)求证：．
(2)若，证明：．
87．（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
88．一批救灾物资随辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区．已知两地公路线长，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于，那么这批物资全部到达灾区最少需要多长时间？
89．已知.
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值.
90．过点作直线 分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线 的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线 的方程.
91．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
92．某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.
（1）解释的实际意义；
（2）求y的最小值.
93．第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入( - 600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
94．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
95．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？
96．已知x＞0，y＞0，z＞0，求证： ≥8.
97．已知，，为正数，且满足．证明：
（1）；
（2）．
98．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
99．已知，，均为正数，且，求证：
（1）；
（2）．
100．已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】∵，∴，
∴≥＝6，
当且仅当即时， 取最小值6，
故选：A．
2．A
【分析】由于，所以，则，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】由于，所以
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
3．A
【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.
【详解】
，
当且仅当，即，，时，等号成立.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．A
【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】若要使最大，则均为正数，即符号相同，
不妨设均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
5．A
【分析】由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立 m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
6．D
【分析】将变形为，即可利用均值不等式求最小值.
【详解】因为，所以，因此,当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值等于3.
故选：D.
7．B
【分析】由基本不等式，可判定A不正确；由，可判定B正确；根据特例，可判定C、D不正确；
【详解】由基本不等式可知，故A不正确；
由，可得，即恒成立，故B正确；
当时，不等式不成立，故C不正确；
当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
8．A
【分析】由基本不等式求解即可
【详解】因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
9．D
【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.
【详解】由可知
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
以上三个不等式两边同时相乘，可得
（当且仅当时等号成立）
故选：D
10．B
【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
11．B
【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，
所以.
故的最小值是16.
故选：B
12．D
【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
13．D
【分析】令，则，由权方和不等式和基本不等式得，即可求解．
【详解】由得
因为，，则
令
则化为恒成立，
由权方和不等式得
当且仅当，得即时等号成立．
所以
故选：D
14．C
【分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C
15．C
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】解：，
，
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
16．B
【分析】由均值不等式可得，分析即得解
【详解】由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
17．B
【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.
【详解】因为，且为正实数
所以
，当且仅当即时等号成立.
所以.
故选：B.
18．A
【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
19．C
【解析】由题意可得，结合目标式即可构造出，进而利用基本不等式求的最小值
【详解】由知：，而，
∴，则
∴
故选：C
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，由已知方程得到目标式的等价形式，应用等价代换构造出基本不等式的形式求最值
20．A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
21．D
【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．
故选：D.
22．A
【分析】由已知得， 代入得，令，根据基本不等式可求得答案.
【详解】解：因为，所以，所以 ，
所以，
令，则，且 ，
所以，当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值是.
故选：A.
23．B
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
24．D
【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D
25．B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
26．A
【分析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
27．C
【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得，，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
28．C
【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
29．B
【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.
故选：.
30．A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
31．B
【分析】由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
32．D
【分析】依据均值定理去求的最小值即可.
【详解】由（当且仅当时等号成立．）
可得当时，的最小值为
故选：D
33．C
【分析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.
【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.
故选：C.
34．D
【分析】对方程变形，再利用基本不等式进行求解.
【详解】整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10
故选：D
35．D
【分析】平均速度等于总路程除以总时间
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
36．C
【分析】依题意，利用基本不等式求出的最大值，即可得解；
【详解】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
37．C
【分析】由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
38．D
【分析】当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
39．C
【分析】设矩形的长、宽分别为x，y，篱笆的长为l，则，且，然后利用基本不等式可求得答案
【详解】设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且，
则，当且仅当(m)，符合题意，
即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，
故选：C．
40．D
【分析】设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．
【详解】解：设每生产单位试剂的成本为，
因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，
职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，
则，
当且仅当，即时取等号，
满足，
所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．
故选：D．
41．B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
42．B
【分析】对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
43．C
【分析】对原不等式进行化简可得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】∵不等式对任意正数a，b恒成立，
∴（，）恒成立，
∵，
当且仅当且，即时等号成立.
∴.
故选：C.
44．A
【分析】将a-1和b-1看作整体，由构造出，根据即可求解．
【详解】由得，因式分解得，
则，当且仅当时取得最小值．
故选：A．
45．B
【分析】利用基本不等式直接求解.
【详解】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
46．A
【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
47．B
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则有，解得，
当且仅当，取到最小值.
故选：B.
48．C
【分析】通过题意可得，然后由基本不等式即可求得答案
【详解】解：因为，所以，
所以,
当且仅当即时，取等号，
所以y的最小值为1，
所以，所以，
故选：C
49．D
【分析】由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时 ；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得 ，此时.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
50．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
51．
【分析】利用基本不等式转化已知条件，结合解一元二次不等式求得的取值范围.
【详解】因为x、y是正实数，故，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以．令，则，得，解得．
又，知，即xy的范围是．
52．（1）最大值为；（2）最小值为5.
【分析】（1）直接用基本不等式求解；
（2）依题意，，进而用基本不等式可求得结果.
【详解】（1）因为所以，
即当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
53．（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；
（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.
【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.
（1）由已知得，由，可得，所以，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；
（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.
由，可得，
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.
54．（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析.
【解析】(1)作差分解因式，即可得出答案；
(2)作差分解因式，即可得出答案；
(3)用基本不等式，即可得出答案.
【详解】（1）正确
（2）正确
（3）正确
【点睛】本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.
55．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知条件，利用基本不等式求得，即可确定最大值，注意取值条件.
（2）由且得到，并代入目标式，应用二次函数性质求范围.
（1）
由x ，则，故，
当且仅当时等号成立，即的最大值为.
（2）
由，则，又，
所以，
由，
所以.
56．（1）9；（2）．
【分析】（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为．
57．(1) ；(2) .
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.
58．或．
【分析】化简，再证明，即得
，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由基本不等式得
下面证明，。
即证，
即证
即证，显然成立. 当且仅当时等号成立.
所以，当且仅当时等号成立.
当且仅当，且，等号同时成立.
解得或．
故取得最小值时x，y的取值为或．
59．(1)9
(2)16
【分析】（1）基本不等式“1”的妙用求最值；
（2）利用，结合基本不等式求最值.
（1）
因为，所以，
又因为、是正数，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为；
（2）
因为且、为正数，
所以，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为．
60．（1）8；（2）－1
【分析】（1）运用基本不等式由，可求得 的最小值；
（2）原式可变形为，运用基本不等式可求得的最大值．
【详解】（1）因为正数，满足，
所以，得，
当且仅当时，即时取等号，则的最小值为8；
（2）因为，所以，
所以
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为－1．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
61．（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
【分析】（1）根据题意结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.
【详解】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.
依题意得，当时，.
当时，.
所以.
（2）当时，，
故当时，取得最大值4.5万元.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
62．（1）12；（2）.
【分析】（1）变形为后，根据基本不等式可得结果；
（2）转化为，等价于，等价于，等价于.
【详解】解：（1）因为，所以，
因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
所以当时，.
（2）存在，使得成立，
等价于当时，
由（1）知，所以，
所以.
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，考查了不等式能成立问题，属于中档题.
63．（1）最小值为5，；（2）最小值为，．
【分析】（1）化简，再利用基本不等式求解；
（2）化简，再利用基本不等式求解.
【详解】（1）因为，所以，
当且仅当即时等号成立，函数取最小值5；
（2）
当且仅当即时等号成立，函数取最小值.
64．（1）4750元；（2）游轮的航速应为，最大利润是4800元．
【分析】（1）设游船的速度为，旅游公司单程获得的利润为（元，根据利润收入成本建立函数关系式，所以，代入即可求得；
（2）利用基本不等式求出最大利润即可．
【详解】解：（1）设游船的速度为，旅游公司单程获得的利润为（元，
因为游船的燃料费用为每小时元，依题意，则．
所以．
时，元；
（2），
当且仅当，即时，取等号．
所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为，最大利润是4800元．
65．（1）；（2）1；（3）
【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；
（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.
【详解】（1），
当且仅当，即时，取等号.
故所求的值为.
（2）因为，所以，
则.
当且仅当，即时，取等号.
故的最大值为1.
（3）
.
当且仅当，即时，取等号.
故函数的最小值为.
66．（1） ；（2）；（3） .
【分析】（1）由已知得，根据基本不等式可求得最大值．
（2）由基本不等式得，由此可求得最大值．
（3）由已知得．根据基本不等式可求得最大值．
【详解】解：（1）∵，∴．
∴，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
（2）∵，∴．
∴，
当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
（3）∵，∴．根据基本不等式得，∴，当且仅当，即时，等号成立．
故当时，．
67．(1)长为，宽为
(2)长为，宽为
【分析】（1）设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为，可得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论；
（2）设每间老虎笼的长为，宽为，则，利用基本不等式可求得钢筋网总长的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论.
（1）
解：设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为，
由已知可得，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使得每间虎笼的面积最大.
（2）
解：设每间老虎笼的长为，宽为，则，
钢筋网总长为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
68．（1）证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】（1）由分析法，只需证明即可, 利用基本不等式即可证明.
（2）只需，左边，进而可得结果.
【详解】（1）由于，所以，，，
要证，
只需证明.
左边
（2）要使，只需，
左边，
所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.
69．（1）；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．
【分析】（1）由题意得，代入数值计算即可求出结果；
（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）因为对甲种商品投资x万元，所以对乙种商品投资为万元，
由题意知：，
当时，，当时，，
则解得，
则．
（2）由（1）可得
，当且仅当时取等号，
故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为万元．
70．(1)元
(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
【分析】（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；
（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求
（1）
设每件定价为元，
则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
（2）
由题得当时：有解，
即：有解．
又，
当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
71．(1)，
(2)
【分析】（1）首先根据题意得到，为方程的根，且，再利用根系关系求解即可.
（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以，为方程的根，且.
所以，解得，.
（2）因为恒成立，
所以即可.
因为，所以，
当且仅当，即时取等号.
所以，解得.
72．当时，每间虎笼的长、宽分别为，时，所用的钢筋网总长最小，钢筋网的长度为．
当时，每间矩形虎笼的两边长分别为，时，所用的钢筋网总长最小，钢筋网的长度为．
【分析】设每间虎笼靠墙一边的长为米，钢筋网的长为米，建立函数解析式：，分和两种情况讨论，求最值.
【详解】设每间虎笼靠墙一边的长为米，钢筋网的长为米，则
①若，，当且仅当，即时，．
故当每间虎笼的长、宽分别为，时，所用的钢筋网总长最小，钢筋网的长度为．
②若，函数在上递减，
当，．
故当每间矩形虎笼的两边长分别为，时，所用的钢筋网总长最小，钢筋网的长度为．
73．(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.
【详解】(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
74．（1）证明见解析；（2）1.
【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果.
【详解】证明：（1）∵，
∴.
（2）∵，，
∴，即，
∴，∴.
当且仅当时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
75．（1）-3；（2）.
【分析】（1）根据小明解法，利用均值不等式求解；
（2）转化条件，应用均值不等式求解.
【详解】（1）由，知，
当且仅当时，取到最小值-3；
（2）由，，知
；
当且仅当时，取到最小值.
76．(1)，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)有，最大值为；
【分析】（1）通过，求出．得到矩形的面积为．利用基本不等式求解学生公寓的面积的最大值．
（2）由三角形相似可得，设，，即可得到，再利用基本不等式得到，由矩形的面积为，即可得到学生公寓的面积最大值；
（1）
解：设，依题意知，所以，
即，则．
故矩形的面积为．
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
故，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
（2）
解：由（1）可得，即，同理可得，
设，，所以，即，所以，即，因为的面积为，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以学生公寓的面积有最大值为；
77．（1）；（2）．
【分析】（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；
（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
（2）因为，，所以，．
又，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
78．18
【解析】首先已知条件变形为，再化简，利用基本不等式求最小值.
【详解】
(当时取“=”)
所以的最小值是.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.
79．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式证明即可；
（2）由利用基本不等式求最值即可.
（1）
因为a，b，c都是正数，所以
，当且仅当时，等号成立，
所以；
（2）
，
当且仅当时等号成立.
∴.
80．.
【分析】要使不等式恒成立，只需求的最小值，将展开利用基本不等式可求解.
【详解】由，则．
当且仅当即时取到最小值16．
若恒成立，则．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.
81．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先根据两次基本不等式等号不能同时成立判定甲的解法错误，再巧用“”进行求解；
（2）利用的特点，构造，巧用“”进行求解.
（1）
解：甲的解法中两次用到基本不等式，取到等号的条件分别
是2x=y和x=2y，显然不能同时成立，故甲的解法是错的.
正确的解法如下：
因为，且，
所以
，
当且仅当，即时取“”，
所以的最小值为.
（2）
解：因为，所以，
所以
，
当且仅当，
即时取“”，
所以的最小值为.
82．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；
（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．
【详解】（1），
当且仅当“”时取等号，
故的最小值为；
（2）证明：
，
当且仅当时取等号，此时a+b≠1．
故＜．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式证明不等式，属基础题.
83．当时，y取得最大值
【解析】根据基本不等式，求得的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得此时的值.
【详解】∵，∴，∴．
当且仅当，即时，取等号．即当时，y取得最大值．
【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
84．（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【分析】(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.
【详解】解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
（2）因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
85．（1）；（2）-1；（3）.
【分析】（1）将原式改为，进而用基本不等式解决；
（2）根据题意，将原式改为，进而用基本不等式解决；
（3）根据x＋y＝4，，将原式改为，进而化简，最后根据基本不等式得到答案.
【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为.
（2）因为x＜3，所以，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最大值为-1.
（3）因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以，当且仅当时取“=”.则函数的最小值为.
86．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将、、三式相加可证明；
（2）由条件可得，然后可证明.
（1）
因为均为正实数，
所以（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
（当且仅当时等号成立），
以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），
所以（当且仅当时等号成立），
即（当且仅当时等号成立）．
（2）
由题可得，
则左边
，
当且仅当，，，，即时取“＝”．
故成立．
87．（1）7；（2）．
【分析】（1）由题可知，，利用基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1的妙用”即可求解.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为．
88．最少需要小时．
【分析】计算出全程所需时间，利用基本不等式可求得结果.
【详解】当最后一辆车子出发时，第一辆车子走了小时，
最后一辆车走完全程共需要小时，
所以一共需要小时，
由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，
故最少需要小时．
89．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以ab的最大值为.
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
90．（1）；（2）
【分析】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，代点可得，
（1）由基本不等式可得，由等号成立的条件可得和的值，由此得到直线方程，
（2），由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题．
91．(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
92．（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元；（2）的最小值为3万元.
【分析】（1）根据题意，即可知道实际意义
（2）建立关于的函数，求最值即可.
【详解】解（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.
（2）由 ∴
∵ ∴
∴（万元）
当且仅当即时取“=”
答：的最小值为3万元.
93．(1)要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元
(2)当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元
【分析】（1）设每件定价为元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，可以求得结论．
【详解】（1）解：设每件定价为t元，依题意得，
整理得 ，
解得.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）解：依题意，时，
不等式有解
等价于时，有解
（当且仅当时，等号成立）
．此时该商品的每件定价为30元
当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
94．（1）4；（2）25．
【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；
（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．
【详解】（1）因为a、b是正数，
所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．
（2）由
因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
95．宽为，长为.
【分析】作出图形，设场地一边长为，则另一边长为，求出新墙的总长度，利用基本不等式可求得新墙的总长度的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出结论.
【详解】如图，设场地一边长为，则另一边长为．
因此新墙总长度．
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当堆料场的宽为，长为时，可使砌墙所用的材料最省．
96．证明见解析.
【分析】利用基本不等式得，，，可得证.
【详解】因为x＞0，y＞0，z＞0，所以，，，
所以 ≥＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立.
所以 ≥8.证毕.
【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式成立，属于基础题.
97．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先证明成立，再由展开结合前面已知的结论即可证明不等式成立；
（2）根据题中条件，可得，展开利用均值不等式可证.
【详解】解：（1）∵，
∴
∴
当且仅当时，等号成立，
因为，，为正数，且满足，
∴
∴，即
（2）∵
∴
当且仅当，，时，上式等号成立．
【点睛】关键点睛：本题考查利用均值不等式证明不等式，解答本题的关键是对常数 1的处理，由，则展开即可证明，属于中档题.
98．（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
99．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）利用基本不等式直接证明即可.
（2）利用基本不等式直接证明即可.
【详解】证明：（1）因为，，均为正数，，
所以，，，
三式相乘，得，
当且仅当时，等号成立．
（2）因为，，均为正数，，
所以，，，
三式相加，得，
即，
当且仅当时，等号成立．
100．（1）9；（2）(－8，2)．
【解析】（1），利用基本不等式性质即可求得最小值．
（2）利用基本不等式求出的最小值，代入求出的范围即可．
【详解】解：（1）因为，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为9．
（2）因为，，
所以，
所以．
因为恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题．

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