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高中数学 高考复习 二项式 专题练习
（选择题+解答题）100题合集
一、单选题
1．已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则的展开式的各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若与的展开式中的常数项相等，则（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
3．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为，则等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461
5．设若，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
6．若（a，b为有理数），则a=（ ）
A．-25 B．25 C．40 D．41
7．的展开式中系数最大的项是（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第5项、第6项 D．第6项、第7项
8．设，则等于（ ）
A．1 B． C．63 D．64
9．的展开式中，的系数为（ ）
A．80 B．40 C． D．
10．设，且，若能被13整除，则a等于（ ）
A．0 B．1 C．11 D．12
11．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（ ）
A．1 B．243 C．121 D．122
12．已知，若的展开式的第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则=（ ）
A．32 B．64 C．128 D．256
13．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
14．在的展开式中.常数项为（ ）
A． B． C． D．
15．在的展开式中的系数为20，则常数（ ）
A． B． C． D．
16．展开式中的系数是（ ）
A．10 B． C．5 D．
17．若的展开式有9项，则自然数的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
18．在的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
19．已知的展开式中，二项式系数的和为，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．已知的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为（ ）
A． B． C． D．
21．的展开式中，项的系数是（ ）
A．56 B．－56 C．28 D．－28
22．的展开式中的常数项为（ ）
A．40 B．60 C．80 D．120
23．展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
24．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
25．的展开式的第3项是（ ）
A． B． C． D．
26．若的展开式中各项系数的和为256，则的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
27．的展开式中含的项的系数是（ ）
A． B． C． D．
28．的二项展开式中，奇数项的系数和为（ ）
A． B． C． D．
29．已知的展开式中含的项的系数为（ ）
A．30 B．-30 C．25 D．-25
30．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
31．在的展开式中，的系数是（ ）
A．20 B． C． D．
32．在的展开式中，的系数为（ ）．
A． B．5 C． D．10
33．已知，展开式中的系数为，则等于（ ）
A． B． C． D．
34．的展开式中的系数为（ ）
A．42 B．56 C．62 D．66
35．在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
36．若，则（ ）
A．40 B．41 C． D．
37．已知.则（ ）
A．-30 B．30 C．-40 D．40
38．已知，则（ ）
A． B． C． D．
39．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
40．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．120
41．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
42．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
43．已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）
A． B． C．2021 D．
44．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为（ ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
45．展开式中常数项为（ ）.
A．11 B． C．8 D．
46．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
47．已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
48．在二项式的展开式中各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
49．若的展开式中项的系数是，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
50．若（），则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
51．.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
52．求证：．
53．已知
(1)求；
(2)求.
54．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
(1)求n；
(2)求展开式中系数最大的项．
55．求的展开式中：
(1)各项系数之和；
(2)各项系数的绝对值之和；
(3)系数最小的项.
56．设，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
57．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；
（1）a0；
（2）a1＋a3＋a5＋…＋a99；
（3）(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
58．已知的展开式的二项式系数和为64.
(1)求n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
59．已知在的展开式中，第6项为常数项.
（1）求n；
（2）求展开式中所有的有理项.
60．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
61．已知的展开式中二项式系数和为16．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求．
62．已知二项式，求展开式中的：
(1)第6项；
(2)第3项的系数；
(3)含的项；
(4)常数项．
63．在二项式的展开式中，
（1）求展开式中含项的系数：
（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.
64．若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？
65．在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求展开式中二项式系数最大的项.
(2)求的展开式中的常数项.
66．已知，该展开式二项式系数和为32.
(1)求n的值；
(2)求的值.
67．在二项式的展开式中，______.
给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项.
68．二项式的展开式中，中间项的系数为-160.
(1)求的值；
(2)求.
69．已知的展开式中各项的二项式系数之和为16．
(1)求的值及展开式中各项的系数之和；
(2)求展开式中的常数项．
70．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第项的系数与第项的系数之比为；
②第项与倒数第项的二项式系数之和为；
③.
已知在的展开式中， .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含的项.
71．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
72．设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
73．求证：.
74．已知，．
（1）记展开式中的常数项为m，当时，求m的值；
（2）证明：当时，在的展开式中，与的系数相同．
75．已知
(1)求；
(2)求．
76．已知的二项式展开式的各项二项式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
77．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
78．已知二项式的展开式中共有11项.
(1)求展开式的第3项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项.
79．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
80．已知.求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
81．设，其中是关于的多项式，，．
（1）求，的值；
（2）若，求除以81的余数．
82．在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
83．在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
84．设函数.
（1）求的展开式中系数最大的项；
（2）若，（为虚数单位），求值：
①；
②.
85．已知，，其中.
(1)求的值；
(2)设（其中、为正整数），求的值.
86．在二项式展开式中，第3项和第4项的系数比为．
(1)求n的值及展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
87．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列.
（1）求n；
（2）求展开式中的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
88．在的展开式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列．
（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列；
（2）列出杨辉三角形类似的表（，），用三项式的次系数表示，，；
（3）用二项式系数表示．
89．已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，
(1)求的值；
(2)求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项．
90．设.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
91．已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等．
(1)求n的值；
(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）．
92．已知在的展开式中，第9项为常数项．求：
（1）n的值；
（2）展开式中x5的系数；
（3）含x的整数次幂的项的个数．
93．已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求．
94．已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是．
(1)求的值；
(2)求展开式的常数项．
95．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
96．设(2－x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10，求下列各式的值.
(1)求a0；
(2)求(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2；
(3)求二项式系数的和.
97．在二项式的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项．
(1)求的值；
(2)求展开式中所有有理项的系数之和；
(3)把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数．
98．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．
(1)求n的值：
(2)求展开式中的常数项．
99．已知，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
100．已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而的展开式中系数最大的项等于54，则正数的值为__________.
参考答案：
1．A
【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
【详解】由题知，由组合数性质解得n＝8，
∴＝
令x＝1，得展开式各项系数之和为，
故选：A﹒
2．B
【分析】根据二项展开式的通项公式即可求出．
【详解】的展开式中的常数项为，而的展开式中的常数项为，所以，又，所以．
故选：B．
3．C
【解析】利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得，得出n的值.
【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：
故选：C．
【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大．
4．C
【分析】根据二项式系数规律，结合组合数的性质，利用分组求和法即可求.
【详解】由题图知，数列中的首项是，第2项是，第3项是，第4项是，……，第15项是，第16项是．
∴
．
故选：C．
5．C
【分析】根据已知条件先求解出的值，然后根据二项式系数和求解出的值，从而确定出二项式系数的最大值及其对应的项.
【详解】由题可知，，
当时，，
的展开式中，通项为：，
则常数项对应的系数为：，即，得，
所以，解得：，
则展开式中二项式系数最大为：，
则二项式系数最大的项为：
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于的值的求解以及二项式系数最大值的确定；注意：当时，二项式系数是递增的，当时，二项式系数是递减的；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
6．D
【解析】先求得二项式的展开式的通项公式，然后令求解.
【详解】二项式的展开式的通项公式为：，
则，
故选：D
7．B
【分析】根据二项式定理的通项公式即可得到答案
【详解】由的展开式的通项为，知展开式中系数最大的项即二项式系数最大的项，即最大，所以，即第6项的系数最大．
故选：B
8．C
【分析】利用赋值法求得正确答案.
【详解】依题意，
令得，
令得，
所以.
故选：C
9．D
【分析】利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】的展开式中含的项为，
的展开式中含的项为，
所以的展开式中，的系数为，
故选：D
10．B
【分析】由且可以被13整除，即其展开式中不含的项为余项，该余项与a的和能被13整除，即可得参数值.
【详解】由，展开式通项为，又可以被13整除，
所以展开式中的项均可被13整除，余项为，
要使能被13整除，且，则.
故选：B
11．B
【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.
【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
故选：B.
【点睛】方法点睛：对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.
12．D
【分析】由题可得，再利用赋值法即得.
【详解】由题意可得，
∴．
令，得，
∴．
故选：D.
13．B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.
【详解】依题意，，
当时，，
于是得
.
故选：B
14．B
【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令，求出，最后代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，所以
故选：B
15．A
【分析】写出二项展开式通项公式，求得的项数后，由系数为20可得参数值．
【详解】由题意得二项展开式的通项公式为，依题意，令，则，，解得．
故选：A．
16．B
【分析】前一个括号内有与两项，，，所以分两种情况讨论得解.
【详解】前一个括号内有与两项，
，
展开式第项，
，展开式系数为，
，
时，不能出现
∴的系数为．
故选：B．
17．B
【分析】根据二项式展开式的项数即可得解.
【详解】解：因为的展开式共有项，所以，所以，
故选：B．
18．A
【分析】根据组合数的性质可求的值.
【详解】由已知得，可知，
故选：A.
19．A
【分析】由题意可得，即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：，
故选：A.
20．C
【分析】由二项式展开式的通项公式求的展开式中常数项，由此可求a，再求的展开式的项的系数.
【详解】设的展开式中常数项为第r+1项，
又， ∴
∴ ∴ 的展开式中常数项为，
∴ ，又
∴
∴ 的展开式中项为，
∴的展开式中项的系数为.
故选：C.
21．A
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】依题意，
所以的系数是.
故选：A
22．A
【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解.
【详解】解：的展开式的通项公式为，
而，
令，得，令，得，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A．
23．B
【分析】求出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
又因为，
所以，展开式的通项为，
由，可得，
因此，展开式中的常数项为.
故选：B.
24．C
【解析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
25．A
【分析】根据二项式展开式通项公式求第3项即可.
【详解】由题设，展开式通项为，
∴第3项为.
故选：A.
26．D
【分析】设，令解方程得解.
【详解】解：设，
令得，
解得．
故选：D
27．A
【分析】先求得展开式的通项公式，再分x和2分别与之相乘求解.
【详解】因为展开式的通项公式是，
所以含的项的系数是，
故选：A
28．C
【解析】设，令、计算即可求解.
【详解】设，
令可得，
令可得，
两式相加可得：，
所以奇数项系数之和为，
故选：C.
29．A
【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出，代入即可求解.
【详解】展开式的第项为，令，得，故展开式中含的项的系数为．
故选：A．
30．A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
31．D
【解析】根据，转化为求的展开式和的系数，求出通项即可得到答案.
【详解】，
的展开式的通项是，
令，则，则的展开式中的系数为，
令，则，则的展开式中的系数为，
故展开式中的系数是.
故选：D.
【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，属于基础题.
32．C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
33．B
【分析】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案.
【详解】∵，展开式中的系数为，
∴则
，
故选：B．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可.
34．B
【分析】本题主要考查二项式定理，先将看成整体和进行展开，然后再将分析哪些项含有，进而得到的系数.
【详解】，故的系数为.故选B.
一题多解
可以看成4个相乘，展开式中可以在1个里选择，在1个里选择，在剩下的因式中选择2，此时的系数为，也可以在3个中各选1个，剩下的因式中选择2，此时的系数为，综上所述，展开式中的系数为.故选B.
【点睛】本题主要考查二项式定理，考查学生的基本运算，属于基础题.
35．D
【分析】根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.
【详解】由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
36．B
【分析】利用赋值法可求的值.
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
37．B
【解析】令，得，进而得含的项为，从而得解.
【详解】令，则有：，
即，
展开式的通项公式为：，
所以中含的项为：.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令，转化为求的展开中含的项.
38．A
【分析】令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.
【详解】令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选：A.
【点睛】结论点睛：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
39．B
【分析】化简，结合二项式的展开式的通项，结合通项即可求解.
【详解】由，
则二项式的展开式
当，此时，
此时可得展开式中项的系数为.
故选：B.
40．B
【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】根据题意可得，解得，
则展开式的通项为，
令，得，
所以常数项为：.
故选：B.
41．B
【分析】利用赋值法表达出，列出方程，求出或，从而判断出是什么条件.
【详解】由题意，令，得，令，得，所以，由，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
42．B
【解析】由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
43．A
【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.
【详解】令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
所以，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查二项展开式与数列的综合运用，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.解答问题时注意的运用.
44．A
【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出n=10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a= -1,用通项公式求出的项的系数.
【详解】∵在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在的展开式有11项，即n=10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入，即，所以a= -1.
∴是展开式的通项公式为：，
要求含的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为.
故选：A
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
45．B
【分析】将看成一个整体，得到，再展开得到
，分别取值得到答案.
【详解】将看成一个整体，展开得到：
的展开式为：
取
当时， 系数为：
当时， 系数为：
常数项为
故答案选B
【点睛】本题考查了二项式定理，将看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.
46．A
【分析】根据二项式系数的性质求得，系数的最大值为求得，从而求得的值．
【详解】由题意可得，又展开式的通项公式为，
设第项的系数最大，则，即，
求得或6，此时，，，
故选：A．
【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得.
47．B
【分析】根据给定条件求出二项展开式的通项，再列式即可计算得的值.
【详解】依题意，的二项展开式通项：，，
于是有：，整理得，即，而，解得，
所以的值为8.
故选：B
48．A
【分析】令得到，再结合二项式系数的性质得到，利用可以求出的值，进而结合二项式展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】令，则，即，
而，
由，则，令，则，解得，即，故，
则的二项式的展开式的通项公式为，
令，则展开式中含项的系数为，
故选：A.
49．A
【分析】根据二项式的通项及特定项系数求参数值.
【详解】二项展开式的通项为，
令，解得，
则，，
解得，
故选：A.
50．B
【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.
【详解】令，则，再令，则，
∴.
故选：B.
51．(1)1
(2)
(3)
(4)，
(5)第1012项.
(6)4044
【分析】（1）令，即可求解；
（2）令，结合（1）即可求解；
（3）相当于求展开式的系数和，令即可求解；
（4）由二项式系数和性质求解即可；
（5）由二项式系数的性质可知中间项二项式系数最大，求解即可；
（6）两边分别求导得
，
令，即可求解
（1）
令，得①.
（2）
令，得②.
由①-②得，
.
（3）
相当于求展开式的系数和，
令，得.
（4）
展开式中二项式系数和是.
展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）
展开式有2023项，中间项是第1012项，
所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.
（6）
两边分别求导得：
，
令，得.
52．证明见解析
【分析】利用二项式定理可证得结论成立.
【详解】证明：
.
53．(1)255
(2)32895
【分析】（1）分别赋值0和1即可得解；（2）赋值-1结合（1）的结论可求解
（1）
令，则.
令，则，①
故.
（2）
令，则，②
①+②可得，
故.
54．(1)9
(2)
【分析】（1）根据要求列出方程，求出的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出的取值范围，从而求出，得到系数最大项.
(1)
由题意得：，解得：或，因为，所以（舍去），从而
(2)
二项式的展开式通项为：，则系数为，要求其最大值，则只要满足，即，解得：，因为，所以，所以系数最大项为
55．(1)-1
(2)
(3)
【分析】（1）设，令求解；
（2）令，与令得到的两式相加减求解；
（3）的展开式的通项公式为：，将问题转化为求系数的绝对值的最大值即可.
（1）
解：设，
令，得；
所以的展开式各项系数之和为-1；
（2）
令，得，
两式相减得：，
两式相加得：，
所以的展开式各项系数的绝对值之和为，
；
（3）
的展开式的通项公式为：
，
系数的绝对值为，设第r+1项的系数绝对值最大，
则，解得，
则，即系数的绝对值的最大值为，
因为13为奇数，
所以，即第14项的系数最小，
所以系数最小的项为
56．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，即可求得.
（2）令，求得，结合，即可求解.
（3）令和，分别求得和，结合
，即可求解.
（1）
解：由，
令，可得.
（2）
解：令，可得，
所以.
（3）
解：令，可得，
令，可得，
所以
57．（1）2100；（2）；（3）1.
【分析】（1）令x＝0可得答案；
（2）令x＝1和x＝－1，两式相加可得答案；
（3）利用平方差公式，再将（2）中的①②两式代入计算即可.
【详解】解：（1）令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.
（2）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②
联立①②得：a1＋a3＋…＋a99
＝.
（3）原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝(2－)100(2＋)100＝1.
58．(1)6
(2)
【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可；
（2）由（1）求出，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为，即可求解.
【详解】（1）由题意的展开式的二项式系数和为64，
即，解得；
（2）因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为，
即.
59．（1）. （2）展开式中的有理项为：，，
【详解】试题分析：（1）
故.
（2）设展开式中的有理项为
n则，故r =2，5，8
展开式中的有理项为：
，
点评：运用二项展开式的通项公式求特定项，特定项系数、常数项、有理项等，通常是先根据已知条件，再求，有时还需先求，再求，才能求出.
60．（1）0；（2）；（3）．
【分析】（1）由于，所以其展开式中没有的奇次项，从而可得答案；
（2）令，可得，再令求出，结合（1）可求得答案；
（3）由于，从而由二项式的通项公式可求出结果
【详解】解：因为，
所以，
所以
令，得；
令，得
又，
所以．
由题可知，
，
所以．
61．(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数和的性质得出，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）由通项得出，利用赋值法得出，再求解．
(1)
由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；
(2)
，其展开式的通项为
，令，得．
∴常数项
令，可得展开式中所有项系数的和为，∴．
62．(1)；
(2)9；
(3)；
(4).
【分析】（1）（2）（3）（4）根据二项式写出其展开式通项，进而求对应项或系数即可.
（1）
通项公式.
.
（2）
因为，所以第3项的系数为9；
（3）
由知：，所以；
（4）
由知：，所以，即常数项为．
63．（1）264（2）或.
【解析】（1）写出二项展开式的通项公式，当的指数是时，可得到关于方程，解方程可得的值，从而可得展开式中含项的系数；
（2）根据上一问写出的通项公式，利用第项和第项的二项式系数相等，可得到一个关于的方程，解方程即可得结果.
【详解】(1)设第项为，
令解得，
故展开式中含项的系数为.
(2)∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
∵ ，故或，
解得或.
64．
【分析】根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案.
【详解】对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原理，集合中的n个元素在子集中的情况共有种，故这个集合共有个子集.
65．(1)；
(2).
【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得，进而写出二项系数最大项即可；
（2）由（1）知二项式为，分别求出前后两个二项式的常数项，即可得结果.
（1）
依题意，由组合数的性质得.
所以二项式的展开式中二项式系数最大的项为.
（2）
由（1）知，，
因为二项式的展开式的通项为，
所以的常数项为，的常数项为，
所以的展开式中的常数项为.
66．(1)5
(2)
【分析】（1）根据题意，得，解方程即可求解.
（2）根据题意，代入即可求解
【详解】（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得.
（2）在展开式中令，得，
即.
67．（1），；（2）.
【分析】选择①：，利用组合数公式，计算即可；
选择②：转化为，计算即可
（1）由于共9项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第5项和第6项，利用通项公式计算即可；
（2）写出展开式的通项，令，即得解
【详解】选择①.
，即，
即，即，
解得或（舍去）.
选择②.
，即，解得.
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，
.
（2）展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中常数项为第7项，
常数项为.
68．(1)-2；
(2)729.
【分析】（1）求出二项式的展开式的中间项即可计算得解.
（2）利用赋值法直接计算作答.
（1）
依题意，展开式的中间项为，因此，解得，
所以的值是-2.
（2）
由（1）知，显然，均为负数，另4项的系数为正数，
取，有，
所以.
69．(1)；展开式中各项的系数之和为81.
(2)24
【分析】（1）根据二项式系数的性质可求出，利用赋值法可求出展开式中各项的系数之和；
（2）利用通项公式可求出结果.
（1）
由题意知，,
解得．
在展开式中，令x＝1，得展开式中各项的系数之和为.
（2）
展开式的通项为
令，得，
所以.
即展开式中的常数项为24．
70．（1）；（2）.
【分析】无论选择①②③，均结合展开式的通项公式和组合数的运算求得；
（1）由二项式系数的性质可知第项的二项式系数最大，代入可得结果；
（2）令可求得，代入通项公式可得结果.
【详解】若选①，展开式通项公式为，
则第项的系数为，第项的系数为，，解得：（舍）或；
若选②，第项与倒数第项的二项式系数分别为和，
，解得：（舍）或；
若选③，由得：；
的展开式通项公式为；
（1）当时，若取得最大值，则，即第项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项为；
（2）令，解得：，
展开式中含的项为.
71．(1)证明见解析
(2)和
【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出，再写出展开式的通式，令的次数为计算即可；
（2）求出使的次数为整数的，然后代入展开式的通式计算即可.
（1）
由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得
解得（舍去）或
的展开式的通式为
令，得
故展开式中没有常数项；
（2）
令，则，
，
展开式中的有理项为和
72．（1）；
（2）-32.
【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；
(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；
解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.
【详解】（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.
73．证明见解析.
【分析】利用二项式定理直接证明.
【详解】左边=
=1=右边.
即证.
74．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）常数项即不含 的项，只需取2个x，2个或1个，1个 ，2个1或4个1，即可得到结果；
（2）先求出得到有几种取法，再求出得到有几种取法，即可判断结果相同.
【详解】（1）当时，，的展开式可看成4个相乘，每个中取x，，1中的一个，将其分别相乘构成展开式的每一项，
所以要得到常数项，只需取2个x，2个或1个，1个 ，2个1或4个1，所以．
（2）当时，，的展开式可看成10个相乘，每个中取x，，1中的一个，
将其分别相乘构成展开式的每一项．所以要得到，
共有种取法，
所以有个．
同理，要得到，共有种取法，
所以有个，故与的系数相同．
75．(1)
(2)16384
【分析】（1）由二项展开式通项公式可求得；
（2）令可得系数的绝对值之和．
【详解】（1）因为，其展开式的通项为，令，得；
（2）令，得．
76．(1)展开式中所有的有理项为，
(2)和
【分析】（1）由二项式系数的性质可得，进而可得的值，再令求出的值，然后结合二项展开式的通项公式即可求解；
（2）由二项展开式的通项公式可知，展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，从而利用二项式系数的性质即可求解.
（1）
解：因为的二项展开式的各二项式系数和为，各项系数和为，
所以由已知得，故，
所以，解得，
所以该二项式为，其通项为，，
所以当时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为，；
（2）
解：因为展开式的通项公式为，，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展开式的第或第项，
所以展开式中系数最大的项为和；
77．(1)2
(2)
【分析】（1）结合二项式的展开式的通项公式得，令即可求出结果；
（2）构造，分别求出和的值，进而可求出结果.
(1)
，，
，
令，得，∴．
(2)
若，，
记，
，
，
∴
78．(1)
(2)
【分析】（1）先根据项数求出，再求解第3项的二项式系数；
（2）利用通项公式求解含的项.
（1）
因为二项式的展开式中共有11项，所以，
所以展开式的第3项的二项式系数为.
（2）
的展开式的通项公式为；
令可得，所以展开式中含的项为.
79．(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）由展开式的通项求解即可；
（2）令与即可求解；
（3）令并结合（2）即可求解得
【详解】（1）的展开式的通项为，
所以，
所以，解得；
（2）由（1）知，
令，可得，
令，可得，
所以；
（3）令，可得，
由（2）知，
所以
80．(1)-1
(2)2187
(3)-1094
【分析】（1）令，代入计算即可得结果；
（2）令，代入计算即可得结果；
（3）结合（1）（2）两式作差，化简求得结果.
（1）
令，得
（2）
令，得
由的展开式的通项为，知，，，为负数
所以
（3）
由，
得，
所以
81．（1），；（2）28.
【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；
（2）由题可知x的值，然后利用二项式定理可求.
【详解】（1）由已知等式，得
，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（2）∵，即，∴，
∴
，
∴所求的余数为28．
82．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）令求解即可.
（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.
（3）设第项的系数最大，由求解.
【详解】（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.
83．(1)-1
(2)16
【分析】(1)根据选①，②，③解得都有，所以有，
令，得，再令，得，于是可得；
(2)由(1)可得，所以有，两边分别求导得，再令即可得答案.
【详解】（1）解：若选①：
因为只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式中共有9项，即，得，
若选②：
因为第4项与第6项的二项式系数相等，
所以，
若选③：
因为奇数项的二项式系数的和为128，
所以，解得.
因为，
令，则有，
即有，
令，得，
所以；
综上所述：；
（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有，
，
两边求导得，
令，
则有，
所以.
84．（1）70x4；（2）①-1；②152
【解析】（1）展开式中系数最大的项是第5项；
（2）（1+i）n＝64i，两边取模，求出n，利用（1+i）12＝（（ ）i＝64i，结合，，可得结论．
【详解】（1）展开式中系数最大的项是第5项70 x4；
（2）由已知，（1+i）n＝64i，两边取模，得64，所以 n＝12
所以，
而（1+i）12＝（（ ）i＝64i
所以0． .
又，，
故， ，即
【点睛】本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题．
85．(1)；
(2).
【分析】（1），，写出的展开式通项，由可得出关于的方程，解出的值，再利用赋值法可求得所求代数式的值；
（2）写出的展开式，求出、的值，即可求得的值.
(1)
解：设，，
的展开式通项为，
所以，，即，，解得，
所以，
.
(2)
解：
，
，，因此，.
86．(1)，
(2)第5项
【分析】（1）根据展开式的通项以及系数之比即可求解，由值和通项特征即可求解常数项，
（2）根据不等式法即可求解最大项，
（1）
二项式展开式的通项公式为:，因为第3项和第4项的系数比为，所以，化简得，解得，
所以，令，得，所以常数项为．
（2）
设展开式中系数最大的项是第项，则
解得，因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第5项．
87．（1）8；（2），，；（3），.
【解析】（1）根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出的值
（2）根据展开式的通项公式，的指数为整数可得有理项.
（3）又通项作前后项的比，可得系数最大项.
【详解】
（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，，
∴， 解得n＝8(n＝1舍去).
（2）由，
当时，为有理项.
∵且，∴，4，8符合要求.
故有理项有3项，分别是，，.
（3）设第r＋1项的系数为最大，则，
则＝≥1，＝≥1，
解得.
当r＝2时，当r＝3时，，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为，.
【点睛】
关键点睛：此题抓住通项，研究通项中的幂指数和通项中项的系数是解决问题的关键.
88．（1），，，，，，，，，，，；（2），，；（3）.
【分析】（1）先求出三项式的展开式，即可求出；
（2）列出杨辉三角形类似的表，即可得出结果；
（3）根据三项式的次系数列定义展开求解即可得出.
【详解】（1）写出三项式的2次系数列和3次系数列：
∵，
∴，，，，，
∵
，
∴，，，，，，．
（2）列出杨辉三角形类似的表（，），
用三项式的次系数表示，，，
，，，
（3）用二项式系数表示，
，，，
，…，，
∵，
∴，
∵，，…，，
∴
，
∴．
89．(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数和公式可得答案；
（2）求出的通项，利用的指数为整数可得答案.
【详解】（1）的二项展开式中所有项的二项式系数之和，
所以.
（2），
因此时，有理项为，
有理项是第一项和第七项.
90．（1）1；（2）；（3）.
【分析】（1）令可得所求的值；
（2）再令，结合（1）可得所求的值.
（3）根据通项公式可判断出项的系数的正负，利用（2）中的结果可得所求的值.
【详解】（1）令，得，
故.
（2）令，得，
故即.
（3）∵，
故当为偶数时，，为奇数时，，
故.
91．(1)8；
(2).
【分析】（1）由题设可得，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求n值即可.
（2）由（1）有，确定有理项的对应k值，进而求得对应项的系数，即可得结果.
(1)
由题意，二项式展开式的通项公式．
所以第三项系数为，第四项系数为，
由，解得，即n的值为8．
(2)
由（1）知：．
当，3，6时，对应的是有理项．
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为；
故展开式中有理项的系数之和为．
92．（1）n=10；（2）；（3）6项．
【解析】（1）写出二项展开式的通项，根据第九项为常数项求出n的值；
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，即可得解；
（3）要使2n-k，即为整数，得出k的取值.
【详解】二项展开式的通项Tk+1==(-1)k．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n-k=0，解得n=10．
（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，
所以x5的系数为(-1)6．
（3）要使2n-k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
93．(1)49
(2)301
(3)179
【分析】（1）由二项式定理求解
（2）由赋值法求解
（3）由赋值法求解
(1)
就是项的系数，所以．
(2)
令，得，
令，得，
所以．
(3)
令，得， ①
令，得， ②
由②－①可得，所以．
94．(1)6
(2)60
【分析】（1）先求出二项式展开式的通项公式，然后由第2项与第3项的二项式系数之比是，列方程求出，
（2）令的指数为0，求出，从而可求出常数项
（1）
的展开式的通项为．
由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是，可得，
解得．
（2）
由（1）知，
令，解得，
所以展开式的常数项为．
95．（1）所有有理项为和；（2）164.
【分析】（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
96．(1)1024
(2)1
(3)1024
【分析】（1）在已知式中令可得；
（2）在已知式中分别令和，然后相乘可得；
（3）由二项式系数的性质可得.
（1）
令x=0，得a0=210=1024.
（2）
令x=1，可得a0+a1+a2+…+a10=(2－)10，①
令x=－1，可得a0－a1+a2－a3+…+a10=(2+)10.②
结合①②可得，
(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0－a1+a2－…+a10)
=(2－)10×(2+)10=1.
（3）
二项式系数的和为++…+=210=1024.
97．(1)6
(2)32
(3)144
【分析】（1）利用二项式定理的展开式的性质即可求解；（2）利用二项式定理的展开式，找出的次数为整数的项，即可求解（3）元素不相邻的排列问题用插空法，即可求解.
（1）
由题意知，所以．
（2）
二项式的展开式的通项为，
当时，的次数为整数，对应的项为有理项．
于是展开式中有理项共有四项，分别为第1项第3项、第5项、第7项，
所以展开式中所有有理项的系数之和为（或）．
（3）
展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项．
将无理项排列，有种排法，
将有理项插空排列，有种排法，
故有理项互不相邻的排法共有（种）．
98．(1)
(2)672
【分析】（1）根据二项式系数和求得.
（2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
（1）
因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，
所以，解得．
（2）
由通项公式，
令，可得，
所以展开式中的常数项为．
99．（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1）令求得，令求得后可得；
（2）再令可得，与（1）结合可得；
（3）与（2）同理求得；
（4）由知为正，为负，由此可计算．
【详解】令则①，
令则②，
令则③，
（1）②-①得：，
（2）(②-③)得：，
（3）(②+③)得：，
(4)．
【点睛】方法点睛：本题考查赋值法求二项展开式中系数和．利用多项式的性质可得：
，，
，
，．
100．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据展开式的系数最大的项等于，求得的值．
【详解】展开式的通项为:
，
令，解得，故展开式的常数项为．
由题意可得，故有．
由于展开式的系数最大的项等于，，解得．
由于，所以
故答案为：

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