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高中数学 高考复习 概率 专题练习
（选择题+解答题）100题合集
一、单选题
1．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次，则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．袋内有个白球和个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回个白球，则第次恰好取完所有红球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
3．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．某同学从家到学校要经过三个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，该同学在各路口遇到红灯的概率分别为，，，则该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．等可能地从集合的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
7．天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）
A．0.40 B．0.30 C．0.25 D．0.20
8．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）
A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
10．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
11．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
12．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“至少有一个黑球”与“都是黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
13．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶 短道速滑 花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．甲 乙 丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是
A． B． C． D．
16．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近
18．某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
20．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（ ）
A．至少有1个红球 B．至少有1个黑球
C．至多有1个黑球 D．至多2个红球
21．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
22．有两个事件，事件抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件人中至少有人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件、都是随机事件 B．事件、都是必然事件
C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件
23．已知集合，从集合中有放回地任取两元素作为点的坐标，则点落在坐标轴上的概率为（ ）
A． B． C． D．
24．抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ）
A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9”
B．事件“点数之和为偶数”与事件“点数之和为奇数”
C．事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9”
D．事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8”
25．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．
26．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
27．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车 短道速滑混合团体接力 跳台滑雪混合团体 男子自由式滑雪大跳台 女子自由式滑雪大跳台 自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲 乙两人的选择互不影响，那么甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
28．若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（ ）
A．0.96 B．0.88 C．1.6 D．0.64
30．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（ ）
A． B． C． D．
31．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
32．下列事件属于古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件
B．篮球运动员投篮，观察他是否投中
C．测量一杯水分子的个数
D．在4个完全相同的小球中任取1个
33．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
34．“某彩票的中奖概率为”意味着（ ）
A．购买彩票中奖的可能性为
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．买100张彩票就一定能中奖
35．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数 ()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件 发生的概率分别为 ，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
36．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
37．设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
38．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
39．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别表以数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则为（ ）
A． B． C． D．
40．甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是（ ）
A．0.3 B．0.63 C．0.7 D．0.9
41．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（ ）
A．全部击中 B．至少击中发
C．至少击中发 D．以上均不正确
42．袋内有个白球和个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为，“第二次摸得黑球”记为，那么事件与，与间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
43．2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占，澳门课堂女生占，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
44．已知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义，给出下列结论：①；②对任意事件A，；③如果，那么；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
45．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）．
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
46．一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ）
A． B．
C． D．1
47．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A． B． C． D．
48．当时，若，则事件A与B的关系是（ ）
A．互斥 B．对立
C．相互独立 D．无法判断
49．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（ ）．
A． B． C． D．
50．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
二、解答题
51．为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油菜籽发芽试验的相关数据如下表．
批次 1 2 3 4 5 6 7 8
每批粒数 5 10 130 700 1500 2000 3000 5000
发芽粒数 4 9 116 637 1370 1786 2709 4490
(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？
(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？
52．垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知一轮活动中，“明亮队”至少答对1道题概率为．
(1)求p的值；
(2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率．
53．某班从50名学生中选1人作为校运动会的志愿者为师生服务，采用下面两种选法：
选法一 将这50名学生按1～50进行编号，相应地制作50个号签，把这50个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生入选；
选法二 将除颜色外完全相同的49个白球与1个红球放在一个暗箱中搅匀，让50名学生逐一从中摸取1球，摸到红球的学生成为志愿者．
(1)这两种选法是否都是抽签法，为什么？
(2)这两种选法每名学生被选中的可能性是否相等？
54．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
55．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下：
（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；
（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；
（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入水池的概率.
56．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.
（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；
（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
57．数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？
（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
58．利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示，．
59．排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24：24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束．甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各次发球的胜负结果相互独立，若甲、乙两队双方平后，甲队拥有发球权．
（1）当时，求两队共发2次球就结束比赛的概率；
（2）当时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率．
60．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
61．某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．
(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；
(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？
62．某企业从领导干部 员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：
(1)在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；
(2)从对B员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？
63．要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？
64．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户/人 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2
其中，满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值．
(1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率；
(2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率．
65．某射击队统计了甲 乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如下表：
射击次数 10 20 50 100 200 500
甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450
甲击中10环的频率
乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453
乙击中10环的频率
(1)分别计算出甲 乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；
(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.
66．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
67．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间（单位：小时）各分为5组：，得其频率分布直方图如图所示.
（1）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半小时，若该校初中学生课外阅读时间低于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？
（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本中随机抽取3人，求至少有2名初中生的概率.
68．小宁某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：
（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率.
69．在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05．假设发送信号0和1是等可能的．
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率．
70．现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
(1)当时，求的值；
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围．
71．在抗击新冠肺炎疫情期间，某校开展了“名师云课”活动，活动自开展以来获得广大家长和学生的高度关注.在“名师云课”中，数学学科共计推出72节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现随机抽取某一时段数学学科的云课点击量进行统计：
点击量 [0,700] （700,1400] （1400,2100]
节数 12 36 24
(1)现从数学学科72节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出云课的点击量在（700,1400]内的节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将数学学科云课进行剪辑，若点击量在 [0,700]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在（700,1400]内，则需要花费20分钟进行剪辑，若点击量在（1400,2100]内，则不需要剪辑.现从（1）问选出的6节课中任意选出2节课进行剪辑，求剪辑时间为60分钟的概率.
72．1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
(1)求该局打4个球甲赢的概率；
(2)求该局打5个球结束的概率．
73．某旅游公司组织了一个有名游客的旅游团到某省旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡．
(1)在该团中随机采访名游客，求恰有人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
74．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
75．某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲 乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时.
(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲 乙两人停车付费之和为6元的概率；
(2)若甲 乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为，，求甲 乙两人临时停车付费不相同的概率.
76．为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．
(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；
(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
77．甲 乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为，且各次罚球互不影响.
(1)求双方各罚1球后比赛结束的概率；
(2)求甲队获胜的概率.
78．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
79．现有两个红球（记为，），两个白球（记为，），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球.
（1）写出试验的样本空间；
（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率.
80．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为·在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求
（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;
（2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;
（3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;
81．2020年8月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活动．
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽出两人都是高二学生的概率是多少？
（3）食堂每天约有400人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的重量（单位：公斤），以10天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志愿者记录的数据如下：
前10天剩菜剩饭的重量为：
后天剩菜剩饭的重量为：
借助统计中的图、表、数字特征等知识，分析宣传节约粮食活动的效果（选择一种方法进行说明即可）．
82．某校要从艺术节活动中所产生的名书法比赛一等奖的同学和名绘画比赛一等奖的同学中（每名同学只获得一个奖项）选出名志愿者，参加运动会的服务工作．求：
(1)选出的名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)选出的名志愿者中，名是获得书法比赛一等奖，名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率．
83．某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).
（1）在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；
（2）求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；
（3）求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.
84．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量，.
（1）求使得事件“”发生的概率；
（2）求使得事件“”发生的概率.
85．在①高一或高二学生的概率为；②高二或高三学生的概率为；③高三学生的概率为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________.
(1)求a的值；
(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.
86．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病：为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
（1）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；
（2）试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数；
（3）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判定其患有这种职业病；若检测值小于，则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患病，求判断错误的概率.
87．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在，两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查.
（1）求图中的值并估算这100位学生学均时长；
（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率.
88．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）记事件为“一次摸出2个球，摸出的球为一个红球，一个白球”.求；
（2）记事件为“第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，记事件为“第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，两次摸出的球为不同颜色的球”，求证：.
89．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.
90．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和，求方程有实数根的概率．
91．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.
92．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
93．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
94．甲 乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.
（1）求甲需要射击三次的概率.
（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这个最大值发生的概率.
（3）求乙获胜的概率.
95．2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：
(1)甲、乙两人相邻值班的概率；
(2)甲或乙被安排在前2天值班的概率．
96．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为．
(1)求n；
(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．
97．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．
(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
98．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
99．盒子里有个红球，个白球，现从中任取个球．设事件：个红球和个白球，事件：个红球和个白球，事件：至少有个红球，事件：既有红球又有白球，则：
(1)事件与事件是什么关系？
(2)事件与事件是什么关系？
100．袋子里有6个大小 质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
(1)写出样本空间；
(2)求取出两球颜色不同的概率；
(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.
参考答案：
1．D
【分析】列出两次抽奖的样本空间，从中找出奖金和为100元的样本点，利用古典概率模型和互斥事件概率的计算公式即可求出结果.
【详解】由题意得，该顾客有放回地抽奖两次的样本空间，共25个样本点.
两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：
①第一次奖金为100元，第二次没有中奖，
其包含的情况为，，概率为；
②第一次没中奖，第二次奖金为100元，
其包含的情况为，，概率为；
③两次各获奖金50元，
包含的情况有，，，，概率为.
根据互斥事件的加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为.
故选：D.
2．B
【解析】第次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.
【详解】第次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，
∴第次恰好取完所有红球的概率为：
，
故选：B
3．B
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为、，两次抛掷得到的结果可以用表示，
则结果有，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有36种．
其中满足有：，，，，，，，，，，，，，共种，
所以满足的概率．
故选：B
4．D
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解．
【详解】解：由题意，该同学从家到学校至少遇到一次红灯的概率为，
故选：D.
5．B
【分析】写出集合的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.
【详解】集合的所有子集有：，共8个，它们等可能，
选到非空真子集的事件A有：，共6个，
所以选到非空真子集的概率为.
故选：B
6．C
【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.
【详解】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
7．D
【分析】由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.
【详解】由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数
所求概率为
故选：D
8．C
【分析】根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A型血的概率作答.
【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为，
此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为，即C正确.
故选：C
9．B
【解析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.
【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率，
开关3正常工作的概率，
故该系统正常工作的概率,
所以该系统的可靠性为.
故选：B.
10．D
【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
11．D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
12．A
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.
【详解】对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件互斥而不对立；
对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 能同时发生，故B中的两事件不互斥；
对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；
对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球” 互斥并且对立.
故选：A
13．B
【分析】由古典概率模型的计算公式求解.
【详解】样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为 .
故选：B.
14．C
【分析】记冰壶 短道速滑 花样滑冰 冬季两项分别为A，B，C，D，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.
【详解】解：记冰壶 短道速滑 花样滑冰 冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，
所以所求概率为.
故选：C.
15．C
【解析】先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.
【详解】用事件A,B,C分别表示甲 乙 丙三人能破译出密码,则,,,且.
∴此密码能被译出的概率为.
故选：C
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.
16．B
【分析】分别求得基本事件的总数和点数和为的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．
【详解】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为种，
而点数和为的事件为，，，，共5种，
则点数和为的概率为．
故选：B．
17．A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件的频率为，概率为.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
18．B
【分析】记另3名同学分别为a，b，c，应用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为．
故选：B.
19．D
【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由乘法原理可知，基本事件的总数是36，
结合已知条件可知，
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有6种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有2种情况，
所以能构成等腰三角形的共有14种情况，
故a，b，4能够构成等腰三角形的概率.
故选：D.
20．C
【分析】根据对立事件的定义判断即可
【详解】由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，
故选：C
21．D
【解析】由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
22．C
【解析】判断事件、的类型，由此可得出结论.
【详解】对于事件，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件为随机事件；
对于事件B，一年有天或天，由抽屉原理可知，人中至少有人生日相同，事件为必然事件.
故选：C.
【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.
23．B
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】由已知得，基本事件共有个，其中落在坐标轴上的点为：，，，，，，，共个，
所求的概率，
故选：．
24．C
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】对于，二者能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故错误；
对于，二者不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故正确；
对于，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故错误．
故选：．
25．C
【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件，然后计算概率．
【详解】与不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，
事件表示向上点数为之一，∴．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题．
26．C
【分析】由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】解：事件表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
27．C
【分析】根据古典概型概率的计算公式直接计算.
【详解】由题意可知甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，
其中甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，
所以甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，
故选：C.
28．C
【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【详解】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
29．A
【分析】根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为
故选：A
30．D
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.
【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和，
所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：
.
故选：D．
31．D
【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，
则，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D
32．D
【解析】根据古典概率的特征，逐项判断，即可得出结果
【详解】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性.
A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为与点数之和为发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；
B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；
C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；
D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.
故选：D.
33．C
【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
34．A
【分析】根据概率的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为，可得购买彩票中奖的可能性为，所以A正确；
对于B、C中，买任何1张彩票的中奖率都是，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B、C错误；
对于D选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D错误.
故选：A.
35．D
【解析】根据素数的定义，一一列举出不超过的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，从而可列举出事件、、的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出和，从而可得出结果.
【详解】解：不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，
随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、、、
、、、、，共个，
∴，，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.
36．C
【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件，
则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥，
所求概率.
故选：C.
37．A
【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.
【详解】①若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1；
②投掷一枚硬币3次，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件.
所以甲是乙的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.
38．D
【分析】先逐个求解所有5个三角形的面积，再根据要求计算概率.
【详解】如图所示，，，，，的面积分别为，，．
将，，，，分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．
记事件表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件包含的样本点为，，，共3个，所以．
故选：D．
39．D
【分析】根据古典概型的概率公式直接计算.
【详解】由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，
事件即为向上一面的点数为2或4或6，
事件即为向上一面的点数为1或2或3或6，
事件即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，
所以，
故选：D.
40．B
【分析】结合相互独立事件直接求解即可.
【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，则.
故选：B
41．B
【分析】利用并事件的定义可得出结论.
【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.
故选：B.
42．A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故与，与C均相互独立．而与，与均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为，
用古典概型概率计算公式易得．而事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”，所以，所以与相互独立：同理，事件表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”，，所以与相互独立．
故选:A．
43．C
【分析】利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.
【详解】解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占，澳门课堂女生占，
所以香港女生数为总数的，澳门女生数为总数的，
所以提问的学生恰好为女生的概率是.
故选：C.
44．D
【分析】根据的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.
【详解】∵任意恒成立，任意恒不成立，∴，故①正确；
对任意事件A，，∴，∴成立，故②正确；
如果，当时，，此时或.若，则,，，成立；时，，，，成立；
当时，，，∴，那么成立，∴③正确；
当时，,此时,, 成立；当时，,此时, 成立，故④正确.
综上，正确的结论有4个，
故选：D
45．C
【分析】根据对立事件的定义判断即可.
【详解】对立事件的定义是：A，B两件事A，B不能同时发生，但必须有一件发生，
则A，B是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶，
所以对立事件是二次都不中靶.
故选：C.
46．B
【解析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.
【详解】.
故选：B
【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.
47．B
【解析】根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.
【详解】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
共有18种分法，
则2，3连号的概率为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.
48．C
【分析】根据条件概率的公式，化简原式，再根据相互独立事件的性质即可得出结论.
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴事件A与B相互独立.
故选：C.
49．C
【分析】根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a, b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案.
【详解】设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，
所有的可能为:
Aa，Bb，Cc，田忌得0分;
Aa，Bc，Cb，田忌得1分
Ba，Ab，Cc，田忌得1分
Ba，Ac，Cb，田忌得1分;
Ca，Ab，Bc，田忌得2分，
Ca，Ac，Bb，田忌得1分
田忌得2分概率为，
故选：C
50．B
【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】解：因为， ，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
51．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)0.900
【分析】（1）根据频率的定义说明；
（2）计算频率，归纳出规律；
（3）根据概率的意义确定．
（1）
利用公式：频率，可求出各批试验中油菜籽发芽的频率．
（2）
，，，，，，，，
当试验次数越来越多时，频率越来越趋近于一个常数．
（3）
由（2）可知，当试验次数越来越多时，频率在0.900附近波动，由此可估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
52．(1)
(2)
【分析】（1）设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解.
（2）设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2，分别求出其概率，设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则从而可得答案.
(1)
设 “一轮活动中小明答对一题”，
“一轮活动中小亮答对一题”，则，.
设“一轮活动中，“明亮队”至少答对的1道题”，
则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，
所以A与B相互独立，从而与相互独立，
所以，
所以
(2)
设“两轮活动中小明答对了1道题”，“两轮活动中小亮答对了1道题”，，1，2.
由题意得，，
，
设“明亮队”在两轮活动中答对3道题”，
则.由于和相互独立，则与互斥，
所以.
所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率为.
53．(1)选法一是抽签法，选法二不是抽签法，理由见解析
(2)可能性相等
【分析】（1）根据抽签法的特征判断；（2）两种选法中每名学生被选中的可能性相等.
【详解】（1）选法一满足抽签法的特征，是抽签法．
选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中的49个白球无法相互区分．
（2）这两种选法中每名学生被选中的可能性相等，均为．
54．（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
55．（1）中位数为；众数为；极差为；估计这批鱼该项数据的百分位数约为；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.
【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；百分比位数—数据集中有n个数：当np为整数时，当np不为整数时；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记：“两鱼最终均在水池”； ：“两鱼最终均在水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记：“两鱼同时从第n个小孔通过”且鱼的游动独立，知，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率
【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为
数据的众数为
数据的极差为
估计这批鱼该项数据的百分位数约为
（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则
记“两鱼最终均在水池”为事件，则
∵事件与事件互斥，
∴两条鱼最终在同一水池的概率为
（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为
事件，依次类推；而两鱼的游动独立
∴
记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，又由事件，事件，互斥
∴
即
【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生
56．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，再连赢三场，求三种情况的概率之和即可.
（Ⅱ）如果甲进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇，有三种可能，甲乙、乙丙、乙丁，求三种情况的概率之和即可.
【详解】（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.
所以甲获得冠军的概率为.
（Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；
甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.
所以甲与乙在决赛相遇的概率为.
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；
乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为
.
丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
.
【点睛】本题考查概率的概念、事件的关系以及概率的运算性质，属于难题.
57．（1）条形统计图见解析，；（2）不同，理由见解析；（3）.
【分析】（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案
（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】（1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，
所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了人，
所以用银行卡支付的人有人，用微信支付的人有人，
用现金支付所占比例为，所以，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，
补全统计图如图所示：
（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为.
58．{(黄,绿)}，{(黄,蓝),(黄, 黄),(黄, 红),(黄, 绿),(黄, 紫),(红,绿), (蓝,绿)}．
【分析】先列举出事件A，B的样本点，再利用事件间运算的定义求解．
【详解】由题可得：
转盘①转出的颜色
红 黄 蓝
转盘②转出的颜色 蓝 （红，蓝） （黄，蓝） （蓝，蓝）
黄 （红，黄） （黄，黄） （蓝，黄）
红 （红，红） （黄，红） （蓝，红）
绿 （红，绿） （黄，绿） （蓝，绿）
紫 （红，紫） （黄，紫） （蓝，紫）
由表可知，共有15种等可能的结果，
其中{(黄,蓝), (黄, 黄), (黄, 红), (黄, 绿), (黄, 紫)}，
{(红,绿), (黄,绿), (蓝,绿)}，
所以{(黄,绿)}，
{(黄,蓝), (黄, 黄), (黄, 红), (黄, 绿), (黄, 紫), (红,绿), (蓝,绿)}．
59．（1）；（2）．
【分析】(1)先确定后两队共发2次球就结束比赛包含这两个球均由甲队得分和这两个球均由乙队得分两个事件，再利用事件的相互独立性求概率；
(2)先确定时，甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得该局胜利两个事件，再利用事件的相互独立性求概率.
【详解】(1)后两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分，或均由乙队得分，且两者互斥．
记事件“后两队共发2次球就结束比赛”，因为各次发球的胜负结果相互独立，所以．
即后两队共发2次球就结束比赛的概率为．
(2)时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25：22或25：23取得该局胜利．
记事件“甲以25：22取得该局胜利”，“甲以25：23取得该局胜利”，
“时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”，
因为各次发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以
，
，
．
所以时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为.
60．（1）丙；（2）
【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，.
因为，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.
61．(1)
(2)不会超过20%
【分析】（1）设3个红球的编号为1,2,3，黑球为，黄球为，写出一次性摸出2个球的所有可能，结合古典概型公式即可求解.
（2）写出从袋中连续取两次球，每次取一球后放回，则所有包含的基本事件，结合古典概型概率公式，从而可求出取出的两个球中没有红球，即可判断.
（1）
3个红球的分别记为1，2，3，1个黑球记为a，1个黄球记为b．
从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20个，
有黄球的样本点为（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为．
（2）
从袋中连续取两次球，每次取1球后放回，所包含的样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25个，
取出的2个球中没有红球的样本点为（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4个，
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为，
所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%．
62．(1)27人；
(2)；
(3)B员工.
【分析】（1）根据频率分布直方图求出a即可列式计算作答.
（2）由频率分布表得评分在、内的人数，再利用列举法结合古典概率公式计算作答.
（3）根据频率分布直方图及频率分布表求出二位员工评分的中位数即可判断作答.
(1)
由A员工评分的频率分布直方图得：，
所以对A员工的评分不低于80分的人数为：（人）.
(2)
对B员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为C，D，评分在内的3人记为E，F，G，
从5 人中任选2人的情况有：CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共10种，它们等可能，
2人评分均在范围内的有：EF，EG，FG，共3种，
所以2人评分均在范围内的概率.
(3)
由A员工评分的频率分布直方图得：，，
则A员工评分的中位数，有，解得，
由B员工的频数分布表得：，，
则B员工评分的中位数，有，解得，
所以评审团将推荐B员工作为后备干部人选.
63．答案见解析.
【分析】方法一：把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，充分搅拌，从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数；方法二：利用计算机产生随机数.
【详解】法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，
把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，
放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数．
法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：
（1）选定A1格，输入“＝RANDBETWEEN(1，25)”，按Enter键，
则在此格中的数是随机产生的；
（2）选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，
则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，
这样我们就很快得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验．
【点睛】本题考查了随机数的产生，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
64．(1)
(2)
【分析】（1）利用对立事件的概率公式求解计算即可.
（2）先求出样本中的回访客户的总数和样本中满意的客户人数，由此估计客户的满意概率.
（1）
由表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为．
（2）
由题意知，回访客户的总人数是，
回访客户中满意的客户人数是，
所以回访客户中客户的满意率为，
所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率约为．
65．(1)答案见解析
(2)0.9
【分析】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格；
（2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论.
（1）
两名运动员击中10环的频率如下表：
射击次数 10 20 50 100 200 500
甲击中10环的次数 9 17 44 92 179 450
甲击中10环的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9
乙击中10环的次数 8 19 44 93 177 453
乙击中10环的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906
（2）
由（1）中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近，所以两人击中10环的概率均约为0.9.
66．（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
67．（1）需要；（2）.
【分析】（1）根据频率分布直方图根据平均数公式估计初中生阅读时间的平均数，即得解；
（2）根据古典概型的计算公式，即得解
【详解】（1）由图可求出初中生在内的频率为，故样本中初中生阅读时间的平均数为
，
故按国家标准，该校需要增加初中学生课外阅读时间.
（2）由图可求出初中生和高中生课外阅读时间不足10小时的人数分别为3人和2人，记初中生3人为，高中生2人为，从这5人中随机抽取3人一共有10种，分别为
其中至少2名初中生包括7种情况，
所以所求事件的概率为.
68．（1）0.398；（2）0.994.
【分析】结合独立事件的乘法公式即可.
【详解】解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件.
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P()＋P()＋P()＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
69．(1)0.475，0.525
(2)
【分析】（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算．
（2）由条件概率公式计算．
(1)
设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得
，，，
，．
；
．
(2)
．
70．(1)
(2)
【分析】（1）根据随机事件概率的性质，由可得出答案；
（2）先设出各个事件后得出，由题意得，且，从而解出p的取值范围。
【详解】（1）解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴．
又，∴．
（2）记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立．
由题意可知，．
∴．
∵，∴．
又，，∴．
∴．
71．(1)3；
(2).
【分析】（1）利用分层抽样的概念和性质进行求解；
（2）把选出的6节课中任意选出2节的情况列举出来，符合要求的也列举出来，利用古典概型求概率公式进行求解.
(1)
设选出云课的点击量在内的节数为n，按分层抽样，解得n=3.
(2)
按分层抽样，由点击量分别在、、节数比为12:36:24=1:3:2
所以6节课中，选出云课点击量在、、节数分别为1、3、2，点击量在的一节课设为，点击量在设为， 点击量在的设为，
又由题知选出2节课剪辑时间为60分钟的选法是选出一节点击量在内，另一节在内，共3种选法，为，，，其中从6节课中任意选出2节课进行剪辑共15种选法，分别为，，，，，，，，，，，，，，
所以，剪辑时间为60分钟的概率为.
72．(1)
(2)
【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．
（1）
设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）
设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，
，，，
∴
，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
73．(1)
(2)
【分析】（1）首先确定省外游客和省内游客数量，持金卡和银卡的游客数量；根据古典概型概率公式，结合组合数的运算可求得结果；
（2）将持金卡与银卡人数相等的情况分为均为人和人两种情况，分别计算两种情况的概率，加和即可得到结果.
【详解】（1）由题意得：省外游客有人，省内游客有人，
则持金卡的游客有人，持银卡的游客有人；
则随机采访名游客，恰有人持银卡的概率.
（2）由（1）知：不持有金卡或银卡的游客有人；
若持金卡与持银卡的人数均为人，则概率；
若持金卡与持银卡的人数均为人，则概率；
随机采访名游客，其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
74．（1）0.006；（2）；（3）.
【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；
（2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为；
（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.
【详解】（1）因为，
所以
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为
（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，
即为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，
故所求的概率为
【点睛】本题考查频率分布直方图 概率与频率关系 古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重 漏的情况.
75．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件及列举法写出基本事件，结合古典概型的计算公式即可求解；
（2）根据互斥事件及相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率计算公式即可求解.
（1）
设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，.
所以甲 乙两人停车付费（a，b）的所有可能情况为：（0，0），（0，3），（0，6），（3，0），（3，3），（3，6），（6，0），（6，3），（6，6），共9种.
其中事件“甲 乙两人停车付费之和为6元”包含（0，6），（3，3），（6，0），共3种情况，
故甲 乙两人停车付费之和为6元的概率为.
（2）
设甲停车的时长不超过半小时 乙停车的时长不超过半小时分别为事件，，
甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时 乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，
甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时 乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，
则，，
所以甲 乙两人临时停车付费相同的概率为.
所以甲 乙两人临时停车付费不相同的概率为.
76．(1)
(2)
【分析】（1）根据“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有2种，利用古典概型的概率求解；
（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门，从地理、化学、生物中选2门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合2种，利用古典概型的概率求解.
(1)
解：因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．
则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，
则共有种，
甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，
所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为；
(2)
因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
，
从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有种；
同理乙同学不选化学，共有种；
所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有种；
甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，
所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
77．(1)
(2)
【分析】（1）双方各罚1球后比赛结束分为两种情况，甲罚进，乙罚丢，或者乙罚进，甲罚丢，结合事件的概率可得结果；
（2）把甲队获胜的事件表示为三个互斥事件的和，结合基本事件的概率可求结果.
(1)
设事件“甲队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3；
事件“乙队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3.
设事件C=“双方各罚1球后比赛结束”，
则
.
(2)
设事件E=“甲队获胜”，
则
.
78．(1)选择猜法二，理由见解析
(2)
【分析】(1)利用列举法列出不放回取两球的所有结果，再借助古典概率公式计算判断作答.
(2)利用(1)的结论，将乙获胜的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式计算得解.
【详解】（1）用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：
ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同结果，它们等可能，
令事件为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，
令事件为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，
于是得，，显然，，
为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
（2）由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为，
游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M1，第一轮负另外两轮胜的事件M2，第二轮负另外两轮胜的事件M3的和，它们互斥，
于是得，
所以乙获得游戏胜利的概率是.
79．（1）；（2）.
【分析】（1）按树形结构写出基本事件得事件空间；
（2）事件空间中有6个样本点，再观察恰好抽到一个红球一个白球这个事件含有的样本点的个数后可得概率．
【详解】解：（1）两个红球（记为，），两个白球（记为，），
采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，
则试验的样本空间.
（2）试验的样本空间，包含6个样本点，
其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，
∴恰好抽到一个红球一个白球的概率.
80．（1）；（2）；（3）.
【分析】令{M0，M1，M2}、{N0，N1，N2}表示第一轮、第二轮猜对0个、1个、2个成语的事件，{D0，D1，D2，D3，D4}表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法公式求P(M0)=P(N0)、P(M1)=P(N1)、P(M2)=P(N2).
（1）（2）应用独立事件乘法、互斥事件加法求两轮活动中猜对2个成语的概率;
（3）对立事件的概率求法求两轮活动至少中猜对1个成语的概率.
【详解】设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.
∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，
∴根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =，
P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=，
P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =，
（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.
（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=.
（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.
81．（1）6，4，2；（2）；（3）答案见解析.
【分析】（1）先求出抽样比，然后每次按比例抽取即可求出；
（2）先求出抽出两人的基本事件，再求出两人都是高二学生包含的基本事件，即可求出概率；
（

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