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高中数学 高考复习 复数 专题练习
（选择题+解答题）100题合集
一、单选题
1．复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
2．（ ）
A．1 B． 1
C．i D． i
3．（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
5．若复数，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A． B． C． D．
6．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．i
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．在复平面内，复数是纯虚数，则（ ）
A．或 B．
C．且 D．或
10．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．i C．1 D．2
13．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
14．复数的平方是一个实数的充要条件是（ ）.
A．且 B．且
C． D．
15．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
17．在复平面内，O是原点．向量对应的复数为，其中为虚数单位，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
19．已知，则（ ）
A． B． C． D．
20．若，则（ ）
A．0 B．1
C． D．2
21．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
22．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
23．已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
24．复数的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
25．若复数满足，则（ ）
A．
B．是纯虚数
C．复数在复平面内对应的点在第二象限
D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
26．复数（ ）．
A． B． C． D．
27．在复平面内，复数（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
28．已知复数z满足4且，则的值为
A．﹣1 B．﹣2 2019 C．1 D．2 2019
29．已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．1
30．若复数为纯虚数，则实数x的值为（ ）
A． B．10 C．100 D．或10
31．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
32．若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
33．已知复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．
34．在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是　　
A． B． C． D．
35．若复数(为虚数单位)，则在复平面对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
36．若，则在复平面内复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
37．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
38．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
39．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ）
A．2 B． C． D．－2
40．在复平面内,复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
41．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
42．设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）
A．1 B． C． D．2
43．在复平面内，复数（为虚数单位），则对应的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
44．设，则（ ）
A． B． C． D．
45．复数 是实数，则实数a的值为（　　）
A．1或-1 B．1
C．-1 D．0或-1
46．在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
47．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
48．若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
49．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（ ）
A． B．y＝
C． D．
50．已知复数z满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
51．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
52．（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；
（2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
53．已知复数，求．
54．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
（1）设，，求复向量，的模；
（2）设、是两个复向量，证明柯西一布涅科夫斯基不等式仍成立，即：；
（3）当时，称复向量与平行.设、，若复向量与平行，求复数的值．
55．设方程的根分别为、，且，求实数的值.
56．已知复数，其中，i为虚数单位．
(1)若z为实数，求m的值；
(2)若z为纯虚数，求的虚部．
57．复数满足，且．求．
58．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）.
（1）求复数；
（2）求的模.
59．已知，，方程的一个根为，复数，满足.
（1）求复数；
（2）若，求复数.
60．（Ⅰ）在①，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：．
61．已知复数，.
(1)求；
(2)若满足为纯虚数，求.
62．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i(∈R)．若与共线，求的值．
63．已知复数，，为虚数单位.
（1）若复数，在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
（2）若，求的共轭复数
64．已知复数
(1)当实数为何值时，为实数；
(2)当实数为何值时，为纯虚数.
65．设虚数z满足．
（1）求；
（2）若是实数，求实数a的值．
66．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为，对应的复数为2+2i，对应的复数为4-4i.
（1）求D点对应的复数；
（2）求平行四边形ABCD的面积.
67．已知复数．
(1)若，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求的值．
68．把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
69．计算:
(1);
(2).
70．已知z＝cosθ－sin θ＋＋i(cosθ＋sinθ).
(1)当θ为何值时，|z|取得最大值，并求此最大值；
(2)若θ∈(π，2π)，求arg z(用θ表示).
71．已知复数，满足，，求，值．
72．已知复数z的模为，且z的实部和虚部是相等的正数．
(1)设，求；
(2)如果，求实数a、b的值．
73．（1）已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z；
（2）已知复数为纯虚数，求实数m的值.
74．已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
75．已知关于的方程的两根为、.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值.
76．复数．
（1）实数m取什么数时，z是实数；
（2）实数m取什么数时，z是纯虚数；
（3）实数m取什么数时，z对应的点在直线上．
77．欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：
（1）将复数写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；
（2）求（θ∈R）的最大值.
78．设复数、满足.
(1)若、满足，求、；
(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
79．如图所示，△中，，，.线段相交于点.
(1)用向量与表示及；
(2)若，试求实数的值.
80．复数，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
81．已知复数满足，且，求负实数的值.
82．已知复数，的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范围.
83．已知，i为虚数单位.
（1）若，求；
（2）若，求实数a，b的值.
84．已知z为复数，和均为实数，其中i是虚数单位．
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在第四象限，求m的取值范围．
85．根据下列条件，求．
(1)；
(2)．
86．如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边取C，D两点观察，测得，，，，（A，B，C，D在同一平面内），求A，B两点之间的距离．
87．设O为坐标原点，已知向量、分别对应复数、，，（其中），若是实数，求的值.
88．已知O为坐标原点，向量 分别对应复数，，且，，若是实数.
(1)求实数a的值；
(2)求以 为邻边的平行四边形的面积.
89．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是，，，求第四个顶点所对应的复数．
90．已知，，，，，求．
91．已知复数，i为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
92．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
93．ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z，
（1）求复数z；
（2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值.
94．求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；
(1)位于第二象限；
(2)位于第一或第三象限；
(3)在直线上．
95．设复数，当取何实数时：
(1)复数z为纯虚数；
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；
(3)表示z的点在直线上．
96．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
97．已知点为坐标原点，函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若A为的内角，，求周长的最大值.
98．当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
99．已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
100．实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数．
参考答案：
1．A
【分析】设出动点Z坐标为，根据题意列出方程，求出结果.
【详解】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
2．D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．C
【解析】根据复数运算将分之分母同乘以，化简即可得出答案.
【详解】解：.
故选：C.
【点睛】复数乘除法运算技巧：
（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
4．C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
5．B
【分析】复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.
【详解】
故选：B.
6．A
【分析】根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案．
【详解】复数，
则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于复平面内的第一象限.
故选：A
7．A
【分析】设，根据，求得，即可求得复数的虚部，得到答案.
【详解】设，
因为，可得，
则，可得，所以复数的虚部是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.
8．D
【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.
【详解】由，得，
所以.
故选：D.
9．B
【分析】利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.
【详解】复数是纯虚数,
所以，解得：，
故选：B.
10．D
【分析】由已知条件求出复数，利用共轭复数的定义可得出结果.
【详解】因为，所以，，因此，.
故选：D.
11．A
【解析】由复数的运算求出，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．
【详解】，
则在复平面内对应的点为，在第一象限，
故选：A.
12．C
【分析】求出，再根据复数的概念可求出结果.
【详解】因为，所以z的虚部为1；
故选：C
13．D
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
14．D
【分析】利用充要条件的定义和复数的运算判断即可
【详解】因为为实数，
所以，
反之，当时，复数的平方是一个实数，
所以复数的平方是一个实数的充要条件是，
故选：D
15．A
【分析】根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
16．C
【分析】利用复数的除法运算法则化简复数，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线对称的点，得到复数，最后利用复数的乘法运算法则即可求得．
【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点为，
其关于直线对称的点为，所以，
所以，
故选：C．
17．C
【分析】根据对称求得点的坐标，从而求出对应的复数
【详解】由题意，得，，
所以向量对应的复数为
所以向量对应的复数的共轭复数为，
故选：C．
18．D
【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.
【详解】记，
因为，
所以.
故选：D
19．B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
20．C
【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
21．B
【分析】利用共线向量定理求解.
【详解】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选：B
22．A
【分析】先根据模的定义计算，并化简得到，再根据虚部的定义作出判定.
【详解】∵，
∴的虚部为，
故选：A.
23．C
【分析】根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为为实数，所以，
故选：C
【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
24．C
【分析】先由复数的运算可得，然后求其共轭复数即可.
【详解】解：因为，则，
故选：C.
25．D
【分析】利用复数的除法求复数及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.
【详解】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；
不是纯虚数，B错误；
由在复平面内对应的点为，所以，D正确.
故选：D
26．B
【解析】根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】根据复数的运算法则，可得.
故选：B.
27．A
【分析】根据复数除法运算化简，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.
【详解】因为，
∴，对应点为，在第四象限，
故选：A．
28．D
【解析】首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得：
z，通过计算可得：，代入即可得解.
【详解】设z=a+bi（a，b∈R），
由z4且z|z|=0，得
，解得a=﹣1，b.
∴z，
而1，
.
∴.
故选：D.
【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题.
29．A
【分析】等式两边同乘，整理化简后利用复数相等的条件可求得的值
【详解】因为 ，所以
即
所以 解得 ，所以
故选：A
30．A
【分析】根据复数为纯虚数知虚部不为0，实部为0求解即可.
【详解】为纯虚数，
同时
，
故选：A
31．C
【分析】先把已知化简，整理出复数的实部与虚部，接下来去求即可解决.
【详解】，
则有，，解得，
则，，故．
故选：C
32．D
【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
33．C
【分析】利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解.
【详解】因为，
所以，
，
所以|z|=.
故选：C.
34．B
【分析】由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．
【详解】解：由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，
旋转后的向量为．
故选：B．
35．C
【解析】由，利用复数的除法化简得到z，进而得到其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，
所以对应的点是，在第三象限，
故选：C.
36．B
【分析】先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.
【详解】因为，
所以，
故z对应的点位于复平面内第二象限．
故选：B．
37．C
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】∵，
所以该复数对应的点为，在第三象限.
故选：C.
38．A
【分析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
39．A
【分析】根据复数的几何意义，可得，根据复数的运算法则，即可得答案.
【详解】由题意得：，
所以，
又是纯虚数，所以，
解得，
故选：A.
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
40．A
【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数，
所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
41．C
【分析】本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.
【详解】因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，
则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，
故的取值范围为，的最大值为，
故选：C.
42．B
【分析】先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以.
故选：B.
43．D
【分析】根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.
【详解】因为，所以，
所以复数所对应的点的坐标为.
故选:D.
44．C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
45．C
【分析】利用复数是实数的充要条件，列式计算作答.
【详解】因复数 是实数，则，解得，
所以实数a的值为-1.
故选：C
46．D
【解析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.
【详解】复数的共轭复数为，
其对应的点位于第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.
47．B
【分析】依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
48．D
【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
49．D
【分析】将复数化为z＝a＋bi的形式即可求出A，将A的坐标代入选项的函数验证即可.
【详解】因为＝＝－＋i，
所以a＝－，b＝，所以A，
把点A的坐标分别代入选项，只有D选项满足.
故选：D.
50．D
【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案.
【详解】设，则，
整理得：,
所以，消去得,
因为方程有解，所以，解得：.
故选：D.
51．(1)1＋7i
(2)1－34i
(3)－1
(4)5＋i
【分析】应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
52．（1） （2）
【解析】（1）把代入方程即可求解；
（2）设，计算出，均为实数，即虚部为0，求出x,y的值，，根据所在象限列不等式组得解.
【详解】（1）由题得，
解得
（2）设，为实数，.为实数，，.，
由已知得解得，即的取值范围是.
【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于根据复数的运算法则准确计算求解.
53．
【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】因为，因此，.
54．（1）；；（2）证明见解析；（3）．
【分析】(1)根据题意，直接求解即可；
(2)根据题意，结合三角不等式，即可求解；
(3)根据题意，结合(2)中等号成立的条件，即可求解.
【详解】(1)，所以，
，所以；
(2)，，所以，
根据复数的三角不等式 ，
由，得，
所以，
综上所述，；
(3)考虑(2)中的等号成立条件：对于复数的三角不等式而言，复向量各分量均不为零时，
其等号成立条件是存在在非负实数使得，即，
另一方面，根据的等号成立条件，
应有，
即，结合，知，
即，也即．
55．或
【解析】根据方程的判别式，分别讨论，两种情况，根据求解，即可得出结果.
【详解】对于方程，有.
当，即时，方程有两个实数根，
解得；
当，即时，方程有两个虚数根，即，.
，解得.
综上，实数k的值为或.
【点睛】本题主要考查根据复数的模求参数，熟记复数模的计算公式即可，属于常考题型.
56．(1)
(2)8
【分析】（1）由题意得，求解即可；
（2）先由题意求得，再根据复数的除法法则化简复数，由此可求得答案.
(1)
解：若z为实数，则，解得．
(2)
解：由题意得解得，
∴，故，
∴的虚部为8．
57．或
【解析】由题意可知设复数,计算出,,,代入中可得可求得复数.
【详解】由题意可知：,则,,,
∴,
∴,即，
若，则，由得，所以，
若，则，得，
∴或.
【点睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.
58．（1）；（2）
【分析】（1）设，由为实数，为纯虚数，可求出的值，进而可求出复数；
（2）结合复数的四则运算，对进行化简，进而求出即可.
【详解】（1）设，
由为实数，可得，即.
∵为纯虚数，
∴，即，
∴.
（2），
∴.
【点睛】本题考查复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
59．（1）；（2）.
【分析】（1）将代入方程，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得，从而求得.
（2）设，利用、来求得，进而求得.
【详解】（1）依题意，得，
即，
由复数相等的定义及a，，得，
解得.
故复数.
（2）设（，），由，得，
，
又，得，即，
所以，
解得，
所以.
60．（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m的值；
（Ⅱ）由配方法结合复数的性质得出方程的解.
【详解】（Ⅰ）①
，即，解得或
②z为纯虚数
，解得
③z为实数，，解得
（Ⅱ），
61．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数代数形式的运算法则即可求出；
（2）根据纯虚数的概念即可求出参数，再根据复数模的计算公式即可求出．
(1)
．
(2)
因为为纯虚数，∴，∴.
即，．
62．.
【分析】由已知可得＝(－3，4)，＝(2，1)，再由与共线，结合平面向量共线定理可得，存在实数，使＝，从而得到，进而可求出的值
【详解】解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i，
所以＝(－3，4)，＝(2，1)．
因为与共线，所以存在实数，使＝，
即(2a，1)＝(－3，4)＝(－3，4)，
所以，解得
即的值为.
【点睛】此题考查复数的几何意义和共线向量定理，属于基础题.
63．（1）；（2）
【解析】（1）化简复数，再由复数在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；
（2）由复数的除法运算法则，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.
【详解】（1）由题意，复数，
则
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围.
（2）由，
所以.
【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：
（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；
（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数与复平面上的点一一对应，列出相应的关系求解.
64．(1)或
(2)
【分析】由实数和纯虚数的定义，分别列出等式和不等式，求解即可
(1)
若z为实数，则，即
故或；
(2)
若z为纯虚数，则，
由，可得
又，故且
故.
65．（1）；（2）．
【分析】（1）设利用复数的模相等即得;（2）先化简又因为是实数,故虚部为零,即得结果.
【详解】设 ，则
则
即：
即；
（2）
若是实数，则
即即.
66．（1）3﹣4i；（2）16.
【分析】（1）利用复数的几何意义 向量的坐标运算性质 平行四边形的性质即可得出.
（2）利用向量垂直与数量积的关系 模的计算公式 矩形的面积计算公式即可得出.
【详解】解：（1）依题点A对应的复数为，对应的复数为2+2i，
得A(-1，0)， =(2，2)，可得B(1，2).
又对应的复数为4-4i，得=(4,-4)，可得C(5,-2).
设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R.
得=(x-5，y+2)，=(-2，-2).
∵ABCD为平行四边形，∴=，解得x=3，y=-4，
故D点对应的复数为3-4i.
（2）=(2，2)，=(4,-4)，
可得：，∴
，
故平行四边形ABCD的面积为
67．(1)
(2)4或100
【分析】（1）根据复数，可知z为实数，列出方程，解得答案；
（2）根据z是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案.
（1）
因为，所以，所以，所以或．
①当时，，符合题意；
②当时，，舍去．
综上可知：．
（2）
因为z是纯虚数，所以，所以或,
所以，或,
所以或,
所以或100．
68．（1）（2）
【解析】（1）分别求出 再整理为 的形式.
（2）分别求出 再整理为 的形式.
【详解】（1）.
（2）.
【点睛】本题主要考查了复数的代数形式与三角形式的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
69．(1) ;(2).
【解析】（1）先计算，再计算得到答案.
（2）化简得到，再计算得到答案.
【详解】(1)
(2)
.
【点睛】本题考查了复数的运算，意在考查学生的计算能力.
70．(1)当时， 取最大值为2 ，
(2).
【分析】（1）按照复数模的定义求解即可；
（2）按照复数的辐角主值的定义求解即可.
(1)
由复数模的定义可得：
，
显然当 时最大，即 ， 最大值为 ；
(2)
设 ，
，
实部为 ，虚部为，
，
∴当 即 时， ，
此时复数z对应的点在第四象限， ， ，
当 即，，
此时复数z对应的点在第一象限（或x轴的非负半轴上），
，∴ ，
∴ ；
综上，当时， 最大，最大值为，
.
71．，；或，．
【解析】先设，再根据求，最后根据列方程组，解得结果.
【详解】设，则．
∵，
∴．
∵，
∴．
解得：，或，．
∴，；或，．
【点睛】本题考查复数的模、复数加法，考查基本分析求解能力，属基础题.
72．(1)
(2)，
【分析】（1）第一步求出复数复数z的实部与虚部，可以设，所以，代入求解
（2）由（1）可知代入可以利用对应系数相等求的的值.
(1)
，
(2)
由，得解得，
故答案为：；，.
73．（1）；（2）
【分析】（1）根据模长公式以及复数的加法运算，结合对应的象限得出z；
（2）根据复数的四则运算以及纯虚数的定义得出m的值.
【详解】解：（1）设，由题意每，
解得，，
∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，∴，∴.
（2）
，
由题意得，解得
74．（1）；（2）.
【分析】(1)利用复数模、共轭复数的意义结合复数乘法运算计算即得；
(2)利用共轭复数的意义及复数相等建立关系，再结合复数的几何意义列式计算即得.
【详解】(1)依题意，，，则，
于是得，
所以；
(2)由(1)及得：，即，则，
因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得，
所以的取值范围为.
75．（1）；（2）或.
【解析】（1）将代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数的值；
（2）列出韦达定理，由可得出关于的等式，由此可解得实数的值.
【详解】（1）已知关于的方程的一根为，
所以，，
所以，，解得；
（2），由题意得.
若，即，则，解得；
若，即，由，可得，
解得，，
则，解得.
综上所述，或.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解；
（2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解.
76．（1）或；（2）；（3）或
【分析】复数．
（1）由，解得即可得出．
（2）由，解得即可得出．
（3）由．解出即可得出．
【详解】解：复数．
（1）由，解得或．
或时，复数为实数．
（2）由，解得．
时，复数为纯虚数．
（3）由．
化为：，
解得或．
或，对应点在直线上．
【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
77．（1）；（2）2.
【分析】（1）利用欧拉公式将化为三角形式，进而根据特殊角的函数值写出其代数形式即可；
（2）由欧拉公式及复数模的求法，可得，进而可求其最大值.
【详解】（1）；
（2）＝，
∴当cosθ＝1，即θ＝2kπ，k∈Z时，（θ∈R）的最大值为2.
78．(1)、或、
(2)存在，
【分析】（1）原方程可化为，再设（），代入前者化简后可求的值，从而可求、；
（2）由题设可有，根据其模为结合复数的运算性质可得，从而可求.
【详解】（1）由可得：，代入已知方程得，
即，
令（），∴，即，
∴，解得或，
∴、或、；
（2）由已知得，又，∴，
∴，
∴，
整理得即，
所以，故，∴，
即，∴存在常数，使得等式恒成立.
79．(1)，；
(2)，.
【分析】（1）根据向量加法、数乘、相反向量的几何意义，将、用表示即可.
（2）由题图知，，结合已知条件求得，根据平面向量的基本定理可得的值.
(1)
由题设，，.
(2)
设，
所以，且，
所以，则，可得，
所以，故，.
80．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
(1)
因为z为实数，所以，解得或
(2)
由z为纯虚数，则解得
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或
81．
【解析】设，代入，得到：
求解a，即得解.
【详解】设.因为，所以
，
则
当时，，由，解得；
当时，则或，因为，所以此时无解.
综上所述，.
【点睛】本题考查了复数的三角形式及四则运算，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.
82．（1）；（2）.
【分析】（1）先利用复数的除法运算化简可得，令，再利用复数的乘法运算计算即可；
（2）利用复数的乘法和模长公式化简不等式可得，求解即可
【详解】（1），
当时，，则，
.
（2）由，得，
整理，得，
即，解得或，
即的取值范围为.
83．（1）；（2）
【解析】（1）求出的共轭复数，代入化简，再求；
（2）根据，得到，列方程组即可求解.
【详解】（1）已知，，
，
.
（2），
，
，解得.
【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.
84．(1)；
(2)或
【分析】（1）设，得出和，根据题意即可求出；
（2）表示出，根据对应的点在第四象限可得不等关系求解.
(1)
设，则，
，
因为和均为实数，所以，解得，
所以，则；
(2)
，
因为对应的点在第四象限，所以，解得或.
85．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的除法运算求解；
（2）利用复数的除法运算求解；
(1)
解：因为，
所以；
(2)
因为，
所以.
86．km
【分析】由题意，先计算得，，，由正弦定理计算，再由余弦定理计算
【详解】∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠DCB﹣∠ACB＝30°，∠DBC＝180°﹣∠DCB﹣∠ADC﹣∠ADB＝60°
在△ADC中由正弦定理得：
∴
在△CDB中由正弦定理得：
∴
在△ADB中由余弦定理得：AB2＝DB2+AD2﹣2DB×ABcos∠ADB＝2+9﹣2××3×＝5
∴AB＝km
答：A、B两点间的距离为km
87．
【分析】利用复数的加法运算以及复数的概念求出，再由复数模的求解即可求解.
【详解】由，
，
，解得或，又分母不为零，
，，.
88．(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
（1）
由，得
，则的虚部为0，
．
解得：或．
又，．
（2）
由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以以 为邻边的平行四边形的面积
89．
【分析】根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．
【详解】设复数，，对应的点分别为
则，，，
所以，所以，所以
设第四个点为，则按照的顺序才能构成正方形，
所以，即，，
即，解得，
则，对应的复数为，
故答案为：
90．
【分析】设复数对应，对应，，利用余弦定理可得，再利用余弦定理即可得出答案．
【详解】
设复数对应，对应，，
则，
解得．
．
．
91．（1），；（2），．
【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．
（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．
【详解】解：（1）复数
，
，．
（2）复数是关于的方程的一个根，
，
，，
，
解得，．
【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
92．（1）；（2）．
【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解的值；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】解：（1）由题意，解得．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴，
解得：．∴实效a的取值范围是．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
93．（1）；（2）.
【分析】（1）根据A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D的坐标（x，y），利用求解；
（2）根据3+5i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解.
【详解】（1）复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），
设D的坐标（x，y），由于，
∴（x﹣1，y﹣3）＝（2，﹣1），
∴x﹣1＝2，y﹣3＝﹣1，
解得x＝3，y＝2
，故D（3，2），
则点D对应的复数z＝3+2i；
（2）∵3+2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，
∴3﹣2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的另一个根，
则3+2i+3﹣2i＝，（3+2i）（3﹣2i）＝，
即p＝12，q＝26.
94．(1)或；
(2)或或；
(3)或.
【分析】（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；
（2）可得或，解出即可；
（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.
(1)
复数在复平面内对应的点的坐标为
若点位于第二象限，则，解得或
(2)
若点位于第一或第三象限，则或
解得或或
(3)
若点在直线上，则
解得或
95．(1)复数不可能为纯虚数
(2)
(3)
【分析】（1）由实部等于0，虚部不等于0可得；
（2）由实部小于0，虚部小于0可得；
（3）用实部代入，用虚部代入求解可得．
(1)
由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数；
(2)
由表示的点位于第三象限，则解得；
(3)
由表示的点在直线上，则，解得．
96．(1)图象见解析，
(2)
【分析】（1）根据对应的点在第四象限画出图象，求得复数的模和辅角即可；
（2）根据，进而求得，，再利用复数的乘法求解.
(1)
因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
(2)
因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
97．(1)
(2)
【分析】（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到，进而求出最小正周期；
（2）利用余弦定理求出，使用基本不等式求出，进而得到周长的最大值.
(1)
故的最小正周期，
(2)
，解得：，而，故，故，所以；
又，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理得：，所以，又，故，
解得：，当且仅当时等号成立，
故，即周长的最大值为.
98．(1)当或时复数为实数，当且时复数为虚数
(2)当时复数为纯虚数
【分析】(1)根据实数的特点列方程求m使得复数为实数，再根据虚数的特点列方程求m使得复数为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m使得复数为纯虚数.
(1)
若复数为实数，则
∴ 或，
若复数为虚数，则
∴ 且，
(2)
若复数纯虚数，则
且，
由可得或，
又时不存在，时，
所以.
99．（1），；（2）．
【分析】（1）向量，对应的复数分别为，.利用即可得出得出结果.
（2）， 对应的点在第二象限，计算可得，，
进而计算即可得出结果.
【详解】解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，
所以所以
所以，．
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．
100．（1）m＝6；（2）m≠﹣3且m≠6；（3）m＝1或m．
【分析】（1）根据复数是实数，得虚部为零即可．
（2）根据复数是虚数，则虚部不为零即可．
（3）根据复数是纯虚数，得实部为零，虚部不为0．
【详解】解：（1）若复数是实数，则，
即，得m＝6；
（2）如复数是虚数，则，
即，则m≠﹣3且m≠6；
（3）如复数是纯虚数，则，
则，
即m＝1或m．

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