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高中数学 高考复习 三角函数 专题练习
（选择题+解答题）100题合集
一、单选题
1．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．若角的终边上一点的坐标为，则( )
A． B． C． D．
4．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一个解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（ ）
（1）曲线不是等宽曲线；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；
（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；
（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4，筒车转轮的中心O到水面的距离为2，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：），且此时点P距离水面的高度为h（单位：），则点P第一次到达最高点需要的时间为（ ）.
A．2 B．3 C．5 D．10
13．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
14．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
15．将函数的图象分别向左、向右平移个单位后，所得的图象都关于轴对称，则的最小值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径为4m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）
A．6m2 B．9m2 C．12m2 D．15m2
17．若，则（ ）
A． B． C． D．
18．函数图像上一点向右平移个单位，得到的点也在图像上，线段与函数的图像有5个交点，且满足，，若，与有两个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
20．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（ ）
A． B． C． D．
22．已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
23．当，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．若函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，则（ ）．
A．1 B． C．2 D．3
25．已知角的终边经过点，则角可以为（ ）
A． B． C． D．
26．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
27．若α为第四象限角，则（ ）
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
28．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
29．（ ）
A． B． C． D．
30．若，则（ ）
A． B． C． D．
31．要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
32．已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
33．在的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
34．已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）
A． B． C． D．
35．若函数的图象经过点，则的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
36．若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
38．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
39．函数的一个对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
40．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
41．已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
42．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：）与时间t（单位：）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历（ ）
A．1.4 B．2.4 C．3.2 D．5.6
43．设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
44．设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
45．函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
46．已知角、、为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
47．记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
48．若，则（ ）
A． B． C． D．
49．已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
50．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（ ）
A．一定是小于90°的角 B．一定是第一象限的角
C．一定是正角 D．可以是任意角
二、解答题
51．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.
52．已知是第三象限角,试确定终边所在位置.
53．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
(1)求的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
54．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
55．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表：
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y -20.0 -17.3 -10 0 10.1 17.2 20.0 17.2 10.3 0 -10．1 -17.3 -20.0
(1)试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式；
(2)画出该函数在的图象；
(3)在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合．
56．已知，其中是第四象限角．
(1)化简；
(2)若，求，．
57．已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使等式成立，求实数m的取值范围；
(3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
58．已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
59．已知函数的最大值为.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，求函数的值域.
60．已知函数，其中．
(1)当a为何值时，为偶函数
(2)当a为何值时，为奇函数
61．如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．
(1)求弦AB所对的圆心角的大小；
(2)求圆心角所对应的弧长l及阴影部分的面积S．
62．已知，且有意义．
(1)试判断角是第几象限角；
(2)若角的终边上有一点，且（O为坐标原点），求实数m的值及的值．
63．在①f(x)的图像关于直线对称，②f(x)的图像关于点对称，③f(x)在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.
已知函数的最小正周期不小于，且___________，是否存在正实数a，使得函数f(x)在[0，]上有最大值3？
注∶如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
64．已知函数周期是.
（1）求的解析式，并求的单调递增区间；
（2）将图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图像向上平移个单位后得到函数的图像，若时，恒成立，求m得取值范围.
65．如图是函数（，，）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
(1)求函数的解析式及其在上的单调递增区间；
(2)当时，函数的最小值为，求实数a的值．
66．化简：
(1)；
(2).
67．已知函数最小正周期为，图象过点.
（1）求函数解析式
（2）求函数的单调递增区间.
68．函数的部分图象如图所示.
(1)求A，，的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值.
69．函数的定义域为，对于区间，如果存在，，使得，则称区间为函数的“区间”．
（1）判断是否是函数的“区间”，并说明理由；
（2）设为正实数，若是函数的“区间”，求的取值范围．
70．已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且________.在①函数为偶函数；②；③，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间.
71．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)写出函数在上的单调递减区间.
72．函数（，）的部分图象如图所示．
(1)求的值及的增区间；
(2)若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的取值范围．
73．若函数在区间内没有最值，求的取值范围.
74．已知.
（1）求的值；
（2）已知，，且，求的值.
75．已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
76．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点A、及的中点 处．km，km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、等距的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，，．记铺设管道的总长度为ykm．
(1)设（弧度），将表示成的函数并求函数的定义域；
(2)假设铺设的污水管道总长度是km，请确定污水处理厂的位置．
77．已知函数．
(1)求的最小值并写出此时的取值集合；
(2)若，求出的单调减区间.
78．已知函数.
(1)当时，求在的值域；
(2)若至少存在三个，使得，求最小正周期的取值范围；
(3)若在上单调递增，且存在，使得，求的取值范围.
79．已知函数（m∈R）．
(1)若关于x的方程在区间上有三个不同解，求m与的值；
(2)对任意，都有，求m的取值范围．
80．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在段可近似地用函数的图像从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线段所示，且段与段关于直线对称，点B、D的坐标分别是、．
（1）请你帮老张确定的值，写出段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（2）请你帮老张确定虚线段的函数表达式，并指出此时x的取值范围；
（3）如果老张预测准确，且在今天买入该只股票，那么最短买入多少天后，股价至少是买入价的两倍？
81．已知函数.
(1)若，且，求的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
82．一半径为的水轮（如图所示），水轮圆心O离水面，已知水轮逆时针转动，每转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？
83．已知函数，其图象向左平移个单位长度后，关于轴对称．
(1)求函数的表达式；
(2)说明其图象是由的图象经过怎样的变换得到的．
84．已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴.
（1）求函数f(x)的单调递增区间;
（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若求的值.
85．已知 ，求.
86．设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
87．若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．
88．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
89．已知函数．
(1)化简；
(2)若，求的值．
90．若角的终边上有一点，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
91．设为常数，函数（）
（1）设，求函数的单调递增区间及频率；
（2）若函数为偶函数，求此函数的值域．
92．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B两点，且.
(1)求的值；
(2)若点A的横坐标为，求的值.
93．已知函数．
（1）求它的定义域和值域；
（2）求它的单调区间；
（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．
94．已知角是第三象限角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
95．已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当，时，恒成立，求a的最大值.
96．已知函数的最小正周期为，且.
（1）求和的值.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，得到函数的图象，
①求函数的单调递增区间；
②求函数在上的最大值.
97．已知向量，，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值．
98．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像.若为函数的一个零点，求的最大值.
99．已知，且，求的值．
100．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标：
(2)先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，关于的方程有实数根，求实数的取值范围.
参考答案：
1．D
【分析】根据三角函数的定义，由求得参数，再求即可.
【详解】角的终边过点，
故可得，解得.
故.
故选：D.
2．A
【分析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】，
又，为锐角，
∴ ，
故选：A.
3．C
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，
∴，
故选：C.
4．C
【分析】依据平移然后判断可知，简单判断可知结果.
【详解】由已知可得，
∴，∴．
∵，∴的最小值是．
故选：C
5．D
【分析】先利用整体代换思想以及正弦函数的单调递增区间求出函数的单调递增区间，结合集合的包含关系求出的范围，然后再利用正弦函数取最大值的性质可再得一个的范围，两个范围取交集即可求解.
【详解】令，解得，，
而函数在区间上单调递增，
所以，解得，
当时，，
因为在区间上有且仅有一个解，
所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题的核心是利用整体思想，首先根据正弦函数的单调性，以及已知单调性得的一个取值范围；然后根据取最值的个数，求得的另一个范围.这里要注意，说明，而根据题意，只有一个解，所以只能取一个值，而根据函数本身的图象可以发现只能等于1.如果能够取到，那么根据自变量的范围，此时肯定也可以取1，所以舍去.
6．B
【分析】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，根据定义逐项判断即可得出结论.
【详解】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，
（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；
（3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；
（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，
正三角形的面积，
则一个弓形面积，
则整个区域的面积为，
而圆的面积为，不相等，故错误；
综上，正确的有2个，
故选：B.
【点睛】本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．
7．B
【分析】由诱导公式和同角关系可化为，再由同角关系由求出，由此可得结果.
【详解】∵ ，
∴
则，
故选：B.
8．B
【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
9．B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
10．C
【分析】诱导公式化余弦为正弦，然后由正弦函数的单调性比较大小．
【详解】，．
∵，，，
∴．
又∵在上是增函数，
∴．
故选：C．
11．C
【分析】求出函数在上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当时，，所以，
故的值域为，
因为在上有解即在上有解，
故即，
故选：C.
12．C
【分析】设点离水面的高度为，根据题意求出，再令可求出结果.
【详解】设点离水面的高度为，
依题意可得，，，
所以，
令，得，得，，
得，，
因为点P第一次到达最高点，所以，
所以.
故选：C
13．A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
14．A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
15．A
【分析】根据给定条件写出平移后的解析式，再借助对称性求出满足的关系即可推理作答.
【详解】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
因图象关于y轴对称，则，即，而，则，
向右平移个单位得函数的图象，函数关于y轴对称，
则有，即，而，则，
所以的最小值分别为，.
故选：A
16．B
【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答.
【详解】依题意，弦(m)，矢(m)，
则弧田面积=(m2)，
所以弧田面积约是9m2.
故选：B
17．A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
18．A
【分析】首先根据已知条件分析出，可得，再由可得对称轴为，利用可以求出符合题意的一个的值，进而得出的解析式，再由数形结合的方法求的取值范围即可.
【详解】
如图假设，线段与函数的图像有5个交点，则，
所以由分析可得，所以，
可得，
因为所以，即，
所以是的对称轴，
所以，即，
，
所以，可令得，
所以，
当时，令，则，
作图象如图所示：
当即时，当即时，，
由图知若，与有两个交点，则的取值范围为，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出的解析式，再利用数形结合的思想求解的取值范围.
19．C
【分析】根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可.
【详解】将向左移动个单位长度有，
∴只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得的图象.
故选：C
20．D
【解析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【详解】因为
，
所以，
故选：D
21．D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
22．C
【分析】先通过三角恒等变换将化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．
【详解】函数化简得，
由，
可得函数的对称轴为，
由题意知，且，
即，，若使该不等式组有解，
则需满足，即，又，
故，即，所以，又，
所以或，所以．
23．B
【分析】利用诱导公式和平方关系求解.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
故选：B
24．B
【分析】根据以及周期性求得.
【详解】依题意函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则，
即，解得.
故选：B
25．B
【分析】求得，结合在第二象限求得的值，由此确定正确选项.
【详解】依题意，由于在第二象限，
所以，
当时，所以B选项正确，其它选项错误.
故选：B
26．C
【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
27．D
【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D.
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
28．C
【分析】先根据给定图象求出函数的解析式，再求出由到的变换即得.
【详解】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.
故选：C
29．D
【分析】利用诱导公式代入计算．
【详解】．
故选：D．
30．A
【分析】由二倍角正弦公式和同角关系将转化为含的表达式，由此可得其值.
【详解】
．
故选：A.
31．A
【分析】利用诱导公式将平移前的函数化简得到，进而结合平移变换即可求出结果.
【详解】因为，
而，故将函数的图象向右平移个单位长度即可，
故选：A.
32．B
【分析】根据，利用诱导公式和商数关系求解.
【详解】因为，
所以，
，
，
故选：B
33．C
【分析】先由函数为奇函数可排除A，再通过特殊值排除B、D即可.
【详解】由，所以为奇函数，故排除选项A.
又，则排除选项B,D
故选：C
34．C
【分析】首先根据三角函数的定义求得，然后根据诱导公式求得正确结果.
【详解】依题意，
.
故选：C
35．A
【分析】，据此求出ω的表达式，再根据ω的范围求得ω的值即可求最小正周期.
【详解】依题意可得，则，得.
因为，所以，.
故选：A.
36．A
【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】解：函数的单调区间为，
由，
得．
函数 在区间内没有最值，
函数 在区间内单调，，
解得由，得．
当时，得，
当时，得，又，故，
综上得的取值范围是
故选A
37．D
【分析】由三角函数平移变换可得平移后函数为，根据对称性得到，结合可得所求最小值.
【详解】将向左平移个单位长度得：，
图象关于原点对称，
，解得：，又，
当时，取得最小值.
故选：D.
38．D
【分析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则.
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D.
39．D
【分析】解方程即得解.
【详解】解：令，
令，
所以函数的一个对称中心的坐标是.
故选：D
40．D
【分析】可得，根据题意可求出最小正周期，得出，求出的单调递减区间，根据包含关系可求出.
【详解】由题可得，
若满足，则和必然一个极大值点，一个极小值点，
又，则，即，所以，
令，可得，
即的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，所以，
则，解得，
因为，所以可得.
故选：D.
41．A
【分析】先求出，再根据解方程即可.
【详解】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
42．B
【分析】由函数关系式分别计算出花开放和闭合的时间，即可求出答案.
【详解】设时开始开放，时开始闭合，则又，解得，，
由得，.
故选：B.
43．C
【分析】依题意可知，得到，再利用正余弦和差积三者的关系可求得的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可．
【详解】由，平方得到，
，
，
，
，而，
；
令，
则，
，
，
故选：．
44．B
【分析】，只需要研究的根的情况，借助于和的图像，根据交点情况，列不等式组，解出的取值范围.
【详解】令，则
令，则
则问题转化为在区间上至少有两个，至少有三个t，使得，求的取值范围.
作出和的图像，观察交点个数，
可知使得的最短区间长度为2π，最长长度为，
由题意列不等式的：
解得：.
故选：B
【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法（令），转化为研究的图像和性质较为方便.
45．A
【分析】由题可得，即得.
【详解】由题可得，解得，
∴函数的定义域为.
故选：A.
46．C
【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.
【详解】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C
47．A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.
故选：A
48．C
【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.
【详解】由可得，
解得：，
故选：C.
49．A
【分析】首先将函数化简为“一角一函数”的形式，根据三角函数图象的平移变换求出函数的解析式，然后利用函数图象的对称性建立的关系式，求其最小值．
【详解】，
所以，
由题意可得，为偶函数，所以，
解得，又，所以的最小值为．
故选：A.
50．D
【分析】由终边相同的角的表示的结论的适用范围可得正确选项.
【详解】因为结论与角的终边相同的角可以表示为适用于任意角，所以D正确，
故选：D.
51．0
【分析】根据题意可设角α终边上任一点为P(k，－3k)，分k＞0和k＜0时进行讨论，求得对应的三角函数值，代入即可.
【详解】设角α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝.
当k＞0时，r＝，
所以sin α＝，，
所以10sin α＋
当k＜0时，r＝，
所以sin α，
，
所以，
综上，.
52．在第一或第二象限,或终边在y轴的正半轴上
【解析】写出的范围，由不等式得的范围，即可分析角的终边所在的位置.
【详解】是第三象限角,..
:,
即,
的终边在第一或第二象限,或终边在y轴的正半轴上.
【点睛】本题主要考查了由所在的象限求2所在的象限，属于中档题.
53．(1) ，;(2) 8小时.
【分析】(1)根据三角函数的图像即可求的表达式；
(2)根据正弦函数的图像与性质解,结合即可求解.
【详解】解：(1)因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
(2)由(1)得，，
所以，
所以，
解得，
因为，
所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
54．（1）；（2）.
【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；
（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.
【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；
（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.
55．(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）设函数解析式为，，根据表格数据得出，，的值，即可得出这个振子的位移关于时间的函数解析式；
（2）由五点作图法作图即可；
（3）解方程，即可得出的取值集合.
（1）
设函数解析式为，，
由表格可知：，，则，即．
由函数图象过点，得，即，可取．
则这个振子的位移关于时间的函数解析式为；
（2）
列表：
t 0 0.15 0.3 0.45 0.6
0
y -20 0 20 0 -20
由表格数据知，，的图象如图所示．
；
（3）
由题意得，即，
则或，
所以或．
又，所以或0.4．
所以在这次全振动过程中，位移为时t的取值集合为．
56．(1)
(2)，
【分析】（1）因为是第四象限角，即可得到，，再根据平方关系化简可得；
（2）依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系求出；
（1）
解：∵是第四象限角，∴，，所以、，
∴
．
即；
（2）
解：∵，∴，
∴．
57．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用给定的函数图象间的关系直接列式并化简作答.
（2）利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答.
（3）根据给定范围，按a=0，a>0，a<0分类并结合最值情况求解作答.
（1）
因函数的图象与函数的图象关于直线对称，则，
所以．
（2）
由（1）知，，当时，，则，
令，则．存在，使成立，
即存在，使成立，则存在，成立，
而函数在上递减，在上递增，
当时，，当或2时，
所以实数m的取值范围为．
（3）
由（1）知，不等式，
当时，，，
若，因，即恒成立，则，
若，因在上单调递增，则当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
若，当时，取得最小值，
原不等式恒成立可转化为恒成立，即，因此，
所以a的取值范围是．
58．（1）；（2）.
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解．
（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解．
【详解】（1）因为，
所以
又因为，
所以
所以
（2）因为，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．
59．(1)，
(2)
【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，ωx＋φ整体替换进行单调区间的求解；
(2)求出ωx＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒
（1）
．
由，解得．
又，
则，，
解得，，
所以函数的单调递减区间为，；
（2）
由，则，所以，
所以，
所以函数的值域为．
60．(1)
(2)
【分析】（1）由题意求得，根据，求得，结合偶函数的定义，即可求解；
（2）由题意求得，根据，求得，结合奇函数的定义，即可求解；
(1)
解：由函数，
可得，，
若是偶函数，则，即，可得，
当时，函数，
此时函数满足，函数为偶函数.
(2)
解：由，可得，
若是奇函数，则，可得，
当时，，
此时函数满足，函数为奇函数.
61．(1)
(2)；
【分析】（1）根据为等边三角形，可得，即可求解.
（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
（1）
由于圆O的半径r为10，弦AB的长为10，
所以为等边三角形，，所以．
（2）
因为，所以，
．
又，
所以．
62．(1)角是第四象限角
(2)，
【分析】（1）根据已知分别确定的正负，再三角函数值符号得象限角的结论
（2）由余弦函数定义求出，再由正弦函数定义求得结论．
（1）
∵，∴，
∴角是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由有意义，可知，
∴角是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上，角是第四象限角
（2）
∵，∴，解得．
又角是第四象限角，故，∴．
∴．
63．答案见解析
【分析】若选择①，即的图像关于直线对称，则可推出，进而利用正弦型函数的性质，求得的最大值，从而得到，不符合题意.
若选择②，可得，进而求得的最大值，，从而得到，不符合题意.
若选择③，可得，进而求得的最大值，从而得到，符合题意.
【详解】解：由于函数的最小正周期不小于，所以，
所以，，
若选择①，即的图像关于直线对称，
有，解得，
由于，，，所以，，
此时，，
由，得，
因此当，即时，取得最大值，
令，解得，不符合题意.
故不存在正实数a，使得函数在上有最大值
若选择②，即的图象关于点对称，
则有，解得，
由于，，，所以，
此时，
由，得，因此当，即时，
取得最大值，
令，解得，不符合题意.
故不存在正实数a，使得函数在上有最大值3；
若选择③，即在上单调递增，
则有，
解得，
由于，，，所以，
此时，
由，得，
因此当，即时，取得最大值，
令，解得，符合题意.
故存在正实数，使得函数在上有最大值
64．（1），单调递增区间为，；（2）.
【解析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式化简可得，由，解得，带入正弦函数的递增区间，化简即可得解；
（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得，根据题意只需要，分别在范围内求出的最值即可得解.
【详解】（1）
由，解得
所以，
∵
∴
∴
∴的单调递增区间为，
（2）依题意得
因为，所以
因为当时，恒成立
所以只需转化为求的最大值与最小值
当时，为单调减函数
所以，，
从而，，即
所以m的取值范围是.
【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有：
（1）三角函数基本量的理解应用；
（2）三角函数图像平移伸缩变换的方法；
（3）恒成立思想的理解及转化.
65．(1)，
(2)
【分析】（1）由图像求得解析式，再利用整体法求出单调区间，再赋值求交集即可求解；（2）换元法得的范围，利用二次函数讨论对称轴与区间的关系求最小值求解a
【详解】（1）∵点是线段DM的中点，
∴，．
∵函数，
∴．周期，解得．
∵，∴，
解得，又，∴．
∴．
令，解得，当时，，
∴函数在上的单调递增区间为．
（2）∵，∴，
∴．
令，则，∴．
设，则函数图象的对称轴为直线．
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得（舍去）；
当，即时，，
解得（舍去）．综上，．
66．(1)
(2)
【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，
（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.
（1）
因为，所以，
所以原式
.
（2）
因为，
所以.
又因为，且，
所以原式，
因为，所以，所以.
所以原式.
67．（1）；（2）.
【分析】（1）利用周期公式可得,将点代入即得解析式;（2）由计算即可求得单调递增区间.
【详解】（1）由已知得，解得.
将点代入解析式，，可知，
由可知，于是.
（2）令
解得，
于是函数的单调递增区间为.
【点睛】本题考查正弦函数的图像和性质,基础题.
68．(1)，，
(2)或
【分析】（1）根据函数的部分图象即可求出A，，然后代入点，由即可求出的值；
（2）根据三角函数的图象变换先求出函数的解析式，然后利用，结合即可确定的值.
（1）
解：由图可知，，，所以，即，所以.
将点代入得，，
又，所以；
（2）
解：由（1）知，
由题意有，
所以，即，
因为，所以，
所以或，即或，
所以的值为或.
69．（1）不是，理由见解析；（2）.
【分析】(1)根据函数值的范围可判定不是函数的“区间”；
(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在k，，使得，再分类讨论即可求出的取值范围.
【详解】(1) 不是函数的“区间”.理由如下：
因为，
所以对于任意的，，都有，
所以不是函数的“区间”.
(2)因为是函数的“区间”，
所以存在，，使得.
所以
所以存在，使得
不妨设，又因为，
所以，所以.
即在区间内存在两个不同的偶数.
①当时，区间的长度，
所以区间内必存在两个相邻的偶数，故符合题意.
②当时，有，
所以.
当时，有，即.
所以也符合题意.
当时，有，即.
所以符合题意.
当时，有，此式无解.
综上所述，的取值范围是.
70．（1）；（2）答案见解析.
【解析】由已知得周期从而求得，
选①：（1）得出，根据偶函数与诱导公式求得；
（2）求出的增区间，再与求交集可得；
选②：（1）解方程可得；
（2）同选①
选③：（1）由是最大值可得；
（2）同选①
【详解】解：∵的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，
∴，即，∴，
∴.
方案一：选条件①
（1）∵为偶函数，
∴，即，，
∵，∴，∴.
（2）令，，
得：，，
令，得，
∴函数在上的单调递增区间为（写成开区间也可得分）
方案二：选条件②
（1）方法1：∵，∴，
∴或，，
∴或，，
∵，∴，∴；
方法2：∵，∴，
∵，∴，
∴即，∴；
（2）同方案一.
方案三：选条件③
∵，，∴为的最大值，
∴，，即，，
∵，∴，∴；
（2）同方案一.
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．，只要把作为一个整体，用它替换中的可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由中的范围求出的范围，然后考虑在时的性质得出结论．
71．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象求得，从而求得解析式.
（2）利用整体代入法求得在区间上的单调递减区间.
（1）
由图象知，所以，又过点，
令，由于，故所以.
（2）
由，
可得，
当时，
故函数在上的单调递减区间为.
72．(1)；
(2)
【分析】（1）由三角函数图象得，进而得，再待定系数求解得，最后整体换元求解即可；
（2）由三角函数平移变换得，进而得函数的零点或，再结合三角函数性质分析即可得答案.
(1)
解：由图易知，则，，
由题意结合图象知，又，故，
则．
令，
解得，
所以的增区间是．
(2)
解：（2）由题意知．
令，即，即或，得或．
所以在上函数的图象与x轴恰有两个交点，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，则b不小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，
即b的取值范围为且，解得．
故实数b的取值范围为．
73．
【分析】由题意可知函数在区间单调，易知，结合函数的图像与性质可得结果.
【详解】由于函数在区间内没有最值，
∴函数在区间单调，
∴ 则
当时，，
由于在区间内没有最值，
因此或，
即或，
解得或，
所以的取值范围是．
74．（1）；（2）.
【解析】（1）先求出，再化简即得解；
（2）先求出，再求出，求出，即得解.
【详解】（1）由已知得，所以
（2）由，可得，
则.
因为，所以，
又，则，
因为，，
则，则，
所以.
【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，或.之所以得出两个答案，是没有分析缩小的范围，从而得到.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.
75．（1）；（2）.
【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出，由周期公式得出，由函数的最大值得出，结合，整理得出该函数的解析式；
（2）将函数的零点转化为方程在区间上有两个实根，由得出，结合函数在区间上的单调性，确定的范围，整理得出实数t的取值范围.
【详解】（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，得，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
【点睛】易错点睛：本题主要考查了由正弦函数的性质求函数的解析式以及由函数零点个数求参数的范围，考查运算求解能力，注意零点问题，区间端点开闭问题，是易错题，属于中档题.
76．(1)
(2)位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
【分析】（1）依据题给条件，先分别求得的表达式，进而得到管道总长度y的表达式，再去求其定义域即可解决；
（2）先解方程，求得，再去确定污水处理厂的位置.
【详解】（1）矩形中，km，km，
，，
则，
则
（2）令
则
又，即，则，则
此时
所以确定污水处理厂的位置是在线段的中垂线上且离的距离是 km
77．(1)最小值为，的取值集合为；
(2)和
【分析】（1）通过各种公式(两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等)转化，最终把函数的解析式转化为的形式,即可求出的最小值并写出此时的取值集合.
（2）先求出的单调减区间，令和与取交，即可得出答案.
（1）
由于
（二倍角公式、两角和差公式）

(辅助角公式)
)
令，，解得，，
可得的最小值为，此时的取值集合为；
（2）
由，，
可得，，
所以的单调减区间为，，
因为，当时，减区间为；
当时，减区间为．
综上，时的单调减区间为和．
78．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，求出的范围，根据三角函数的性质，可得答案；
（2）由题意，设f(x)最小正周期为T，则可得T满足的不等式，由此求得T的范围．
（3）由题意在上单调递增，列出相应不等式组，可得，再根据存在，使得能成立，列出不等式，即可求得ω的范围．
(1)
当时，，
由知，
,∴的值域为.
(2)
∵对于函数，
至少存在三个，使得，
设最小正周期为，
∴，即，∴，
∴的最小正周期的取值范围为.
(3)
若在上单调递增， ,
∴， ,∴,
当时，，又，故，
当时, , 不存在，同理k取其它整数时，不存在，
故
∵存在，使得，
即能成立，
即能成立.
∵，∴需，
∴.，
而，故
综上可得，.
79．(1)m＝4，；
(2).
【分析】（1）由题设及同角三角函数平方关系有，令，根据已知条件、二次函数的性质及三角函数的对称性求参数m，以及的关系，进而求.
（2）由（1）得且恒成立，讨论t的范围，结合对勾函数的性质求参数m的范围.
（1）
,
设，在上，则，
若有三个不同解，则有两个不同的根，其中，，
所以，得：m＝4，
由得：，
由，知：两个解关于对称，即，
综上，；
（2）
由（1），当时，，
要使恒成立，即，得，
当t＝0时，不等式恒成立，
当t＞0时，恒成立，又，当且仅当时取等号，此时，
当t＜0时，，而时为减函数，而，此时，
综上，实数m的取值范围是．
80．（1），，，，
（2），（3）天.
【分析】（1）由已知图中两点的坐标求得与，进而可得的值，再由五点法作图的第三个点求解，即可得函数的解析式，并求得的范围；
（2）由对称性求解段的函数表达式，以及x的取值范围；
（3）由解得：，减去即得答案.
【详解】（1）由图以及两点的纵坐标可知：，，可得：，
则，
由解得：，
所以，，
所以段的函数表达式为，
（2）由题意结合对称性可知：段的函数解析式为：
，
（3）由解得：，
所以买入天后，股票至少是买入价的两倍.
81．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，结合即可求解；
（2）根据的范围求得的范围，只需即可求解.
(1)
因为，所以，即，
又由，得，
所以，解得.
(2)
对，有，
所以，可得，
所以要使对任意的恒成立，
只需，
所以，解得：.
故所求实数的取值范围为.
82．(1)
(2)
【分析】（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，进而设，再求解析式即可；
（2）令，解得，，进而当时，P第一次到达最高点，求得对应值即可.
【详解】（1）解：以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，
设，则，，
∵，∴，
∴，
∵时，，∴，∴，
∵，∴，
∴.
（2）解：令，得，
∴，，∴，，
∴当时，P第一次到达最高点，
∴点P第一次到达最高点大约要.
83．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）写出变换后的函数解析式，根据函数的对称性可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式；
（2）根据三角函数图象的变换规律可得出结论.
(1)
解：将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，
所得图象的函数解析式为．
因为图象平移后关于轴对称，所以，
所以．
因为，所以，所以．
(2)
解：将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得函数的图象，
再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），即得函数的图象．
84．（1）；（2）
【解析】（1）首先化简函数，再根据是函数的一条对称轴，代入求，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到，并代入后，得，再利用角的变换求的值.
【详解】（1），
当时，，得，
，，
即，令，
解得：，，
函数的单调递增区间是；
（2），
，得，
，，，
【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.
85．.
【分析】将给定等式两边平方，再利用同角公式变形求解作答.
【详解】将两边平方得：，
整理得：，即，有，
所以.
86．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
87．（1）函数具有性质，不具有性质，理由见解析；（2）不具备，理由见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）根据具有性质的定义依次讨论即可得答案；
（2）假设函数具有性质，则有，即，进而得，再根据并结合函数的值域为得，故，此时，在验证不具有性质，进而得到答案；
（3）结合（2），并根据题意得，进而得在的值域为，当时，与零点唯一性矛盾得或，再讨论当时不成立得，即．
【详解】（1）函数具有性质，不具有性质，说明如下：
，
，
对任意，都有，
所以具有性质，
，，
所以，
所以不具有性质；
（2）若函数具有性质，
则有，即，
于是，结合知，
因此；
若，不妨设
由可知：
（记作*），其中
只要充分大时，将大于1
考虑到的值域为为，等式（*）将无法成立，
综上所述必有，即；
再由，，从而，而
当时，，
而，显然两者不恒相等（比如时)
综上所述，不存在以及使得具有性质；
(3）由函数具有性质以及（2）可知，
由函数是以为周期的周期函数，有，
即，也即
由，及题设可知
在的值域为
当时，当及时，均有，
这与零点唯一性矛盾，因此或，
当时，，在的值域为
此时
于是在上的值域为，
由正弦函数的性质，此时当时和的取值范围不同，
因而，即．
【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查逻辑推理能力，运算求解能力，是难题.本题解题的关键在于正确理解具有性质P的函数的定义，利用定义，结合反证法，分类讨论思想等讨论求解.
88．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
（1）
解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）
解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
89．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简的解析式即可求解．
（2）由题意，可得，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．
（1）
解：.
（2）
解：，，即，，
故．
90．（1）；（2）.
【分析】（1）根据三角函数的概念，由题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；
（2）先将原式化简，再由三角函数的定义求出，进而可得出结果.
【详解】（1）点到原点的距离为，
根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.
（2）原式，
由（1）可得，，
所以原式.
【点睛】本题主要考查由三角函数的定义求参数，以及根据诱导公式化简求值，属于常考题型.
91．（1）增区间为，频率；（2）．
【解析】（1）当时，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由函数为偶函数，得到对于任意的，均有成立，进而求得，即可求得函数的值域.
【详解】（1）当时，函数，
令，得，
所以此函数的单调递增区间为，
又由函数的的最小正周期为，所以．
（2）由题意，函数定义域，
因为函数为偶函数，所以对于任意的，均有成立，
即，
即对于任意实数均成立，只有，
此时，因为，所以，
故此函数的值域为．
【点睛】解答三角函数的性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质（单调性、奇偶性、周期、对称轴（中心）最值等），结合整体代换的方法，列出方程求解；
92．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式化简可得；
（2）由定义可得，即可求出.
【详解】（1）∵，∴，，
∴.
（2）∵点A的横坐标为，∴，，
，
∴.
93．（1）定义域为，值域为；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）非奇非偶函数； （4）.
【分析】（1）利用两角和差的三角函数，结合对数的运算化简可得，
由真数大于零，即，利用三角函数的图象和性质求解，即得函数的定义域；根据三角函数的值域和对数函数的图象与性质，可求得函数的值域；
（2）利用对数函数的单调性，三角函数的单调性，结合复合函数的单调性可求得函数的单调增减区间；
（3）利用奇偶函数的定义域的对称性，结合（1）中所的定义域，即可得到函数为非奇非偶函数；
（4）根据三角函数的周期性，即可得到函数的周期.
【详解】（1），
由,解得
∴函数的定义域为；
由,∴，∴函数的值域为；
（2）在定义域内，当,即时，是单调递增的，故函数时单调递减的；
当,即时，是单调递减的，故函数时单调递增的；
∴单调增区间为，单调减区间为；
（3）由（1）得函数的定义域为，
定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；
（4）∵的最小正周期为,∴函数的最小正周期为.
【点睛】本题考查对数函数与三角函数的复合函数的定义域，值域，单调性，奇偶性和周期性问题，关键是掌握复合函数的单调性求解方法,熟练掌握三角函数的单调性，简单三角不等式的求解方法，并注意单调性求解和奇偶性判定时一定要考察清楚函数的定义域.
94．（1）；（2）.
【解析】（1）根据tanα，以及 sin2α+cos2α＝1，结合范围求得sinα、cosα的值；
（2）利用诱导公式与同角的三角函数关系，把正弦、余弦的比值化为正切tanα，代入正切值即求得结果．
【详解】解：（1）tanα，sin2α+cos2α＝1，
∴或，而角是第三象限角，则，
故；
（2）
.
∵，
∴原式.
【点睛】方法点睛：
已知正切值化简求值时，通过整理式子使其分子分母的弦的次数相同，通过同时除以同次的余弦，进行弦化切的转化，代入计算即可.
95．(1)最小正周期，单调递增区间为，
(2)最大值为0
【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式以及辅助角公式即可化简为，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间,（2）根据的范围可求，进而可求的值域，故可求的范围.
【详解】（1）
故函数的最小正周期.
由得.
∴函数的单调递增区间为，.
（2）∵，∴，
∴，.
由恒成立，得，即.故a的最大值为0.
96．（1），；（2）①；②最大值为.
【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；
（2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到的解析式.
①根据余弦型函数的单调性进行求解即可；
②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1）的最小正周期为，
所以，
即.
又因为，
所以，因为，
所以.
（2）由（1）可知，
函数的图象向右平移个单位长度(纵坐标不变)，
所以.
①由，
得函数的单调递增区间为.
②因为，
所以.
当，
即时，
函数取得最大值，最大值为.
97．(1)
(2)的最大值为，此时；的最小值为，此时
【分析】（1）先根据向量数量积得到，再由二倍角及辅助角公式化简，然后求单调区间即可；
（2）根据区间的范围求出内层的范围，再求最值及对应的的值.
(1)
因为向量，，
得函数，
令，则，
∴的单调递增区间为；
(2)
当时，，所以，
当，时，取得最大值，，
当，时，取得最小值，．
98．(1)
(2)
【分析】（1）、根据图像，求出，，，即可求出函数的解析式;
（2）、先根据图像变换求出的解析式，再由题意可知，求出的表达式，即可求出的最大值.
【详解】（1）由图像知，.
又，，，,，
将点代入，,,，
又，,.
（2）,，
又为函数的一个零点，，，
，，.故时，的最大值为.
99．
【分析】根据角的范围，求出cosα，sin（β+α），利用＝cos[α+β﹣α按照两角差的余弦公式展开，代入已知以及求出的结果，即可得到的值．
【详解】∵，∴cosα，
∴
∴＝cos[α+β﹣α]＝
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，其中角的变换＝cos[α+β﹣α]为解题简化关键，是中档题．
100．(1)，
(2)
【分析】（1）由最大值和最小值求得，的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式，由正弦函数的对称中心可得对称中心；
（2）由图象的平移变换求得的解析式，由正弦函数的性质可得的值域，令的取值为的值域，解不等式即可求解.
（1）
由题意可得：，可得，所以，
因为，所以，可得，
所以，
由可得，
因为，所以，，所以.
令可得，所以对称中心为.
（2）
由题意可得：，
当时，，，
若关于的方程有实数根，则有实根，
所以，可得：.
所以实数的取值范围为.

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