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突破5.4 三角函数的图像与性质
一、考情分析
二、考点梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z)
三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的定义域
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
例1、（1）、（2007·全国·高考真题）满足的x的集合是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】根据正弦函数图象，解不等式.
【详解】，故，，
解得：，，
所以满足的x的集合是.
故选：A
（2）、（2021·河南·原阳县第三高级中学高一月考）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】
函数有意义可得，然后解三角不等式即可求解.
【详解】
函数有意义，
则，即，
所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：
【变式训练1-1】、（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）函数的定义域是______.
【答案】
【分析】由题可得，进而即得.
【详解】要使函数有意义，则
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式训练1-2】、（2021·上海·高一课时练习）函数的定义域是________.
【答案】
【分析】
根据使函数有意义必须满足，再由正弦函数的性质得到的范围．
【详解】
由题意得：
即
故答案为
【点睛】
重难点题型突破2 求三角函数的周期
例2、（1）、（2007·北京·高考真题（理））函数的最小正周期是_____________．
【答案】3
【分析】利用周期公式求解即可.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：3.
（2）、（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是______．
【答案】##
【分析】由正切函数的图象与性质知，翻折变换后，正切型函数的周期不变，利用最小正周期公式即可算得.
【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为，
与的图象如图所示，

所以函数与最小正周期也一样，
函数的最小正周期是，
的最小正周期也是．
故答案为：
【变式训练2-1】、（2007·江西·高考真题（文））函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的周期公式即可求解.
【详解】由题意可知，，所以函数的最小正周期为.
故选：B.
【变式训练2-2】、（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的性质计算可得；
【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；
对于B：的最小正周期，故B正确；
对于C：的最小正周期，故C错误；
对于D：的最小正周期，故D错误；
故选：B
重难点题型突破3 求三角函数的单调性
1、三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
例3、（1）、（2020·宁夏·银川一中高三月考（文））函数的单调递减区间是_________.
【答案】
【详解】
试题分析：，解得，.
考点：三角函数的单调单调区间．
（2）、（广东省广州市越秀区2022-2023学年高二上学期期中数学试题）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用代入检验的方式，分别得到的范围，结合正弦函数的单调性可得结论.
【详解】对于A，当时，，此时单调递减，A正确；
对于B，当时，，此时先增后减，B错误；
对于C，当时，，此时先减后增，C错误；
对于D，当时，，此时先增后减，D错误.
故选：A.
【变式训练3-1】、（2020·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为_______________.
【答案】
【分析】
将函数解析式变形为，然后解不等式，即可得出该函数的单调递增区间.
【详解】
，要求函数的单调增区间，
即求函数的单调递减区间，
解不等式，得，
因此，函数的单调增区间为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，在求解时要将自变量的系数化为正数，考查运算求解能力，属于基础题.
【变式训练3-2】、（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由三角函数的性质求解
【详解】函数，故求函数的单调递增区间即可，
令，解得
故选：A
重难点题型突破4 求三角函数的最大值与最小值
1、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　
例4．（1）、（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域.
【详解】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．
故选：A．
（2）、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为__________．
【答案】1
【分析】利用整体法求解三角函数的最值.
【详解】因为，所以，
所以，所以的最大值为1．
故答案为：1
【变式训练4-1】、（2013·天津·高考真题（文））函数在区间上的最小值是
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】
因为，所以，所以由正弦函数的图象可知，函数在区间上的最小值是，故选B.
【考点定位】本小题主要考查三角函数的值域的求解，考查三角函数的图象，考查分析问题以及解决问题的能力.
【变式训练4-2】、（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式变形，可得函数是关于的二次函数，利用换元法可得值域.
【详解】函数，
因为，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
故函数的值域为，
故选：A．
重难点题型突破5 根据图像求三角函数的解析式
例5．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ） （A>0，|φ|<，ω>0）的图象的一部分图如图所示，则f（x）取最小值时x的取值集合为________.
【答案】
【分析】由三角函数图象的性质求出，即可知时可求出f（x）取最小值时x的取值集合.
【详解】由图象知A＝2，又1＝2sin（ω×0＋φ），即sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝，又，所以ω＝2，
∴，令
解得x＝－＋kπ（），
故f（x）取最小值时x的取值集合为.
故答案为：.
（2）、（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】
利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，由图可知，
设函数的最小正周期为，则，，，则，
由得，解得，
又，，，A正确；
对于B选项，由，得，B正确；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，
得的图象，C错误；
对于D选项，由得，
由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，
则，解得，D正确.
故选：ABD.
【点睛】
思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
【变式训练5-1】、（2021·全国·高一单元测试）已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．
【详解】
由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，
∴的最小值是．
故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．
【变式训练5-2】、（2022·全国·高一专题练习）函数（，，）的部分图像如图所示，则的值为________.
【答案】
【分析】根据图像求出表达式，再将代入即可.
【详解】因为由图像可得,,所以，
将代入得，由解得，
所以.
故答案为：.
重难点题型突破6 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）
1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　
2.函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
例6、（1）、（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期中）函数的图象 （ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】
分别求出函数的对称中心坐标和对称轴方程，然后对赋整数值得出结果.
【详解】
对于函数，令，得，，
令，得，，
所以，函数的图象的对称中心坐标为，对称轴为直线，
令，可知函数图象的一个对称中心坐标为，故选A.
【点睛】
本题考查三角函数的对称中心和对称轴方程，一般先求出对称中心坐标和对称轴方程通式，然后通过赋值法得到，考查计算能力，属于基础题.
（2）．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校高一期末）函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正弦函数图象性质求出全部对称轴，即得结果.
【详解】
由正弦函数图象性质知，得对称轴.
时取，故B正确，ACD都不成立.
故选：B.
（3）．（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））关于函数有如下命题，其中正确的有______
①的表达式可改写为
②是以为最小正周期的周期函数；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称.
【答案】①③
【分析】
①利用诱导公式变形，判断选项；②利用周期公式，判断选项；③代入函数判断是否为0，判断选项；④代入选项，是否取得最值，判断选项.
【详解】
①，故①正确；
②的最小正周期，故②不正确；
③当时，，此时函数值为0，所以函数的图象关于点对称，故③正确；
④当时，，此时函数值是0，不是函数的对称轴，故④不正确.
故答案为：①③
【点睛】
思路点睛：本题考查的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线或点是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求的范围，验证次区间是否是函数的增或减区间.
【变式训练6-1】、（2020·湖南·长沙一中高一月考）（多选题）已知的相邻两条对称轴的距离为，则有（ ）
A．点是函数图像的一个对称中心
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数在上为减函数
D．将函数的图像向右平移个单位后，对应的函数是奇函数
【答案】ABD
【分析】
依据题意可得，然后根据余弦函数的性质逐一验证即可.
【详解】
由题可知：，所以，即；
注意到，故为对称中心，A正确；
又，即是函数图像的一条对称轴，B正确；
而，且，故在上不单调，C错误；
的图像向右平移个单位后可得为奇函数，故D正确.
故选：ABD
【变式训练6-2】、(2020·辽宁辽阳一模)函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数
令，
则，
当时，，
故选B.
【变式训练6-3】、（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.
【详解】在函数中，由得，，
所以函数的对称中心是，
显然B，D不满足，A不满足，当是，对称中心为，C满足.
故选：C
重难点题型突破7 根据三角函数的性质求参数的范围
例7、（1）、（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据对称性可得，从而可得结果.
【详解】因为，所以，解得，又，所以当时，取得最小值3.
故选：B
（2）、（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.
【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.
故选：A
【变式训练7-1】、（2022·辽宁营口·高一期末）函数在上单调递增，则取值范围为_____
【答案】
【分析】根据题意可求得函数的单调区间，结合在上单调递增，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】令，
可得，
因为函数在上单调递增，
故，解得，
结合，故当时，取值范围为，时不符合题意，
故取值范围为，
故答案为：
【变式训练7-2】、（2022·山西·高三阶段练习）（多选题）已知函数，则（ ）
A．存在，使得为奇函数
B．任意，使得直线是曲线的对称轴
C．最小正周期与有关
D．最小值为
【答案】ABC
【分析】举例，如，即可判断A；判断与是否相等，即可判断B；距离如和，即可判断C；令，则，利用换元法结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】解：对于A，当时，，
因为，所以函数为奇函数，
所以存在，使得为奇函数，故A正确；
对于B，，
因为
，
所以函数关于对称，
即任意，使得直线是曲线的对称轴，故B正确；
对于C，当时，，
最小正周期，
当时，，
因为，所以不是函数的周期，
所以最小正周期与有关，故C正确；
对于D，令，则，
则，
则有，
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，
所以，故D错误.
故选：ABC.
重难点题型突破7 三角函数的综合应用
例8、（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2) 有零点，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式，求得答案；
（2）将函数的零点问题转化为方程的解的问题，结合正弦函数的性质即可求得答案.
（1）
由于，故其最小正周期为；
（2）
因为 有零点，
故有解，
即有解，
因为，所以，
故.
例9、（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递减区间；
(2)若是函数的零点，用列举法表示的值组成的集合．
【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间是
(2)
【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；
（2）首先求出函数的零点，得是或中的元素，再分类讨论计算可得.
（1）
的最小正周期为．
对于函数，
当时，单调递减，
解得，
所以函数的单调递减区间是．
（2）
因为，即，
所以函数的零点满足或，
即或，
所以是或中的元素，
当时，，
则．
当，（或，）时，，
则．
当时，，
则．
所以的值组成的集合是．
例10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.
【答案】(1)，单调递增区间为
(2)时，取最小值；时，取最大值2
【分析】（1）先由题意求出，再由解出即可求解；
（2）由可得，结合函数的图像求解即可.
（1）
因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为，
所以，
所以，即，
所以，
由，
得，
所以的单调递增区间为.
（2）
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以即时，取最小值；
即时，取最大值.
例11．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．
(1)求和的值；
(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)作图见解析
(3)
【分析】（1）利用最小正周期和解即可；
（2）利用列表，描点画出图像即可；
（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.
（1）
∵函数的最小正周期，∴．
∵，
且，∴．
（2）
由（1）知，列表如下：
0
0
1 0 －1 0

在上的图像如图所示：
（3）
∵，即，
∴，
则，
即．
∴的取值范围是
四、定时训练
1．（2023·广东·高三学业考试）函数的最小正周期是（　　）
A． B．π C．2π D．4π
【答案】D
【分析】利用正弦函数的周期求解．
【详解】f(x)的最小正周期为．
故选：D．
2．（2022·湖北·高三期中）下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按三角函数的周期公式和偶函数的定义式逐一检验排除即可.
【详解】A选项，，周期为，A不正确；
B选项，，周期为，且不是偶函数，B不正确；
C选项，，是偶函数，又，故其周期为，C正确；
D选项，周期为，D不正确；
故选：C.
3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）（多选题）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】结合正弦函数、余弦函数在各个区间的单调性判断.
【详解】因为，且函数在上单调递增，则，故选项A错误；
因为，且函数在上单调递减，则，即，故选项B正确；
因为，且函数在上单调递减，则，故选项C错误；
因为，且函数在上单调递减，则，故选项D正确；
故选：BD
4．（2022·云南昭通·高一期末）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可.
【详解】若使函数有意义，需满足：，
解得；
故答案为：
5．（2022·江苏常州·高三期中）函数的最小正周期为______．
【答案】
【分析】根据正弦函数的最小正周期，结合正切函数的周期性质进行求解即可.
【详解】因为的最小正周期为，
而，
所以函数的最小正周期为，
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)若，求的值．
(2)求函数在R上的最小值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求出，再代值即可求解；
（2）令，，则，再结合二次函数的图象讨论对称轴的位置即可求解
(1)
因为，
所以即．
此时，
所以．
(2)
，
令，，则，对称轴为
①，即，．
②，即，．
③，即，．
综上可知，
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突破5.4 三角函数的图像与性质
一、考情分析
二、考点梳理
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z)
三、题型突破
重难点题型突破1 三角函数的定义域
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
例1、（1）、（2007·全国·高考真题）满足的x的集合是（ ）
A． B．
C． D．或
（2）、（2021·河南·原阳县第三高级中学高一月考）函数的定义域为___________.
【变式训练1-1】、（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）函数的定义域是______.
【变式训练1-2】、（2021·上海·高一课时练习）函数的定义域是________.
重难点题型突破2 求三角函数的周期
例2、（1）、（2007·北京·高考真题（理））函数的最小正周期是_____________．
（2）、（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期是______．
【变式训练2-1】、（2007·江西·高考真题（文））函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破3 求三角函数的单调性
1、三角函数单调性的求法
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；
(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．
例3、（1）、（2020·宁夏·银川一中高三月考（文））函数的单调递减区间是_________.
（2）、（广东省广州市越秀区2022-2023学年高二上学期期中数学试题）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2020·全国·高三专题练习）函数的单调增区间为_______________.
【变式训练3-2】、（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．
重难点题型突破4 求三角函数的最大值与最小值
1、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．　
例4．（1）、（2022·全国·高一课时练习）函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的最大值为__________．
【变式训练4-1】、（2013·天津·高考真题（文））函数在区间上的最小值是
A． B． C． D．0
【变式训练4-2】、（2022·河南·偃师市缑第四中学高三阶段练习（文））函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破5 根据图像求三角函数的解析式
例5．（1）、（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ） （A>0，|φ|<，ω>0）的图象的一部分图如图所示，则f（x）取最小值时x的取值集合为________.
（2）、（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）（多选题）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数图象的对称轴为直线
C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
【变式训练5-1】、（2021·全国·高一单元测试）已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】、（2022·全国·高一专题练习）函数（，，）的部分图像如图所示，则的值为________.
重难点题型突破6 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）
1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．　
2.函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数 φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数 φ＝kπ(k∈Z)．
例6、（1）、（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高三期中）函数的图象 （ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
（2）．（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第一中学校高一期末）函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2020·四川省阆中东风中学校高三月考（文））关于函数有如下命题，其中正确的有______
①的表达式可改写为
②是以为最小正周期的周期函数；
③的图象关于点对称；
④的图象关于直线对称.
【变式训练6-1】、（2020·湖南·长沙一中高一月考）（多选题）已知的相邻两条对称轴的距离为，则有（ ）
A．点是函数图像的一个对称中心
B．直线是函数图像的一条对称轴
C．函数在上为减函数
D．将函数的图像向右平移个单位后，对应的函数是奇函数
【变式训练6-2】、(2020·辽宁辽阳一模)函数的图像的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】、（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破7 根据三角函数的性质求参数的范围
例7、（1）、（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数图象的一条对称轴为直线，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）、（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】、（2022·辽宁营口·高一期末）函数在上单调递增，则取值范围为_____
【变式训练7-2】、（2022·山西·高三阶段练习）（多选题）已知函数，则（ ）
A．存在，使得为奇函数
B．任意，使得直线是曲线的对称轴
C．最小正周期与有关
D．最小值为
重难点题型突破7 三角函数的综合应用
例8、（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高一期末）已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2) 有零点，求的范围.
例9、（2022·全国·高一单元测试）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及其单调递减区间；
(2)若是函数的零点，用列举法表示的值组成的集合．
例10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求的值及函数的单调递增区间；
(2)当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.
例11．（2022·全国·高一单元测试）设，函数的最小正周期为，且．
(1)求和的值；
(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；
(3)若，求的取值范围．
四、定时训练
1．（2023·广东·高三学业考试）函数的最小正周期是（　　）
A． B．π C．2π D．4π
2．（2022·湖北·高三期中）下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·杭州四中高一期末）（多选题）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·云南昭通·高一期末）函数的定义域为___________.
5．（2022·江苏常州·高三期中）函数的最小正周期为______．
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数．
(1)若，求的值．
(2)求函数在R上的最小值；
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