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突破5.5 三角恒等变换
一、考情分析
三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．
二、考点梳理
1 同角三角函数的基本关系式 ：，=，
2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3 和角与差角公式
;;
.
= (由点的象限决定, ).
3 二倍角公式及降幂公式
.
.
4 三角函数的周期公式
函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
三角函数的图像：
三、题型突破
重难点题型突破01 诱导公式与同角公式
例1．（1）、（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知，则________．
【答案】##1.25
【分析】利用弦切互化法可求三角函数式的值.
【详解】.
故答案为：.
（2）、（2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习）若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】先化简，再进行弦化切，把代入即可求解.
【详解】.
因为，所以.
所以.
故选：D
【变式训练1-1】、（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值.
【详解】因为，则 .
故选：D.
【变式训练1-2 】、（2021·全国·高一单元测试）已知，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】对于正余弦的齐次式，进行弦化切，代入求解.
【详解】
，将代入上式，得原式．
故选：A．
重难点题型突破02 两角和与差的正弦公式
例1．（1）、（2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末（文））的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦两角差公式求解即可.
【详解】解：.
故答案为：C.
（2）、（2021·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
逆用和角正弦公式化简三角函数式，即可求值.
【详解】
.
故选：B
【变式训练2-1】、（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角和的正弦公式求值.
【详解】由，，，，
得，，
所以，
故选：C.
【变式训练2-2】、（2022·福建省福州第八中学高三期中）若是锐角，且，则=________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数基本关系以及差角的正弦公式求解.
【详解】因为是锐角，所以，
又，所以，
所以，
所以
.
故答案为：.
重难点题型突破03 两角和与差的余弦公式
例3．（1）、（2007·上海·高考真题（文））若，则____________．
【答案】
【分析】首先根据正余弦的平方关系求出的值，再利用余弦两角和公式化简，把得到的，代入即可．
【详解】解：若，
故答案为：.
（2）、（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知，则__________．
【答案】
【分析】
利用两角差的余弦公式展开，即可得到答案；
【详解】
，
故答案为：
【变式训练3-1】、（2021·北京·大峪中学高三月考）设，，则_______.
【答案】
【分析】
根据条件可求得，再利用两角和的余弦公式即可求得答案.
【详解】
解：因为，，所以，
则，故答案为：.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
应用诱导公式及逆用差角正弦公式化简求值即可.
【详解】
由，，
∴.
故选：A
重难点题型突破04 两角和与差的正切公式
例4．（1）、（2022·全国·高三专题练习）若，则____．
【答案】
【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．
【详解】若，
则，
故答案为：.
（2）、（2019·全国·高考真题（文））tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【答案】D
【分析】
本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
详解：=
【点睛】
三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
【变式训练4-1】、（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））式子的值为__________
【答案】
【分析】逆用两角和正切公式进行求解即可.
【详解】
故答案为：
【变式训练4-2】、（2022·广西南宁·模拟预测（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，从而求得.
【详解】因为，
则
所以有，
因为，所以，解得.
故选：C．
重难点题型突破05 二倍角与半角公式灵活应用
例5．（1）、（2020·四川南充高二期末（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由二倍角公式得，
故选：A
（2）、（2023·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对左右两边同时平方，再用二倍角公式即可得到答案.
【详解】由，得，
即，得
故选：C.
（3）、（2022·四川雅安·模拟预测（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因，所以.
故选：A
（4）、（2022·全国·高三专题练习）已知，则
【答案】##0.8
【分析】利用诱导公式可得，再根据二倍角的正弦公式及平方关系，结合商数关系化弦为切即可得解.
【详解】解： ，，
，
.
故答案为：.
【变式训练5-1】、（2022·黑龙江·大庆中学高一期中）已知，则________；
【答案】##0.28
【分析】直接利用二倍角的余弦公式计算可得；
【详解】因为，所以
故答案为：.
【变式训练5-2】、（2022·广东广州·高一期末）计算：__________.
【答案】
【分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】.
故答案为：.
【变式训练5-3】．（2022·辽宁大连·高一期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，
所以
，A选项正确.
B选项，
，B选项错误.
C选项，，C选项正确.
D选项，
，D选项错误.
故选：AC
【变式训练5-4】．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据正弦的二倍角公式，结合诱导公式，以及余弦的和差角公式，化简即可求得结果.
【详解】
.
故选：A.
重难点题型突破06 辅助角公式及三角函数的性质
例6、（1）、（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先利用辅助角公式进行化简，再利用整体思想和正弦函数的单调性进行求解.
【详解】
，
因为，所以，
所以，
即.
故选：D.
(2)、（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）（多选题）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是的最小正周期 B．关于对称
C．在的值域为 D．在上递增
【答案】AC
【分析】利用辅助角公式化简，再根据的性质逐个判断即可
【详解】，
对A，周期为，故A正确；
对B，令，得，所以函数不关于对称，故B不正确；
对C，当时，，所以，即的值域为，故C正确；
对D，当时，，所以函数在上单调递减，故D不正确，
故选：AC.
（3）、（2022·江苏苏州·高三期中）已知函数（）的周期为，那么当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先化简函数，根据周期求，再根据函数的定义域求函数的值域.
【详解】，，，
，，，
所以.
故选：B
【变式训练6-1】、（2021·广西·罗城仫佬族自治县高级中学高二开学考试）函数的最小正周期及最大值为（ ）．
A．和1 B．和 C．和2 D．和
【答案】C
【分析】
结合辅助角公式化简即可.
【详解】
，故，函数最大值为2.
故选：C
【变式训练6-2】、（2021·湖北·高三期中）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的单调递增区间为，
D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【分析】
利用余弦的二倍角公式可得，再利用余弦函数的性质逐一判断即可求解.
【详解】
，
A，，故A正确；
B， 定义域为，关于原点对称，
，所以函数为偶函数，故B错误；
C，由余弦的单调区间可得，解得，
所以的单调递增区间为，，故C正确；
D，，解得，
当时，，所以的图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD
【变式训练6-3】、（2021·全国·高一专题练习）设函数，则（ ）
A．的最小值为，其周期为
B．的最小值为，其周期为
C．在单调递增，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
【答案】AD
【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.
【详解】，函数的最小值是，周期，故A正确，B错误；
时，，所以在单调递减，令，得，其中一条对称轴是，故C错误，D正确.
故选：AD
重难点题型突破07 三角恒等变换
例7、（1）、（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学2021-2022学年高三上学期期中联考数学试题）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
利用两角和的正弦公式将展开化简即可求解.
【详解】
，
故选：C.
（2）、（2022·江苏·常州市北郊高级中学高二开学考试）（多选题）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】A逆用差角正弦公式求值；B诱导公式、倍角正弦公式化简求值；C和角正切公式化简求值；D倍角余弦公式化简.
【详解】A：，正确；
B：，正确；
C：，错误；
D：，正确.
故选：ABD
【变式训练7-1】．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
对于选项A：；对于选项B：；对于选项C：；对于选项D：；故选C
【变式训练7-2】．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）设，，若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据降幂公式和两角差的余弦公式，结合诱导公式逐一判断即可.
【详解】因为，所以，因此有，
又因为，所以，
∴，即，因为，，
所以，即，因此，
所以有：，，
，
故选：ABD.
重难点题型突破08 综合应用
例8、（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期和对称中心坐标
(2)当时，求的最大值和最小值．
【答案】(1)，，
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得最小正周期与对称中心；
（2）利用整体代入法求最值.
【详解】（1）由已知，
所以最小正周期，
令，，
得，，
所以对称中心为，；
（2）当时，，
所以，
故，
所以函数的最大值为，最小值为.
例9．（2022·河南·项城市第三高级中学高三期中）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，最小值为
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式将的解析式化为，即可得到答案；
（2）求出的范围，然后根据正弦函数的知识可得答案.
【详解】（1）因为，
故的最小正周期为；
（2）因为，所以，
所以当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值.
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·天津南开·高一期末）的值是_____.
【答案】##
【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.
【详解】.
故答案为：.
2．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）__________.
【答案】1
【分析】根据，利用两角和的正切公式，化简整理得到，即可算出所求的值.
【详解】，
去分母整理，得，
即
故答案为：1.
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
【答案】##0.8
【分析】由两边同时平方，利用同角三角函数关系式能求出．
【详解】∵，
∴，
所以．
故答案为：.
4．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是周期为π的周期函数 B．
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)在区间上单调递减
【答案】AD
【分析】将函数变为，根据其性质可判断每一个选项.
【详解】由，
得，故B不正确，
，故A正确，
，不是最值，故C不正确，
函数的减区间所满足的不等式为，
解得，所以其单调递减区间为，
而，故D正确.
故选：AD
5．（2022·北京通州·高三期中）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的最大值和最小值.
【答案】(1)最小正周期为
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据辅助角公式可得，结合公式计算即可求解；
（2）根据题意可得，结合正弦函数的单调性，进而得出函数的最值.
【详解】（1）由题意知，
，
则，
所以函数的最小正周期为；
（2）因为，所以，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，函数取得最大值为；
当，即时，，
当，即时，，
所以当时函数取得最小值为.
6．（2022·天津市瑞景中学高三期中）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为，单调减区间为.
(2)最大值为2，最小值为
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得到，从而利用求出最小正周期，再利用整体法求解函数的单调区间；
（2）根据求出，从而结合函数图象求出最大值为2，最小值为.
【详解】（1）因为
所以的最小正周期；
令，，解得：，，
令，，解得：，，
单调增区间为，，
单调减区间为，；
（2）已知，所以，
当，即时，取得最大值，最大值为2，
当，即时，取得最小值，最小值为-1，
所以在区间上的最大值为2，最小值为.
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突破5.5 三角恒等变换
一、考情分析
三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．
二、考点梳理
1 同角三角函数的基本关系式 ：，=，
2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3 和角与差角公式
;;
.
= (由点的象限决定, ).
3 二倍角公式及降幂公式
.
.
4 三角函数的周期公式
函数， (A,ω,为常数，且A≠0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.
三角函数的图像：
三、题型突破
重难点题型突破01 诱导公式与同角公式
例1．（1）、（2022·福建·莆田第三中学高三期中）已知，则________．
（2）、（2022·福建·福州黎明中学高三阶段练习）若，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【变式训练1-1】、（2022·湖北·枣阳一中高三期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2 】、（2021·全国·高一单元测试）已知，那么的值是（ ）
A． B． C．3 D．
重难点题型突破02 两角和与差的正弦公式
例1．（1）、（2022·宁夏·永宁县文昌中学高三期末（文））的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2022·湖南省桃源县第一中学高三阶段练习）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·福建省福州第八中学高三期中）若是锐角，且，则=________.
重难点题型突破03 两角和与差的余弦公式
例3．（1）、（2007·上海·高考真题（文））若，则____________．
（2）、（2021·广东·普宁市华侨中学高三期中）已知，则__________．
【变式训练3-1】、（2021·北京·大峪中学高三月考）设，，则_______.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）化简，得（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破04 两角和与差的正切公式
例4．（1）、（2022·全国·高三专题练习）若，则____．
（2）、（2019·全国·高考真题（文））tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
【变式训练4-1】、（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））式子的值为__________
【变式训练4-2】、（2022·广西南宁·模拟预测（文））已知，，则（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破05 二倍角与半角公式灵活应用
例5．（1）、（2020·四川南充高二期末（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·内蒙古赤峰·高三阶段练习（文））已知，则（ ）．
A． B． C． D．
（3）、（2022·四川雅安·模拟预测（理））若，则（ ）
A． B． C． D．
（4）、（2022·全国·高三专题练习）已知，则
【变式训练5-1】、（2022·黑龙江·大庆中学高一期中）已知，则________；
【变式训练5-2】、（2022·广东广州·高一期末）计算：__________.
【变式训练5-3】．（2022·辽宁大连·高一期末）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-4】．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
重难点题型突破06 辅助角公式及三角函数的性质
例6、（1）、（2021·河北·唐山市第十中学高三期中）若角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(2)、（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）（多选题）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．是的最小正周期 B．关于对称
C．在的值域为 D．在上递增
（3）、（2022·江苏苏州·高三期中）已知函数（）的周期为，那么当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】、（2021·广西·罗城仫佬族自治县高级中学高二开学考试）函数的最小正周期及最大值为（ ）．
A．和1 B．和 C．和2 D．和
【变式训练6-2】、（2021·湖北·高三期中）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的单调递增区间为，
D．的图象关于点对称
【变式训练6-3】、（2021·全国·高一专题练习）设函数，则（ ）
A．的最小值为，其周期为
B．的最小值为，其周期为
C．在单调递增，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
重难点题型突破07 三角恒等变换
例7、（1）、（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学2021-2022学年高三上学期期中联考数学试题）的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
（2）、（2022·江苏·常州市北郊高级中学高二开学考试）（多选题）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】．（2020·黄梅国际育才高级中学高一期中）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）设，，若，则有（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破08 综合应用
例8、（2022·浙江·高二阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期和对称中心坐标
(2)当时，求的最大值和最小值．
例9．（2022·河南·项城市第三高级中学高三期中）已知函数
(1)求的最小正周期；
(2)求在区间上的最大值和最小值．
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·天津南开·高一期末）的值是_____.
2．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）__________.
3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
4．（2021·全国·高三专题练习）（多选题）对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．f(x)是周期为π的周期函数 B．
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)在区间上单调递减
5．（2022·北京通州·高三期中）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求在上的最大值和最小值.
6．（2022·天津市瑞景中学高三期中）已知函数.
(1)求的最小正周期及单调区间；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
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