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4.1　数列的概念(1)
【学习目标】
1.理解数列的概念．
2.掌握数列的通项公式及应用．
3.理解数列是一种特殊的函数．理解数列与函数的关系．
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P2～5，思考并完成以下问题
(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？
(2)数列的项与项数一样吗？
(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列2，4，6，8，…2n是无穷数列． (　　)
(2)通项公式为an＝n＋1的数列是递增数列． (　　)
(3)数列4，0，－2，－4，－6的首项是4． (　　)
(4)30是数列an＝2n－1中的某一项． (　　)
2．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．9　　　　D．32
3．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是(　　)
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
4．数列1，2， ，，，…中的第26项为________．
5．填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，…
三、新知探究
1．数列的概念及一般形式
思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？
(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
[提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．
(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
2．数列的分类
类别 含义
按项的个数　 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法
思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
[提示]　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
四、题型突破
题型一 数列的概念与分类
【例1】　(1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．sin，sin，sin，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
(2)(一题多空)已知下列数列：
①2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；
②1，，，…，，…；
③1，－，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
【反思感悟】
1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．
【跟踪训练】
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个构成数列， ， ， ，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
题型二　由数列的前几项求通项公式
【例2】　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4 444，…；
(3)－1，3，－5，7，－9，…；
(4)2，－，，－，，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，….
[思路探究]　观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系．
【反思感悟】
1．常见数列的通项公式归纳
(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；
(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；
(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；
(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；
(7)数列1，，，，…的一个通项公式为an＝.
2．复杂数列的通项公式的归纳方法
①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察“变”的规律是什么；④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式．
【跟踪训练】
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(1)9，99，999，9 999，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)3，5，9，17，33，….
题型三　通项公式的应用
[探究问题]
1．根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？
[提示]　根据an，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n＝5，求a5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程．令an等于该项，解得n∈N*即是，否则不是．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
[思路探究]　(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；
(2)令3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．
【多维探究】
1．若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？
2．若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性．
【反思感悟】
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
五、达标检测
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　)
A．11　　　　 B．12
C．13 D．14
2．已知数列1，，，，…，，则3是它的(　　)
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
3．数列{an}：－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝(－1)n(n∈N*)
B．an＝(－1)n(n∈N*)
C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)
4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 020－a2 019＝________.
5．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
六、本课小结
1．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*(或它的一个子集{1，2，3，…，n})．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝
3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
4．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
提示：(1)×　无穷数列的末尾带有….
(2)√　an＝n＋1对应的函数y＝x＋1是增函数，所以an＝n＋1是递增数列．
(3)√　第一个位置的项是首项．
(4)×　当2n－1＝30时，n值不是正整数．
2．答案：B
解析：将n＝2代入通项公式，得a2＝32－1＝3.
3．答案：C
解析：代入验证可知C正确．
4．答案：2
解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
5．答案：2　7
答案：观察发现规律an＝
题型突破
【例1】(1)答案：C
解析：ABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，故选C.
(2)答案：①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④　
解析：①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．
【跟踪训练】
1．答案：①　②③　①　②　③　
解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列．
【例2】解：(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.
(2)各项乘，变为9，99，999，…，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝(10n－1)．
(3)所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间；
②整数部分构成奇数列；
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；
④分数部分的分子依次大1.
综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为
an＝(－1)n，
所以an＝(－1)n.
(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，再把各分母分别加上1，数列又变为，－，，－，…，所以an＝.
(5)法一：可写成分段函数形式：
an＝
法二：an＝
＝
即an＝＋.
【跟踪训练】
2．解：(1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，考虑到(－1)n＋1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，，，，，….所以，它的一个通项公式为an＝.
(4)3可看作21＋1，5可看作22＋1，9可看作23＋1，17可看作24＋1，33可看作25＋1，…，所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1.
【例3】解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2) 令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
【多维探究】
1．解：(1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
2．解：∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.
∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
达标检测
1．答案：C
解析：观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.
2．答案：B
解析：令＝3，解得n＝23.所以3是它的第23项，故应选B.
3．答案：B
解析：该数列的前几项可以写成－，，－，，…，故可以归纳为an＝(－1)n.故选B.
4．答案：27　4　
解析：a7＝4×7－1＝27，a2 020－a2 019＝(4×2 020－1)－(4×2 019－1)＝4(2 020－2 019)＝4.
5．解：(1)∵an＝，
∴a3＝＝，a4＝＝，
∴a3＋a4＝＋＝.
(2)是．若为数列{an}中的项，则＝，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．

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