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4.2.1　等差数列 (1)
【学习目标】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及应用.
3.掌握等差数列的判定方法.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P12～15，思考并完成以下问题
(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
(2)等差数列的通项公式是什么？
(3)等差中项的定义是什么？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． (　　)
2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　)
A．22　 B．24　　　C．26　　　D．28
3．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．4
4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
5．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝＋5(n∈N*)，则a6＝________.
三、新知探究
1．等差数列的概念
文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.
[提示]　插入的数分别为3，2，，0.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
[提示]　还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
4．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
[提示]　只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
四、题型突破
题型一 等差数列的通项公式
【例1】　已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
【反思感悟】
等差数列通项公式的妙用
1 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋ n－1 d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.
2 从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an＝a1＋ n－1 d可得an＝dn＋ a1－d ，当d≠0时，an是关于n的一次函数.
3 由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．
【跟踪训练】
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；
(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；
(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
(4)已知a7＝，d＝－2，求a1.
题型二　等差中项的应用
【例2】　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．
(2)已知，，是等差数列，求证：，，也是等差数列．
[思路探究]　(1)―→―→
(2)
【反思感悟】
等差中项应用策略
1 求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝.
2 证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.
【跟踪训练】
2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
题型三　等差数列的判定与证明
[探究问题]
1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*)，则{an}是等差数列吗？为什么？
[提示]　由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．
2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？
[提示]　是，由等差中项的定义可知．
3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示]　∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
【例3】　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
【多维探究】
1．将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
2. 将本例中条件“a1＝2，an＋1＝”换成“a1＝，n≥2时有＝(n＞1，n∈N*)”，结论如何？
【反思感悟】
等差数列的三种判定方法
1 定义法：an＋1－an＝d 常数 n∈N* {an}为等差数列；
2 等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 n∈N* {an}为等差数列；
3 通项公式法：an＝an＋b a，b是常数，n∈N* {an}为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
五、达标检测
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)
A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)
A．8 B．12 C．16 D．24
3．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为______．
4．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
六、本课小结
1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．等差数列的单调性
d＞0 等差数列是递增数列．
d＜0 等差数列是递减数列．
d＝0 等差数列是常数列．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√
提示：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．答案：D
解析：a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.
3．答案：D
解析：由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.
4．答案：60°
解析：因为三内角A，B，C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.
5．答案：
解析：由条件知，－＝5，∴为等差数列，且＝3，
∴＝3＋5×5＝28，即a6＝.
题型突破
【例1】 解：
法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由题意得解得
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.
由a15＝8，a60＝20得解得
∴a75＝75×＋4＝24.
【跟踪训练】
1．解：(1)∵a1＝6，d＝3，
∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3.
∴a8＝3×8＋3＝27.
(2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝＝＝－1，
∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14，
∴a7＝－7＋14＝7.
(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14，
∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18.
(4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝，∴a1＝.
【例2】(1)答案：6
解析：由题意得
∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴＝6.
(2)证明：∵，，成等差数列，
∴＝＋，即2ac＝b(a＋c)．
∵＋＝＝＝＝＝，
∴，，成等差数列．
【跟踪训练】
2．解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为：－1，1，3，5，7.
【例3】解：(1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
【多维探究】
1．解：(1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2.
2. 解：　(1)证法一：＝(n＞1，n∈N*)
∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，
即an－1＝an(4an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，
∴an＝(n＞1，n∈N*)，
∴＝＝4＋(n＞1，n∈N*)，
∴－＝4(n＞1，n∈N*)，
∴数列是等差数列且公差为4，首项为5.
证法二：当n＞1，n∈N*时，＝ ＝ －2＝2＋ －＝4，且＝5.
∴是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)由(1)及等差数列的通项公式得
＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，∴an＝.
达标检测
1．答案：A
解析：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．
对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.
2．答案：C
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得解得a1＝0，d＝2，
所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.
3．答案：
解析：＝＝＝.
4．解：由题意得∴
解得∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式为an＝2n.

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