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4.2.2　等差数列的前n项和公式(1)
【学习目标】
1. 了解等差数列前n项和公式的推导过程．
2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．
3．会用裂项相消法求和.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P18～22，思考并完成以下问题
(1)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？
(2)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． (　　)
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　　)
(3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn．(　　)
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　)
A．230　 B．420　　　C．450　　　D．540
3．等差数列－1，－3，－5，…的前n项和是－100，那么n的取值为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
4．在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________，项数n＝________.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.
三、新知探究
1．等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的．
2．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
思考：等差数列{an}前n项和公式推导中，运用了哪条性质？
[提示]　运用性质“等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.”从而a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1.
四、题型突破
题型一 等差数列前n项和的有关计算
【例1】　在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；
(2)已知a2＋a4＝，求S5.
[思路探究]　
(1)由于有两个已知条件，所以可以通过列方程组求出基本量a1，d来解决问题，也可以运用等差数列前n项和公式求解；
(2)由于只有一个已知条件，需要结合等差数列的通项公式和前n项和公式求解，也可以利用等差数列的性质和前n项和公式求解．
【反思感悟】
求数列的基本量的基本方法
求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理， 1 “知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个. 2 “知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解.
【跟踪训练】
1．(1)已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，若a2＋a4＝4，a5＝8，则S10＝(　　)
A．125 B．115 C．105 D．95
(2)已知等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S9＝27，a10＝8，则S14＝(　　)
A．154 B．153 C．77 D．78
题型二　等差数列前n项和公式的实际应用
【例2】　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？
[思路探究]　因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．
【反思感悟】
遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
1 抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.
2 深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
【跟踪训练】
2．(1)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布(　　)
A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺
(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为(　　)
A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤
题型三　裂项相消法求和
【例3】等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.
[思路探究]
根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和．
【反思感悟】
裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项 裂项 之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和.
【跟踪训练】
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn.
五、达标检测
1．等差数列{an}前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．3
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝100，则a4＋a7＝(　　)
A．12 B．20 C．40 D．100
3．数列的前100项的和为________．
4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，则n＝________.
5．在等差数列{an}中，
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
六、本课小结
1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形
(1)Sn＝n·；
(2)Sn＝n2＋n；
(3)＝n＋.
2．形如的式子，若可分解为－的形式，则一般可用裂项相消法求解．
3．常用的数列求和公式
1＋2＋3＋…＋n＝；
2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2；
12＋22＋32＋…＋n2＝
参考答案
课前小测
1．提示：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数．
答案：(1)√　(2)×　(3)×
2．答案：B
解析：S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.
3．答案：C
解析：根据公式Sn＝na1＋d得－100＝－n＋×(－2)，解得n＝10.
4．答案：　27
解析：由等差数列的通项公式和前n项和公式得解得
5．答案：48
解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]
题型突破
【例1】解：
(1)法一：∵a6＝10，S5＝5，
∴解得
∴a8＝a6＋2d＝16.
法二：∵S6＝S5＋a6＝15，
∴15＝，即3(a1＋10)＝15.
∴a1＝－5，d＝＝3.
∴a8＝a6＋2d＝16.
(2)法一：∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝.
∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.
法二：∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，
∴S5＝＝×＝24.
【跟踪训练】
1．答案：(1)D　(2)C
解析：(1) S10＝10×(－4)＋×3＝95.
(2)根据题意，等差数列{an}中，若S9＝27，即S9＝＝9a5＝27，解得a5＝3，又a10＝8，∴S14＝＝＝77.故选C.
【例2】 解：从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.
25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线．
【跟踪训练】
2．答案：(1)B　(2)B
解析：(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90(尺)．
(2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列{an}．设首项为2，则a5＝4，∴中间3尺的重量为a2＋a3＋a4＝3a3＝×3＝×3＝9(斤)．
【例3】解：∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，
∴前n项和Sn＝na1＋d
＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，
∴＝＝
＝，
∴＋＋…＋
＝
＝
＝－.
【跟踪训练】
3．解：an＝＝，
∴Sn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝＝，∴Sn＝.
达标检测
1．答案：C
解析：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得解得
2．答案：B
解析：法一：由等差数列的前n项和的公式得：S10＝10a1＋d＝100，
即2a1＋9d＝20，从而a4＋a7＝a1＋3d＋a1＋6d＝2a1＋9d＝20.
法二：S10＝＝100，∴a1＋a10＝20，a4＋a7＝a1＋a10＝20.故选B.
3．答案：
解析：∵＝－.
∴S100＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
4．答案：12
解析： Sn＝n·＋×＝－15，整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，即n＝12.
5．解：(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15.
∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39，
∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
(3)由
得，解方程组得或.

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