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5.1.1　变化率问题
【学习目标】
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P59～63，思考并完成以下问题
(1) 平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2) 瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
(3) 如何用定义求函数在某一点处的导数？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) Δx趋近于零时表示Δx＝0． (　　)
(2) 平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　)
(3) 瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．(　　)
(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝．(　　)
2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)
A．f (x0＋Δx)　　 B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)
3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
4．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的加速度为________．
5．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2.那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s.
三、新知探究
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1.
(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．
(3)平均变化率＝＝.
思考：Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？
[提示]　Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝.
3．曲线的切线斜率
(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率．
(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率，即k＝.
思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？
[提示]　不是．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．
四、题型突破
题型一 求平均变化率
【例1】　(1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为(　　)
A． B．－ C．2 D．－2
(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．
【反思感悟】
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
【跟踪训练】
1．函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　)
A．k1＞k2　　 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系不确定
题型二　求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度？
[提示]　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
[提示]　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
【例2】　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
【多维探究】
1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
【反思感悟】
求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s t ，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
1 写出时间改变量Δt，位移改变量Δs Δs＝s t0＋Δt －s t0 .
2 求平均速度：＝.
3 求瞬时速度v：当Δt→0时，→v 常数 .
题型三　求函数在某点的切线斜率及方程
【例3】　(1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．
(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
[思路探究]　(1)x＝1处的瞬时变化率即为斜率．
(2)―→―→
【反思感悟】
求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤
【跟踪训练】
2．求函数y＝在x＝2处的切线方程．
五、达标检测
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
3．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f (1＋Δx))，则等于________．
4．设函数f (x)在x＝1处切线斜率为2，则＝________.
5．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
六、本课小结
1．函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：k＝＝＝.
2．瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．答案：D　
解析：Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故选D.
3．答案：B　
解析：＝＝＝＝4.1，故选B.
4．答案：6
解析：＝＝＝6＋Δt，当Δt→0时，→6，即汽车在t＝3时加速度为6.
5．答案：2
解析：＝＝＝0.9Δt＋1.8t0.
当Δt→0时→1.8 t0.即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2.
题型突破
【例1】答案：(1)B　(2)－4－2Δx
解析：(1)＝＝＝－.故选B.
(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均变化率为＝＝－4－2Δx.
【跟踪训练】
1．答案：A
解析：∵函数y＝f (x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为Δy1＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝(x0＋Δx)2－x＝Δx(2x0＋Δx)，
∴k1＝＝2x0＋Δx.
∵函数y＝f (x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy2＝f (x0)－f (x0－Δx)＝x－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，
∴k2＝＝2x0－Δx.
∵k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，∴k1＞k2.
【例2】解：∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
【多维探究】
1．解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝＝＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
【例3】(1) 答案：2
解析：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.
∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴斜率k＝ ＝ ＝1＋1＝2.
(2) 解：显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为
k＝
＝
＝
＝ (Δx＋2)
＝2.
故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
【跟踪训练】
2．解：∵Δy＝－＝－1＝－，
∴＝－，
∴k＝ ＝ ＝＝－1.
又x＝2时y＝＝1.
∴切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0.
达标检测
1．答案：B
解析：＝＝＝2.
2．答案：C
解析：结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．
3．答案：4＋2Δx
解析：Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝2Δx＋4.
4．答案：
解析：根据条件知k＝ ＝2，
∴ ＝ ＝.
5．解：(1)因为f (x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.

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