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5.1.2　导数的概念及其几何意义
【学习目标】
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．
2. 了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P64～69，思考并完成以下问题
(1)导数的几何意义是什么？
(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？
(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． (　　)
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大． (　　)
(3)f ′(x0)就是导函数y＝f ′(x)在x0处的函数值． (　　)
(4)若f ′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在． (　　)
2．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则(　　)
A．f ′(x0)＞0　　　　　 B．f ′(x0)＝0
C．f ′(x0)＜0 D．f ′(x0)不存在
3．(教材P70习题T6改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，下列描述错误的是(　　)
A．x＝－5处比x＝－2处变化快
B．x＝－4处呈上升趋势
C．x＝1和x＝2处增减趋势相反
D．x＝0处呈上升趋势
4．已知函数f (x)在x0处的导数为f ′(x0)＝1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为________．
5．若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
三、新知探究
1．导数的概念
如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ .
思考：f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？
[提示]　f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，
f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．
2．导数的几何意义
(1)导数的几何意义
如图，割线P0P的斜率k＝. 记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝＝f ′(x0)．
(2)切线方程
曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
3．导函数
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝ .
思考： f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？
[提示]　f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数．
四、题型突破
题型一 求函数在某点处的导数
【例1】　(1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则等于(　　)
A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0
(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
【反思感悟】
利用导数定义求导数
1 取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
2 函数在x0处的导数f ′ x0 只与x0有关，与Δx无关.
3 导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
【跟踪训练】
1．建造一栋面积为x m2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f (x)＝＋＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．
题型二　导数几何意义的应用
【例2】　(1)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则其导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　)
　　　　　　　　 　A　　　　 B 　　　 C　　　　D
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　)
A　　 　 B　　　　 C　　　 　 D
[思路探究]　(1)切线斜率大于零，则f ′(x)＞0；切线斜率小于零，则f ′(x)＜0；
(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．
【反思感悟】
导数几何意义理解中的两个关键
关键点一：y＝f x 在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0 f ′ x0 ＞0；k＜0 f ′ x0 ＜0；k＝0 f ′ x0 ＝0.
关键点二：|f ′ x0 |越大 在x0处瞬时变化越快；|f ′ x0 |越小 在x0处瞬时变化越慢.
【跟踪训练】
2．(1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是(　　)
A．f ′(xA)＞f ′(xB) B．f ′(xA)＜f ′(xB)
C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1　　　 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
题型三　求切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？
[提示]　y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
[提示]　曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
[提示]　不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
【例3】　已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．
【多维探究】
1．把题中条件“y＝x3”改成“y＝x2”，求曲线在x＝1点处的切线方程
2．求曲线y＝x2＋1过点P(1，0)的切线方程．
【反思感悟】
利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
五、达标检测
1．下面说法正确的是(　　)
A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线
B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线，则f ′(x0)有可能存在
2．已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 ＝(　　)
A． B．2 C．1 D．－1
3．设曲线f (x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(　　)
A．1 B． C．－ D．－1
4．曲线f (x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
5．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．
六、本课小结
1．函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝0并不能说明函数图象的上升与下降发生了转变，若函数在x＝x0左右的导数都大于0，或者都小于0，则函数图象的走势并没有发生转变．如函数f (x)＝x3在x＝0处的导数等于0，但f (x)＝x3的图象一直上升．
2．求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解．
(1)若“在”，则该点为切点．
(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点．
3．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
提示：(1)根据导数的几何意义知正确．
(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．
(3)根据导函数的定义知正确．
(4)若f ′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处切线平行于x轴，不能说不存在．
2．答案：C
解析：由题意可知，f ′(x0)＝－2＜0，故选C.
3．答案：D
解析：根据导数的几何意义：f ′(－5)＞0，f ′(－4)＞0，f ′(－2)＝0，f ′(0)＜0，f ′(1)f ′(2)＜0，故D错误，故选D.
4．答案：45°
设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f ′(x0) ＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.
5．答案：x＋y－3＝0
解析：切线的斜率为k＝－1.
∴点 A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
题型突破
【例1】(1)答案：B
解析：∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.
∴＝2＝2f ′(x0)．故选B.
(2)解：∵Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，
∴f ′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
【跟踪训练】
1．解：根据导数的定义，得f ′(100)＝ ＝
＝
＝
＝
＝＋
＝0.105.
f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2.
【例2】答案：(1)B　(2)B
解析：(1)由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故B符合．
(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
【跟踪训练】
2．答案：(1)B　(2)A
解析：(1)由导数的几何意义，f ′(xA)，f ′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f ′(xA)＜f ′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，∴a＝1.
又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
【例3】解：(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1，1)．
y′|x＝1＝ ＝
＝ [3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知＝3x，由题意可知kPQ＝，
即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－3x＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
【多维探究】
1．解：把x＝1代入y＝x2得y＝12＝1.即切点P(1，1)，
y′|x＝1＝ ＝
＝ (Δx＋2)＝2，
∴k＝y′|x＝1＝2.
∴曲线y＝x2在P(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
2．解：设切点为Q，
k＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a.
∴在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)． (*)
把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．
解的a＝1±.
再把a＝1±代入到(*)式中．即得
y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．这就是所求的切线方程．
达标检测
1．答案：C
解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
2．答案：C
解析：由题意可得： ＝ ＝f ′(1)，
即： ＝×2＝1.故应选C.
3．答案：A
解析：因为f ′(1)＝ ＝ ＝ (2a＋aΔx)＝2a，
所以2a＝2，所以a＝1.
4．答案：x＋2y＋4＝0
解析：f ′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
5．解：设切点P(m，n)，切线斜率为k，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝m＝4m.
由题意可知4m＝8，∴m＝2.
代入y＝2x2－7得n＝1.
故所求切点P为(2，1)．

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