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5.2 导数的概念与运算、导数的几何意义
新课程标准 考向预测
1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数． 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 命题角度 1.导数的运算 2.导数的几何意义及应用
核心素养 数学运算 数学抽象
【基础梳理】
一、导数的概念与导数的几何意义
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率______________________＝___________________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝＝_____________________．
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的____________．相应地，切线方程为__________________．
3．函数f(x)的导函数
函数f ′(x)＝________________为f(x)的导函数．
基础小测
1．(2020届江西南昌东湖区十中上学期期中)已知函数f(x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f′(x0)＝(　　)
A．2 B．1 C． D．0
2．函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为2x＋y－3＝0，则f(2)＋f′(2)＝ __________．
二、导数的运算
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axlna
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
2．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)＝(g(x)≠0)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于________的________与________的导数的乘积．
基础小测
1．(多选题)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋sinx
C．f(x)＝1＋2sin x D．f(x)＝ex＋x2
2．若f(x)＝x2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝________.
3．已知f(x)＝ln，则f ′(x)＝________.
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：(1)′＝－；
(2)′＝－(f(x)≠0)；
(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
【考点突破】
考点一　导数的运算(高考热度：★)
[例1] 求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝.
(4)y＝ln.
解题技法
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导6种方法
连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式 先化为和、差形式，再求导
复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
考点二　导数的几何意义(高考热度：★★★)
考向1　求切线方程
[例2] (2019全国卷Ⅰ，13)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________________．
解题技法
求曲线过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
考点微练
1.过点(－1，1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有(　　)
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
对点变式
已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为_______________．
2．若函数f(x)＝x3＋(t－1)x －1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为____________．
考向2　求切点坐标
[例3] (2020届江苏苏州上学期期中调研)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
考点微练
1．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．
考向3　由导数的几何意义求参数的值
[例4] (2019全国卷Ⅲ，6)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
[例5] 设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．(3，＋∞)
C. D.
解题技法
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考点微练
1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________.
2．(2020届河南郑州一中高考适应性考试)已知l为曲线y＝在(1，a)处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形的面积为时，实数a的值为________.
【素养提升】
数学运算——辨明求切线方程中“在”与“过”的不同
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
[例6]　若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切则a的值为________．
素养评析
求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．
(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．
(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，应先设切点，求切点坐标．
数学运算 —— 让函数求导更流畅
[例7]已知f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－f′(1)x·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝(　　)
A．4e2＋4e－2 B．4e2－4e－2
C．0 D．4e2
素养评析
准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．准确、快速地对函数求导是学好导数的关键．
素养微练
若f(x)＝asin ax＋(a－2)x2为奇函数，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为(　　)
A．－2 B．－4
C．2 D．4
参考答案
【基础梳理】
一、导数的概念与导数的几何意义
基础小测
1．解析：∵＝1，
∴＝，
即f ′(x0)＝＝.故选C.
2．解析：由于已知切点在切线上，所以f(2)＝3－2×2＝－1.又切点处的导数为切线的斜率，所以f′(2)＝－2，所以f(2)＋f′(2)＝－3.
二、导数的运算
基础小测
1．解析：由题意知f(x)的导函数是偶函数．A中，f′(x)＝－3sin x是奇函数；B中，f′(x)＝3x2＋cos x是偶函数；C中，f′(x)＝2cos x是偶函数；D中，f′(x)＝ex＋2x既不是奇函数，也不是偶函数．故选BC.
2．解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.
3．解析： f′(x)＝′＝′＝
＝.
【考点突破】
考点一　导数的运算(高考热度：★)
[例1] 解析：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝′＝＝－.
(4)因为y＝ln＝ln(1＋2x)，
所以y′＝··(1＋2x)′＝.
考点二　导数的几何意义(高考热度：★★★)
考向1　求切线方程
[例2] 解析：　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴ 斜率k＝e0×3＝3，∴ 切线方程为y＝3x.
答案：　y＝3x
考点微练
1. 解析：由f(x)＝x3－x2－2x＋1得f′(x)＝3x2－2x－2.设切点坐标为(x0，x－x－2x0＋1)，则f′(x0)＝3x－2x0－2，∴过切点的直线为y－x＋x＋2x0－1＝(3x－2x0－2)(x－x0)．∵切线过点(－1，1)，∴1－x＋x＋2x0－1＝(3x－2x0－2)(－1－x0)，整理得x＋x－x0－1＝0，解得x0＝－1或x0＝1.∴过点(－1，1)与直线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有2条．
对点变式
解析：∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点坐标为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由解得
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
2．解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
考向2　求切点坐标
[例3] 解析：∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，∴曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(x0，y0)(x0>0)．∵函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率k2＝－，由题意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1.又x0＞0，∴x0＝1.又∵点P在曲线y＝(x＞0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1，1)．
考点微练
1．解析：∵y′＝－，设切点的横坐标为x0(x0>0)，曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，∴－＝，解得x0＝3或x0＝－2(不符合题意，舍去)，即切点的横坐标为3.
考向3　由导数的几何意义求参数的值
[例4] 解析：∵y′＝aex＋ln x＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e－1.将(1，1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，b＝－1.故选D.
[例5] 解析：由f(x)＝－ex－x，得f′(x)＝－ex－1，
∵ex＋1>1，∴∈(0,1)．由g(x)＝3ax＋2cos x，得g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线f(x)＝－ex－x上任意一点的切线l1，总存在过曲线g(x)＝3ax＋2cos x上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则
解得－≤a≤.
答案： D
考点微练
1．解析：由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，则由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
2．解析：因为y′＝，所以切线的斜率为1－a，切线方程为y－a＝(1－a)(x－1)，令x＝0得y＝2a－1；令y＝0得x＝，所以S＝|x|·|y|＝·＝，解得a＝0或a＝.
[例6]　解析：易知点O(0,0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，
则y0＝x－3x＋2x0，
k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，
所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意，Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.
[答案]　1或
数学运算 —— 让函数求导更流畅
[例7] 解析：函数f(－x)＝e－x＋ex－f′(1)(－x)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，两边对x求导数得－f′(－x)＝f′(x)．即f′(－x)＝－f′(x)，
则f′(x)是R上的奇函数，则f′(0)＝0，
－f′(2)＝f′(－2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，则f′(2)＋f′(－2)＋f′(0)f′(1)＝0.
素养微练
解析：∵f(x)是奇函数，∴a－2＝0，a＝2，∴f(x)＝2sin 2x，f′(x)＝4cos2x，
∴f′(0)＝4.∴曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为4.

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