资源简介

5.3.1　函数的单调性
【学习目标】
1．理解导数与函数的单调性的关系．
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
3．会用导数求函数的单调区间．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P84～89，思考并完成以下问题
(1) 函数的单调性与导数的正负有什么关系？
(2) 利用导数判断函数单调性的步骤是什么？
(3) 怎样求函数的单调区间？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． (　　)
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性． (　　)
2．函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)
A．增函数　　　　 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
3．导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)
A B C D
4．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________．
5．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．
三、新知探究
1．函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负 f (x)的单调性
f ′(x)＞0 单调递增
f ′(x)＜0 单调递减
思考：如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f (x)有什么特性？
[提示]　f (x)是常数函数．
2．判断函数y＝f (x)的单调性
第1步：确定函数的定义域；
第2步：求出导数f ′(x)的零点；
第3步：用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
3．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f (x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
四、题型突破
题型一 导函数与原函数的关联图象
【例1】　(1)设函数f (x)在定义域内可导，f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
(2)已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
【反思感悟】
研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点
研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
【跟踪训练】
1．已知y＝xf ′(x)的图象如图所示(其中f ′(x)是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f (x)的图象大致是(　　)
题型二　利用导数求函数的单调区间
【例2】　求下列函数的单调区间：
(1) f (x)＝3x2－2ln x； (2) f (x)＝x2e－x.
[思路探究]　先求定义域，再对原函数求导，结合导数f ′(x)的正负确定函数的单调区间．
【反思感悟】
用解不等式法求单调区间的步骤
1 确定函数f x 的定义域；
2 求导函数f′ x ；
3 解不等式f′ x ＞0 或f′ x ＜0 ，并写出解集；
4 根据 3 的结果确定函数f x 的单调区间.
【跟踪训练】
2．求函数f (x)＝x2－ln x的单调区间．
题型三　含有参数的函数单调性的讨论
【例3】　设g(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．
[思路探究]　先对原函数求导得g′(x)＝－(x＞0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性．
【反思感悟】
利用导数研究含参函数f x 的单调区间的一般步骤
1 确定函数f x 的定义域；
2 求导数f′ x ；
3 分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
4 在不同的参数范围内，解不等式f′ x ＞0和f′ x ＜0，确定函数f x 的单调区间.
【跟踪训练】
3．试求函数f (x)＝kx－ln x的单调区间．
题型四 已知函数的单调性求参数的范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f ′(x)＞0，则f (x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
[提示]　不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f ′(x)＞0是y＝f (x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f ′(x)满足什么条件？
[提示]　f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)．
【例4】　已知函数f (x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[思路探究]　―→―→
【多维探究】
1．若函数f (x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1，1)，求a的取值范围．
2．若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的取值范围．
3．(变条件)若函数f (x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的取值范围．
【反思感悟】
1．已知f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
2．解答本题注意：可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
五、达标检测
1．设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为(　　)
2．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
3．若函数f (x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．0＜a＜3 B．a≥2
C．a≥3 D．a≤3
4．函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．
5．已知函数f (x)＝ae2x＋(a－2)ex－x，讨论f (x)的单调性．
六、本课小结
1．判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性．
2．利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：
(1)区间端点大小不确定型
由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间．
(2)区间端点与定义域关系不确定型
此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论．
(3)最高次项系数不确定型
此类问题一般要就最高次项的系数a，分a＞0，a＝0，a＜0进行讨论．
3．恒成立和存在性问题的转化
(1)对于恒成立的不等式：若f (x)≥a对任意x∈D恒成立，则f (x)min≥a(假设存在最值，下同)；若f (x)≤a对任意x∈D恒成立，则f (x)max≤a.
(2)对于存在性不等式：若f (x)≥a， x∈D使其成立，则f (x)max≥a；若f (x)≤a， x∈D使其成立，则f (x)min≤a.
由以上可知，对于恒成立的不等式和存在性不等式，在取最值时“恰好是相反的”．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
提示：
(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确．
(2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．
(3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．
(4)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性．
2．答案：A
解析：∵f (x)＝2x－sin x，
∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
3．答案：D
解析：当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.
4．答案：(－1，2)和(4，＋∞)
解析：由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．
5．答案：(0，＋∞)
解析：∵f (x)＝ex－x，
∴f ′(x)＝ex－1.
由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，
即x＞0.
∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
题型突破
【例1】答案：(1)D　(2)B
解析：(1)由f (x)的图象可知，y＝f (x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x＜0时，有f ′(x)＞0(即全部在x轴上方)，故排除A，C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f ′(x)＞0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)＜0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)＞0，故排除B.故选D.
(2)法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．
法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．
由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.
【跟踪训练】
1．答案：C
解析：当0＜x＜1时，xf ′(x)＜0，
∴f ′(x)＜0，故f (x)在(0，1)上为减函数；
当x＞1时，xf ′(x)＞0，∴f ′(x)＞0，
故y＝f (x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.
【例2】解：
(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝6x－＝＝，
由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.
∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f ′(x)＝0，由于e－x＞0，
∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f (x) ↘ f (0)＝0 ↗ f (2)＝ ↘
∴f (x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)．
【跟踪训练】
2．解：函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝2x－＝.
因为x＞0，所以x＋1＞0，令f ′(x)＞0，解得x＞，所以函数f (x)的单调递增区间为；令f ′(x)＜0，解得x＜，又x∈(0，＋∞)，所以函数f (x)的单调递减区间为.
【例3】解：由题意可知g′(x)＝－2ax＋a－2＝－(x＞0)．
∵a＜0，g′(x)＝－(x＞0)，
(1)当a＜－2时，∵－＜，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减；
(2)当a＝－2时，g′(x)＝≥0恒成立，
∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(3)当－2＜a＜0时，∵－＞，∴g′(x)＝－＞0等价于(2x－1)＞0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减．
【跟踪训练】
3．解：函数f (x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，∴f ′(x)＜0，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f ′(x)＜0，得＜0，解得0＜x＜；
由f ′(x)＞0，得＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f (x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
【例4】解：由已知得f ′(x)＝3x2－a，
因为f (x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，
f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
【多维探究】
1．解：由f ′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f ′(x)≥0，
∴f (x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f ′(x)＜0.
∴f (x)在上为减函数，
∴f (x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
2．解：由题意可知f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，
∴，即∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．解：∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a，
由f ′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，
∵f (x)在区间(－1，1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.
故a的取值范围为(0，3)．
达标检测
1．答案：C
解析：∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f ′(x)＞0.故选C.
2．答案：D
解析：∵f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f (x)的单调递增区间为(2，＋∞)．
3．答案：C
解析：∵函数f (x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内单调递减，
∴f ′(x)＝3x2－2ax≤0在(0，2)内恒成立，即a≥x在(0，2)内恒成立．
∵x＜3，∴a≥3.故答案为C.
4．答案：(0，1)
解析：函数的定义域为(0，＋∞)，且：f ′(x)＝x－＝，
求解不等式：＜0，结合函数的定义域可得：0＜x＜1，
则函数f (x)＝x2－ln x的单调递减区间为(0，1)．
5．解：f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，
f ′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．
①若a≤0，则f ′(x)＜0，
所以f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减．
②若a＞0，则由f ′(x)＝0，得x＝－ln a.
当x∈(－∞，－ln a)时，f ′(x)＜0；
当x∈(－ln a，＋∞)时，f ′(x)＞0.
所以f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f (x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a＞0时，f (x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．

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