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5.3.2　函数的极值与最大(小)值（1）
【学习目标】
1. 了解极大值、极小值的概念．
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求函数的极大值、极小值．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P89～92，思考并完成以下问题
(1)函数极值点、极值的定义是什么？
(2)函数取得极值的必要条件是什么？
(3)求可导函数极值的步骤有哪些？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)极大值一定比极小值大． (　　)
(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． (　　)
(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点． (　　)
(4)单调函数不存在极值． (　　)
2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　)
A．y＝x3　　　　 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
4．函数f (x)＝x＋2cos x在上的极大值点为(　　)
A．0　　　B．　　　C．　　　D．
三、新知探究
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
思考：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示]　不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．
四、题型突破
题型一 不含参数的函数求极值
【例1】　求下列函数的极值：
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2.
【反思感悟】
一般地，求函数y＝f x 的极值的步骤
1 求出函数的定义域及导数f ′ x ；
2 解方程f ′ x ＝0，得方程的根x0 可能不止一个 ；
3 用方程f′ x ＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′ x ，f x 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
4 由f ′ x 在各个开区间内的符号，判断f x 在f ′ x ＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f x 在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f x 在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
【跟踪训练】
1．求函数f (x)＝3x3－3x＋1的极值．
题型二　含参数的函数求极值
【例2】　已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
[思路探究]　―→―→―→
【反思感悟】
函数极值的注意点
1 求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.
2 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′ x 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′ x 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
【跟踪训练】
2．若函数f (x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f (x)的极值．
题型三　由极值求参数的值或取值范围
【例3】　(1)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　)
A．4或－3　　　　 B．4或－11
C．4 D．－3
(2)若函数f (x)＝x2＋(a－1)x－aln x没有极值，则(　　)
A．a＝－1 B．a≥0
C．a＜－1 D．－1＜a＜0
[思路探究]　(1)由f ′(1)＝0且f (1)＝10.求解a，b，注意检验极值的存在条件．
(2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)
【反思感悟】
已知函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
1 已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数f′ x ；
②由极值点的导数值为0，列出方程 组 ，求解参数.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
2 对于函数无极值的问题，往往转化为f′ x ≥0或f′ x ≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
【跟踪训练】
3．若x＝2是函数f (x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f (x)的极大值．
题型四 极值问题的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f (x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．
[提示]　f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f ′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f (x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f ′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f (x)的递减区间是(－2，3)．
由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x)大致图象如图所示．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？
[提示]　方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．
【例4】　已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路探究]　求出函数的极值，要使f (x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
【多维探究】
1．本例中，若方程f (x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
2．本例中，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
3．讨论方程＝a的根的情况．
【反思感悟】
利用导数求函数零点的个数
1 利用导数可以判断函数的单调性；
2 研究函数的极值情况；
3 在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
4 直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.
五、达标检测
1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
A．在(1，2)上函数f (x)为增函数
B．在(3，4)上函数f (x)为减函数
C．在(1，3)上函数f (x)有极大值
D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点
2．设函数f (x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为________．
六、本课小结
1．若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
2．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．
3．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．
参考答案
课前小测
1．提示：(1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；
(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；
(3)若f ′(x0)＝0，只有导函数的变号零点，x0才是极值点，故(3)错误；
(4)正确．
2．答案：C
解析：设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
3．答案：BC
解析：对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；
对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；
对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；
对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC.
4．答案：B
解析：f ′(x)＝1－2sin x．令f ′(x)＝0，∵x∈，
∴x＝，x∈时f ′(x)＜0，x∈时，f ′(x)＞0.∴x＝是f (x)在上的极大值点．
题型突破
【例1】解：(1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 无极值 ↗ 极大值 108 ↘ 极小值0 ↗
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
【跟踪训练】
1．解：　f ′(x)＝9x2－3，
令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x －
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
根据上表可知x1＝－为函数f (x)＝3x3－3x＋1的极大值点，极大值为f ＝1＋；
x2＝为函数f (x)＝3x3－3x＋1的极小值点，极小值为f ＝1－.
【例2】解：∵f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝；
当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝0.
②当a＜0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ＝0；
当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ＝.
综上，当a＞0时，函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝处取得极小值0；
当a＜0时，函数f (x)在x＝处取得极大值0，在x＝处取得极小值.
【跟踪训练】
2．解：　函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝.
(1)当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值．
(2)当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a.
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0.
∴f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－aln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值；
当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
【例3】答案：(1)C　(2)A
解析：(1)∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意得即
解得，或
当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故函数f (x)单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝4.故选C.
(2)f ′(x)＝(x－1)，x＞0，
当a≥0时，＋1＞0，令f ′(x)＜0，得0＜x＜1；
令f ′(x)＞0，得x＞1.f (x)在x＝1处取极小值．
当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，
①若a＝－1，此正数解为x＝1，此时f ′(x)＝≥0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．
②若a≠－1，此正数解为x≠1，f ′(x)＝0必有2个不同的正数解，f (x)存在2个极值．综上，a＝－1.故选A.
【跟踪训练】
3．解：　∵f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f ′(2)＝0，
∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.
(1)当m＝2时，f ′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f ′(x)＞0得x＜或x＞2；
由f ′(x)＜0得＜x＜2.
∴x＝2是f (x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．
(2)当m＝6时，f ′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f ′(x)＞0得x＜2或x＞6；
由f ′(x)＜0得2＜x＜6.
∴x＝2是f (x)的极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32.
即函数f (x)的极大值为32.
【例4】解：令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f ′(x)>0；
当－1当x>1时，f ′(x)>0.
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a.
因为方程f (x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2【多维探究】
1．解：　由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
2．解：　由例题可知，要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
3．解：　令f (x)＝，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝.
令f ′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ↗ ↘
因此，x＝e是函数f (x)的极大值点，极大值为f (e)＝，函数f (x)没有极小值点．其图象如图．
∴当0＜a＜时，＝a有两个不同的根；
当a＝或a≤0时，＝a只有一个根；
当a＞时，＝a没有实数根．
达标检测
1．答案：D
解析：由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，
∴x＝2是函数f (x)的极大值点，x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．
2．答案：D
解析：令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．
3．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
4．答案：2ln 2　
解析：f ′(x)＝－，故f ′(e)＝－，
解得f ′(e)＝，所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝－.
由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e.
所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，
故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.

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