资源简介

导数的概念及运算
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
1. 了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2. 能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数． 3. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数． 1.导数的运算． 2.导数的几何意义． 1.数学运算． 2.数学抽象．
二、本节重难点
1.导数的运算
2.导数的几何意义
三、课前自测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．(　　)
2．(多选)下列求导运算正确的有(　　)
A．(sin x)′＝cos x B．′＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
4．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________．
5．(易错题)函数y＝的导函数为________．
四、考点梳理
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x(x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3) ＝ (g(x)≠0)．
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
常见误区
1．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
2．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：＝，(cos x)′＝sin x.
3．求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
五、典例剖析
考点一　导数的运算
角度一　求已知函数的导数
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝ln x＋；
(2)f(x)＝sin ；
(3)y＝3xex－2x＋e.
[方法总结]
[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．　
角度二　求抽象函数的导数值
[例2] 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．
[方法总结]
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝exln x＋－1，则f′(1)＝(　　)
A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e
3．求下列函数的导数：
(1)y＝x(ln x＋cos x)；
(2)y＝；
(3)y＝ln x.
考点二　导数的几何意义
角度一　求切线方程
[例3] (1)(2021·广州调研检测)已知f(x)＝x为奇函数(其中e是自然对数的底数)，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为___________________________．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________________________．
[方法总结]
求曲线切线方程的步骤
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
[注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
角度二　求切点坐标
[例4] 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【变式探究】　(变条件、变问法)本例变为：若曲线y＝xln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．
[方法总结]
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
角度三　已知切线方程(或斜率)求参数
[例5] (1)(2021·西安五校联考)已知函数f(x)＝aex＋b(a，b∈R)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________．
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
[方法总结]
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
[跟踪训练]
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．
2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是________；f(2)＋f′(2)的值为________．
六、随堂训练
1．(2020·江西南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
2．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．
3．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
4．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝.
5．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求点P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
七、本课小结
本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2．答案：AD
解析：因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A，D正确．
3．答案：B
解析：因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，
所以切线的斜率为－2，排除C，D.
又f(1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.
故选B.
4．答案：3　4
解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；
因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.
5．答案：y′＝
解析：y′＝＝.
典例剖析
[例1] 解：(1)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(2)因为f(x)＝sin ＝－sin x，
所以f′(x)＝′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
[例2] 答案：－
解析：因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，
所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，
所以f′(2)＝－.
[跟踪训练]
1．答案：C
解析：由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，
令x＝2，得f′(2)＝－12.
再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.
2．答案：C
解析：由题意，得f′(x)＝(exln x)′－＝exln x＋－，
所以f′(1)＝0＋e－1＝e－1，故选C.
3．解：(1)y′＝ln x＋cos x＋x＝ln x＋cos x－xsin x＋1.
(2)y′＝＝.
(3)y′＝ln x＋·＝.
[例3] 答案：(1)2x－y＝0　(2)x－y－1＝0
解析： (1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，即e＋－－ae＝0.
解得a＝1，所以f(x)＝x，所以f′(x)＝＋x，
所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为2，
又f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的方程为2x－y＝0.
(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，
所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
所以由解得x0＝1，y0＝0.
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
[例4] 答案：(e，e)
解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，
所以切线的斜率k＝ln x0＋1，
由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.
故点P的坐标是(e，e)．
【变式探究】解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，
因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，
所以ln x0＝0，x0＝1，所以y0＝0，即点P(1，0)，
所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
[例5] 答案：　(1)3　(2)(－∞，2)
解析：(1)方法一：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a，又f(0)＝a＋b，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y－(a＋b)＝a(x－0)，即y＝ax＋a＋b.又该切线方程为y＝2x＋1，所以解得，所以a－b＝3.
方法二：由题意，得f′(x)＝aex，则f′(0)＝a.因为函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，所以解得，所以a－b＝3.
(2)由题意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解．
所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以实数a的取值范围是(－∞，2)．
[跟踪训练]
1．答案：y＝2x
解析：设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，
则该切线的斜率k＝|x＝x0＝＋1＝2，解得x0＝1，
所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
2．答案：x＋2y－8＝0　
解析：由题图可得直线l经过点(2，3)和(0，4)，
则直线l的斜率为k＝＝－，
可得直线l的方程为y＝－x＋4，即为x＋2y－8＝0；
由导数的几何意义可得f′(2)＝－，
则f(2)＋f′(2)＝3－＝.
随堂训练
1．答案：1＋e
解析：因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
2．答案：－2　y＝1
解析：因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.
因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，
所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.
此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
3．答案：
解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.
由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，
所以·＝－1，解得a＝.
4．解：(1)因为y＝(1－)＝－＝，
所以y′＝()′－()′＝－－.
(2)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(3)y′＝′＝＝－.
5．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1.
令3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－.
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.

展开更多......

收起↑