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导数与函数的极值、最值
一、考纲分析
课程标准解读 关联考点 核心素养
借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值； 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 导数与函数的极值、最值． 1.逻辑推理． 2.直观想象． 3.数学运算．
二、本节重难点
求闭区间上函数的最大值、最小值
三、课前自测
1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　)
(2)导数为零的点不一定是极值点．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
(5)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
2．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
3．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
4．(易错点)函数g(x)＝－x2的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________．(填“存在”或“不存在”)
5．函数f(x)＝4x－ln x的最小值为________．
四、考点梳理
1．函数的极值与导数
条件 f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
[注意]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
常见误区
1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可直接认为极值就是最值．
3．极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．
五、典例剖析
考点一 函数的极值问题
角度一　由图象判断函数的极值
[例1] 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
[方法总结]
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
角度二　求已知函数的极值
[例2] (2020·高考天津卷改编)已知函数f(x)＝x3＋6ln x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋的单调区间和极值．
[方法总结]
利用导数研究函数极值问题的一般流程
　
角度三　已知函数的极值求参数值(范围)
[例3] (1)(2021·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋aln x在(1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝ln x＋ax2－x，若x＝1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为________．
[方法总结]
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
[注意]　若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
2．已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝________．
3．已知函数f(x)＝ex(－x＋ln x＋a)(e为自然对数的底数，a为常数，且a≤1)．判断函数f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由．
考点二　函数的最值问题
[例4] (2020·高考北京卷节选)已知函数f(x)＝12－x2.设曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值．
[方法总结]
求函数f(x)在[a，b]上最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
[跟踪训练]
1．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　)
A． B．
C．0 D．
2．已知函数f(x)＝3ln x－x2＋x在区间(1，3)上有最大值，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
六、随堂训练
1．函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数
2．f(x)＝ex－x在区间[－1，1]上的最大值为________．
3．(2021·咸阳模拟)已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则＝________．
4．函数f(x)＝(x2－x－1)ex(其e＝2.718…是自然对数的底数)的极值点是________；极大值为________．
5．设函数f(x)＝x2＋1－ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝f(x)－x在区间上的最小值．
七、本课小结
利用导数求函数的极值、最值是高考的热点，由函数的极值、最值求参数范围问题仍是高考的难点，题型各种类型都有，一般难度中等.
参考答案
课前自测
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2．答案：C
解析：因为f(x)＝x4－2x2＋3，
所以由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1.
又当x<－1时，f′(x)<0，
当－10，
当01时，f′(x)>0，
所以x＝0，1，－1都是函数f(x)的极值点．
3．答案：BD
解析：根据导函数的图象可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，
所以函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，
则－3是函数y＝f(x)的极值点，
因为函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，
所以－1不是函数y＝f(x)的最小值点，
因为函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于零，
所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，
故错误的命题为BD.
4．答案：0　不存在
解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．
5．答案：1＋2ln 2
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意知f′(x)＝4－＝.
令f′(x)>0得x>，令f′(x)<0得0所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以当x＝时，函数f(x)有最小值为f＝4×－ln ＝1＋ln 4＝1＋2ln 2.
典例剖析
[例1] 答案：D
解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D.
[例2]解：(1)因为f(x)＝x3＋6ln x，所以f′(x)＝3x2＋.
可得f(1)＝1，f′(1)＝9，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8.
(2)依题意，g(x)＝x3－3x2＋6ln x＋，x∈(0，＋∞)．
从而可得g′(x)＝3x2－6x＋－，整理可得g′(x)＝.
令g′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表所示：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) ? 极小值 ?
所以函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；g(x)的极小值为g(1)＝1，无极大值．
[例3] 答案：(1)(－∞，－1)　(2)ln 2－2
解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－1＋＝，
由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不相等的实数解，且在(1，＋∞)上有解，
所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a<0，
所以a∈(－∞，－1)．
(2)函数f(x)＝ln x＋ax2－x，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax－.
若x＝1是函数f(x)的极大值点，则f′(1)＝0，解得a＝；所以f(x)＝ln x＋x2－x，
f′(x)＝＋x－＝＝；
当f′(x)>0时，02，
函数在(0，1)和(2，＋∞)上单调递增；
当f′(x)<0时，1所以函数在x＝1时有极大值，函数在x＝2时有极小值为f(2)＝ln 2－2.
[跟踪训练]
1．答案：D
解析：因为f(x)＝＋ln x(x>0)，
所以f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，则x＝2.
当02时，f′(x)>0.
所以x＝2为f(x)的极小值点．
2．答案：－7
解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
解得或
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9时满足题意，故a－b＝－7.
3．解：不存在极值点．理由如下：
f′(x)＝ex(ln x－x＋＋a－1)，
令g(x)＝ln x－x＋＋a－1，x∈(1，e)，则f′(x)＝exg(x)，g′(x)＝－<0恒成立，所以g(x)在(1，e)上单调递减，
所以g(x)所以函数f(x)在区间(1，e)内无极值点．
[例4] 解：因为f′(x)＝－2x，则f′(t)＝－2t，又f(t)＝12－t2，
所以曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线方程为y－(12－t2)＝－2t(x－t)，
即y＝－2tx＋t2＋12.若t＝0，则围不成三角形，故t≠0.
令x＝0，得y＝t2＋12，记A(0，t2＋12)，O为坐标原点，
则|OA|＝t2＋12，令y＝0，得x＝，记B，
则|OB|＝，
所以S(t)＝|OA||OB|＝，
因为S(t)为偶函数，所以仅考虑t>0即可．
当t>0时，S(t)＝，
则S′(t)＝＝(t2－4)(t2＋12)，
令S′(t)＝0，得t＝2，
所以当t变化时，S′(t)与S(t)的变化情况如表：
t (0，2) 2 (2，＋∞)
S′(t) － 0 ＋
S(t) ? 极小值 ?
所以S(t)min＝S(2)＝32.
[跟踪训练]
1．答案：A
解析：易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1所以函数y＝在[0，1]上单调递增，在(1，2]上单调递减，
所以y＝在[0，2]上的最大值是y|x＝1＝，故选A.
2．答案：B
解析：f′(x)＝－2x＋a－，
由题设知f′(x)＝－2x＋a－在(1，3)上只有一个零点且单调递减，
则问题转化为即 －随堂训练
1．答案：A
解析：函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋－2＝，令g(x)＝6x2－2x＋1，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
2．答案：e－1
解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0，令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，
则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，
f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，
所以f(1)>f(－1)．所以最大值为e－1.
3．答案：1
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c；
根据题图知，x＝－1，2是f(x)的两个极值点，
所以x＝－1，2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两个实数根，
根据根与系数的关系得，
所以2b＝－3a，c＝－6a，
所以＝＝＝1.
4．答案：1或－2　
解析：由已知得f′(x)＝(x2－x－1＋2x－1)ex＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex，
因为ex>0，令f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝1，
当x<－2时f′(x)>0，即函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增；
当－2当x>1时，f′(x)>0，即函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故f(x)的极值点为－2或1，且极大值为f(－2)＝.
5．解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－，
由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由题意知g(x)＝x2＋1－ln x－x，g′(x)＝2x－－1＝，由g′(x)>0，得x>1，由g′(x)≤0，得0所以g(x)在上单调递减，在(1，2)上单调递增，
所以在区间上，g(x)的最小值为g(1)＝1.

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