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第四章 数列章末复习
[知识体系]
[题型突破]
题型一　求数列的通项公式
【例1】　(1) 已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝(　　)
A．2n B．2n＋1 C． D．
(2) 已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
反思感悟
数列通项公式的求法
1 定义法.直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
2 已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解.
3 累加或累乘法.形如an－an－1＝f n n≥2 的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f n n≥2 的递推式，可用累乘法求通项公式.
4 构造法.如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋n}为等比数列，再求解得通项公式.
跟踪训练
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，求数列的通项公式an.
题型二　等差、等比数列的基本运算
【例2】　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[思路探究]　
(1)利用方程思想求出首项和公比，从而得通项公式；
(2)同样利用方程思想求首项和公差，最后求和Sn.
[反思感悟]
在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d 或q ，Sn，其中a1和d 或q 为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d q ，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差 比 数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
跟踪训练
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
题型三 等差、等比数列的判定
【例3】　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝，求证：{cn}是等差数列．
[思路探究]　分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．
反思感悟
等差数列、等比数列的判断方法
1 定义法：an＋1－an＝d 常数 {an}是等差数列；＝q q为常数，q≠0 {an}是等比数列.
2 中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；a＝an·an＋2 an≠0 {an}是等比数列.
3 通项公式法：an＝kn＋b k，b是常数 {an}是等差数列；an＝c·qn c，q为非零常数 {an}是等比数列.
4 前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn A，B为常数，n∈N* {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N* {an}是等比数列.
提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.②若要判定一个数列不是等差 比 数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差 比 即可.
跟踪训练
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋＋…＋<.
题型四　等差、等比数列的性质
【例4】　(1)(多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有(　　)
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
(2)(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 019a2 020>1，<0，下列结论正确的是(　　)
A．S2 019C．T2 020是数列{Tn}中的最大值 D．数列{Tn}无最大值
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
反思感悟
解决等差、等比数列有关问题的几点注意
1 等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
2 对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
3 注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
4 当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.
跟踪训练
4．(1)已知{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值．
(2)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
题型五　数列求和
[探究问题]
1．若数列{cn}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn＋bn，如何求数列{an}的前n项和？
[提示]　数列{an}的前n项和等于数列{cn}和{bn}的前n项和的和．
2．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：12－22＋32－42＋…＋992－1002.
[提示]　12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5 050.
3．我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
[提示]　由＝－得 ＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
【例5】　已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和．
[思路探究]　
(1)已知Sn，据an与Sn的关系an＝确定an；
(2)若{an}为等比数列，则{nan}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，可用错位相减法求和．
多维探究
1．例题中的条件不变，(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列{n＋an}的前n项和Tn”．
2．例题中的条件不变，将(2)中“求数列{nan}的前n项和Tn”变为“求数列的前n项和Tn”．
3．例题第(2)问中，设Sn是数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
反思感悟
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解. 一般常见的求和方法有：
1 公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式.
2 分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
3 裂项 相消 法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
4 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
5 倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导.
参考答案
题型突破
【例1】(1)答案：A
解析：法一：由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，而＝a10＞0，所以q＞1，an＞0.由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)．由a＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2.因此an＝2n.
法二：由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，而＝a10＞0，所以an＞0，q＞1.由条件得2＝5，即2＝5，解得q＝2.又由a＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n.]
(2)解：法一：由题意得an＝3an－1＋4＝3(3an－2＋4)＋4＝32an－2＋3×4＋4＝33an－3＋32×4＋3×4＋4＝…＝3n－1a1＋3n－2×4＋3n－3×4＋…＋3×4＋4＝3n－1＋＝3n－1＋2(3n－1－1)＝3n－2.
法二：∵an＋1＝3an＋4，∴an＋1＋2＝3(an＋2)．
令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，则bn＝3n，∴an＝3n－2.
法三：∵an＋1＝3an＋4， ①
∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②
①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．
∵a2－a1＝3＋4－1＝6，
∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，即an＋1－an＝6×3n－1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2.
跟踪训练
1．解：　由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2(n－1)－an－1]＝－an＋2＋an－1，所以an＝an－1＋1，即an－2＝(an－1－2)．
令bn＝an－2，则bn＝bn－1，且b1＝1－2＝－1，
于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，
所以bn＝－1×＝－，故an＝2－.
【例2】解：(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，
则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有解得
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和
Sn＝＝6n2－22n.
跟踪训练
2．解：　(1)∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，
∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.
(2)由a1＝－10，d＝2，得：Sn＝－10n＋×2＝n2－11n＝－，
∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.
【例3】证明：(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以－＝3.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
跟踪训练
3．解：　(1)由an＋1＝3an＋1得
an＋1＋＝3.
因为a1＋＝，
所以是首项为，公比为3的等比数列．
所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.
(2)证明：由(1)知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.
所以＋＋…＋<.
【例4】答案：(1)BC　(2)AB　(3)5
解析： (1)由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，
S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8不是定值．故选BC.
(2)当q＜0时，a2 019a2 020＝aq＜0，不成立；
当q≥1时，a2 019≥1，a2 020＞1，＜0不成立；
故0＜q＜1，且a2 019＞1，0＜a2 020＜1，故S2 020＞S2 019，A正确；
a2 019a2 021－1＝a－1＜0，故B正确；
T2 019是数列{Tn}中的最大值，CD错误；故选AB.
(3)由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝a＝4 a3＝2，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log2a＝5log22＝5.
跟踪训练
4．解：　(1)因为数列{an}为等比数列，
∴a2a4＝a，a4a6＝a，
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，而an＞0，
故a3＋a5＝5.
(2)根据数列{an}为等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，
即48，60－48，S3n－60，…成等比数列，
∴48×(S3n－60)＝122，
解得S3n＝63.
【例5】解：　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)，
则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，
＝＝c3＝8，
∴c＝2.
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，解得k＝2，
∴an＝2n.
当n＝1时，a1＝S1＝2.
综上所述，an＝2n(n∈N*)．
(2)nan＝n·2n，
则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.
多维探究
1．解：由例题解析知Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n)
＝＋
＝2n＋1－2＋.
2．解：由例题解析知Tn＝＋＋＋…＋， ①
Tn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得：
Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－＝2－.
3．解：由(1)知an＝2n，
∴Sn＝＝＝2n＋1－2.
因为bn＝＝＝－，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝－＝.

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