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第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
教学设计
一、教学目标
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
二、教学重难点
1、教学重点
用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
2、教学难点
三角函数的实际应用.
三、教学过程
1、新课导入
前面我们学习了三角函数的概念及有关性质，那么三角函数在现实生活中有哪些实际应用呢？这节课我们就来学习一下三角函数的应用.
2、探索新知
知识点 简谐运动
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的运动称为“简谐运动”.
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数，表示，其中，.
（1）振幅：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大位置.
（2）周期：，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
（3）频率：，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
（4）相位：；时的相位称为初相.
匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以借助三角函数近似地描述.
例题点拨
例1 如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数.
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是.
（2）由图可以看出，从6~14时的图象是函数的半个周期的图象，所以，.
因为，所以.
将，，，，代入函数解析式，可得.
综上，所求解析式为，.
例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
0:00 5.0 9:18 2.5 18:36 5.0
3:06 7.5 12:24 5.0 21:42 2.5
6:12 5.0 15:30 7.5 24:00 4.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值（精确到0.001m）.
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船这一天何时能进入港口？在港口能待多久？
（3）某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少.如果这条船一直卸货，那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等.为了安全，这条船需要在这一时刻前至少0.4h停止卸货并驶离港口，那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口？
解：（1）以时间x（单位：h）为横坐标，水深y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如图.
根据图象，可以考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系，从数据和图象可以得出：，，，；
由，得.
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数近似描述.
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值如下表：
时刻 0:00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00
水深/m 5.000 6.213 7.122 7.497 7.245 6.428 5.253 4.014
时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00
水深/m 3.023 2.529 2.656 3.372 4.497 5.748 6.812 7.420
时刻 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00
水深/m 7.420 6.812 5.748 4.497 3.372 2.656 2.529 3.023
(2）货船需要的安全水深为，所以当时就可以进港.
令，.
由计算器可得
如图，在区间]内，函数的图象与直线有两个交点A，B，因此，或.
解得，.
由函数的周期性易得：，.
因此，货船可以在零时30分左右进港，5时45分左右出港；或在13时左右进港，18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
（3）设在x h时货船的安全水深为y m，那么.
在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象如图，可以看到在6~8时之间两个函数图象有一个交点.
借助计算工具，用二分法可以求得点P的坐标约为，因此为了安全，货船最好在6.6时之前停止卸货并驶离港口.
3、课堂练习
1.已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为( )
A.60 B.70 C.80 D.90
答案：C
解析：由函数解析式易知周期为，故频率即为每分钟心跳的次数，为80.故选C.
2.如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题图得，，，，又函数图象过点，则，，取，.故选C.
3.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：（单位：美元，t为天数，，），现采集到下列信息：最高油价80美元，当时，油价最低，则A的值为__________，的最小值为_______________.
答案：20；
解析：由得，因为当时油价最低，所以，，即，又，所以当时，取得最小值，此时.
4、小结作业
小结：本节课学习了三角函数的应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.7 三角函数的应用
1.简谐运动：简谐运动可以用函数，表示，其中，.
（1）振幅：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大位置.
（2）周期：，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
（3）频率：，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
（4）相位：；时的相位称为初相.
2.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律.
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