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题型归纳：成对数据的统计分析
题型1 相关关系的判断
【例1】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
【例2】某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均销售额 6 5 8 3 4 7
利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是(　　)
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
【跟踪训练1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【跟踪训练2】在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A．－1 B．0
C. D.1
【跟踪训练3】变量X与Y相应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2C．r2<0【方法总结】
判断相关关系的2种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.
题型2 回归分析
【例1】越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：
周数x 6 5 4 3 2 1
正常值y 55 63 72 80 90 99
(1)作出散点图；
(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋(精确到0.01)；
(3)根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？
其中＝，iyi＝1 452，＝91，＝－.
【例2】为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构统计得到如下数据：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校数y/百个 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
(1)根据表中数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱(已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|<0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱)；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数(精确到个)．
参考公式及数据：r＝，
(xi－)2＝10，(yi－)2＝1.3，≈3.605 6，
＝，＝－.
【跟踪训练1】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为＝1.16x－30.75，以下结论中不正确的为(　　)
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为190厘米的人臂展为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
【跟踪训练2】互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
1日 2日 3日 4日 5日
外卖甲日接单x/百单 5 2 9 8 11
外卖乙日接单y/百单 2 3 10 5 15
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；
②经计算求得y与x之间的回归方程为＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)．
相关公式：r＝.
参考数据：(xi－)(yi－)＝66，
≈77.
【方法总结】
一、线性回归分析问题的类型及解题方法
1．求线性回归方程
(1)利用公式，求出回归系数，.
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
2．利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
3．利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数.
二、模型拟合效果的判断
(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)相关指数R2越大，模型的拟合效果越好．
(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
题型3 独立性检验
【例1】中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．
乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
月收入 [0,3) [3,6) [6,9) [9,12) [12,15]
户数 38 27 24 9 2
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关.
幸福指数低 幸福指数高 总　计
甲小区租户
乙小区租户
总　　计
附：临界值表
P(K2≥k) 0.10 0.010 0.001
k 2.706 6.635 10.828
参考公式：K2＝.
【跟踪训练1】某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：
认为作业量大 认为作业量不大 总计
男生 18 9 27
女生 8 15 23
总计 26 24 50
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，P(K2≥6.635)≈0.010.
则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．
【跟踪训练2】为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；
(2)把年龄在[15,45)的居民称为中青年，年龄在[45,65]的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？
电子阅读 纸质阅读 总计
中青年
中老年
总计
附：
P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
K2＝.
【方法总结】
2个明确 (1)明确两类主体； (2)明确研究的两个问题
2个关键 (1)准确画出2×2列联表； (2)准确求解K2
3个步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式K2＝，计算K2的值； (3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断
参考答案
题型1 相关关系的判断
【例1】答案：C
解析：由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x与y负相关，u与v正相关．
【例2】答案：A
解析：画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系，故选A.
【跟踪训练1】
答案：C
解析：因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，
故x与y负相关．
因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，
则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．
【跟踪训练2】
答案：D
解析：所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为1，
故选D.
【跟踪训练3】
答案：C
解析：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；
对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，
故选C.
题型2 回归分析
【例1】解：(1)
(2)＝×(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，＝×(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，
＝267.75，＝≈－8.83，＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，
∴线性回归方程为＝－8.83x＋107.41.
(3)≈1.14>1.12，∴该学生需要进行心理疏导．
【例2】解：(1)＝2 016，＝1，
r＝
＝＝>0.75，
∴y与x线性相关性很强．
(2)＝＝＝0.36，
＝－＝1－0.36×2 016＝－724.76，
∴y关于x的线性回归方程是＝0.36x－724.76.
当x＝2019时，＝0.36×2019－724.76＝2.08，
即A地区2019年足球特色学校约有208个．
【跟踪训练1】
答案：D
解析：对于选项A,15名志愿者臂展的最大值大于身高，而最小值小于身高，所以身高的极差小于臂展的极差，故A正确；
对于选项B，由左下到右上，为正相关，正确；
选项C就是把x＝190代入回归方程得到预估值189.65，正确；
而对于选项D，相关关系不是确定的函数关系，所以选项D说法不正确，故选D.
【跟踪训练2】
解：(1)由题可知＝＝7(百单)，
＝＝7(百单)．
外卖甲的日接单量的方差s＝10，外卖乙的日接单量的方差s＝23.6，
因为＝，s(2)①计算可得，相关系数r≈≈0.857>0.75，
所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．
②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，解得x≥20.02，
又20.02×100×3＝6 006，
所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元.
题型3 独立性检验
【例1】解：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，
甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060＋0.160)×3＝0.66，
故P(A)的估计值为0.66.
乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为＝0.35，
故P(B)的估计值为0.35.
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，
事件M的概率的估计值为P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.
(2)设甲小区所抽取的100户的月收入的中位数为t，
则0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，
解得t＝5.
(3)设H0：幸福指数与租住的小区无关，
幸福指数低 幸福指数高 总　计
甲小区租户 66 34 100
乙小区租户 38 62 100
总　　计 104 96 200
根据2×2列联表中的数据，
得到K2的观测值k＝≈15.705>10.828，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关．
【跟踪训练1】
答案：有
解析：因为K2＝≈5.059＞5.024，
所以有97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．
【跟踪训练2】
解：(1)由题中频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，
解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为
20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2列联表为
电子阅读 纸质阅读 总计
中青年 90 20 110
中老年 60 30 90
总计 150 50 200
由表中数据，得K2＝≈6.061>5.024，
所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．

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