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4.1　数列的概念(2)
【学习目标】
1.理解递推公式的含义.
2.掌握递推公式的应用.
3.会用an与Sn的关系求通项公式.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P5～7，思考并完成以下问题
(1)什么叫数列的递推公式？
(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？
(3)什么是数列的前n项和？什么是数列的前n项和公式？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． (　　)
(2)有些数列可能不存在最大项． (　　)
(3)递推公式是表示数列的一种方法． (　　)
(4)所有的数列都有递推公式． (　　)
2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　)
A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2020的值为(　　)
A． B．－1 C．2 D．1
4．已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式an＝________.
三、新知探究
1．数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
思考：所有数列都有递推公式吗？
[提示]　不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
[提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
3．数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为
an＝
四、题型突破
题型一 由递推公式求数列中的项
【例1】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
【反思感悟】
由递推公式写出数列的项的方法
1 根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
2 若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
3 若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.
【跟踪训练】
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．
题型二　数列的单调性
【例2】　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
[思路探究]　判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式．
【反思感悟】
求数列{an}的最大 小 项的方法
一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.
二是设ak是最大项，则有对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可.
【跟踪训练】
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
题型三　利用an＝求通项
【例3】　根据下列数列的前n项和Sn求通项an.
(1)Sn＝2n2－n＋1；
(2)Sn＝2·3n－2.
[思路探究]　先写出n≥2时，an＝Sn－Sn－1表达式，再求出n＝1时a1＝S1，验证是否适合n≥2时表达式．如果适合则an＝Sn－Sn－1(n∈N*)，否则an＝
【反思感悟】
用an与Sn的关系求an的步骤
1 先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
2 再利用Sn求出a1 a1＝S1 ；
3 验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
4 写出数列的通项公式.
【跟踪训练】
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an.
题型四 根据递推公式求通项
[探究问题]
1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
[提示]　由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N*，n≤30)．
2．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
[提示]　等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝1＋2(n－1)＝2n－1.
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1···…·＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3，＝2，则它的通项an是什么？
[提示]　等式a1···…·＝an成立．
按照＝2可得＝2，＝2，＝2，…，＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得···…·＝2·2·…·2.
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N*)．
【例4】　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an.
[思路探究]　(1)先将an＋1＝an＋变形为an＋1－an＝，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解．
(2)先将an＝an－1(n≥2)变形为＝，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．
【多维探究】
1．(变条件)将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”，求数列{an}的通项公式．
2．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
【反思感悟】
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f n 或an＋1＝g n ·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
1 累加法：当an＝an－1＋f n 时，常用an＝ an－an－1 ＋ an－1－an－2 ＋…＋ a2－a1 ＋a1求通项公式；
2 累乘法：当＝g n 时，常用an＝··…··a1求通项公式.
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
五、达标检测
1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列的通项公式an＝(　　)
A．3n＋1　 B．3n　　　C．3n－2　　　D．3(n－1)
3．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求an.
六、本课小结
1．数列的四种表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
2．通项公式和递推公式的区别
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
3．数列通项公式的求法
(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)；
(4)利用an与Sn关系，即an＝
参考答案
课前小测
1．提示：并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式．
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．答案：C
解析：∵an＋1＝an＋，a1＝1，∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝×1＋＝.故选C.
3．答案：C
解析：由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，….
而2 020＝673×3＋1，
故a2 020＝a1＝2.
4．答案：
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，所以通式公式an＝
题型突破
【例1】解析：
(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.
【跟踪训练】
1．解析：∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝.
故该数列的前5项为1，，，，.
【例2】解析：
法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×.
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
＝＝.
又an＞0，
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
即
解得即5≤n≤6.
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.
【跟踪训练】
2．解析：
(1)令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8.又n∈N*，所以n＝1，2，3，…，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．
(2)函数y＝x2－7x－8图象的对称轴为直线x＝，所以当1≤x≤3时，函数单调递减；当x≥4时，函数单调递增，所以数列{an}有最小项，又a3＝a4＝－20，所以数列{an}的最小项为a3或a4.
【例3】解析：
(1)由Sn＝2n2－n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3.
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3.
∴an＝
(2)由Sn＝2·3n－2，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝2·3n－2－(2·3n－1－2)
＝4·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，
∴an＝4·3n－1(n∈N*)．
【跟踪训练】
3．解析：根据条件可得Sn＝2n＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n－1－1
＝2n－1(2－1)＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1，
∴an＝
【例4】解析：
(1)∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝.
以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝.
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
【多维探究】
1．解析：∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋
＝2＋＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*).
2．解析：　由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.
达标检测
1．答案：C
解析：A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．
2．答案：C
解析：根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出an＝3n－2.故选C.
3．答案：
解析：先求出数列的周期，再进一步求解首项．
∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
4．解析：由题意得an＋1－an＝ln ，
∴an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
…，
a2－a1＝ln .
∴当n≥2时，an－a1＝ln＝ln n，∴an＝2＋ln n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴an＝2＋ln n(n∈N*)．

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