资源简介

4.2.1等差数列(2)
【学习目标】
1.掌握等差数列的有关性质.
2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P16～17，思考并完成以下问题
(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？
(2)等差数列的运算性质是什么？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　)
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　　)
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　)
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等． (　　)
2．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12的差为(　　)
A．20　 B．22　　　C．24　　　D．26
3．已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　)
A．4 B． C．－4 D．－
4．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末位数为2019，则该数列的首项为________．
5．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.
三、新知探究
1．等差数列的图象
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是一个固定常数；当d≠0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
思考：由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？
[提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝.
2．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
思考：若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
[提示]　不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
四、题型突破
题型一 灵活设元解等差数列
【例1】　已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是否为该数列的项．
[思路探究]　前三项可以设为a－d，a，a＋d，也可以直接用“通法”解决．
【反思感悟】
等差数列的设项方法与技巧
1 当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程求出a1和d，即可确定数列.
2 当已知数列有2n项时，可设为a－ 2n－1 d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋ 2n－1 d，此时公差为2d.
3 当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－ n－1 d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋ n－1 d，a＋nd，此时公差为d.
【跟踪训练】
1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
题型二　等差数列的实际应用
【例2】　某公司2017年生产一种数码产品，获利200万元，从2018年起，预计其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果该公司不研发新产品，也不调整经营策略，试计算从哪一年起，该公司生产这一产品将出现亏损？
[思路探究]　根据条件可以构造等差数列，由条件可知首项和公差都已知，利用等差数列解决该问题．
【反思感悟】
解决等差数列实际问题的基本步骤
1 将已知条件翻译成数学 数列 问题；
2 构造等差数列模型 明确首项和公差 ；
3 利用通项公式解决等差数列问题；
4 将所求出的结果回归为实际问题.
【跟踪训练】
2．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
题型三　利等差数列的性质
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，若an＝3n＋1，那么a1＋a5＝a2＋a4吗？a2＋a5＝a3＋a4成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？
[提示]　由an＝3n＋1可知a1＋a5＝a2＋a4与a2＋a5＝a3＋a4均成立，由此有若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
对于任意等差数列{an}，设其公差为d.
则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1＋(p＋q－2)d，
因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq对任意等差数列都适用．
2．在等差数列{an}中，如果m＋n＝2r，那么am＋an＝2ar是否成立？反过来呢？
[提示]　若m＋n＝2r(m，n，r∈N*)，则am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝2a1＋(2r－2)·d＝2[a1＋(r－1)d]＝2ar，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2ar，不一定有m＋n＝2r，如常数列．
3．已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则：
(1)若将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？
(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？
(3)如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？
[提示]　(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为d，(2)中的公差为2d，(3)中的公差为7d.
【例3】　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　)
A．32　 B．27　　　C．24　　　D．16
(2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________．
[思路探究]　(1)运用“m＋n＝p＋q则am＋an＝ap＋aq”求解．
(2)考虑两个方程都具备特点“两根之和是2”，结合根与系数的关系求解．
【多维探究】
1．本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.
2．本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8.
【反思感悟】
等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质：
1 若m＋n＝p＋q m，n，p，q∈N* ，则am＋an＝ap＋aq其中am，an，ap，aq是数列中的项.该性质可推广为：
若m＋n＋z＝p＋q＋k m，n，z，p，q，k∈N* ，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak.
2 若m＋n＝2p m，n，p∈N* ，则am＋an＝2ap.
五、达标检测
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5　 B．8　　　C．10　　　D．14
2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
4．已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________.
5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
六、本课小结
1．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
2．数列{an}是公差为d的等差数列
(1)an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用．
(2)若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq.
特别地：①若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak.
②若{an}为有穷等差数列，则与首末两项“等距”的两项之和等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ak＋an－k＋1＝….
3．下标(项的序号)成等差数列，且公差为m的项：ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．如a1，a3，a5，…组成公差为2d的等差数列；a3，a8，a13，…，a5n－2，…组成公差为5d的等差数列．
4．若{an}为等差数列，则a1＋a2＋a3＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m，…仍为等差数列，且公差为m2d.
参考答案
课前小测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
提示：(1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
2．答案：C
解析：∵{an}为等差数列，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，
∴a4＋a12＝a6＋a10＝2a8，
a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，
∴a8＝24，
则2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝24.
3．答案：A
解析：由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝＝4.
4．答案：1
解析：设该数列首项为x，根据条件可知，＝1 010，解得x＝1.
5．答案：15
解析：由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，
又∵a4＝1，∴a12＝15.
题型突破
【例1】解：
法一：设该等差数列的前三项为a－d，a，a＋d，
则(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18.
解得a＝6.
又前三项的乘积为66.
∴6×(6＋d)(6－d)＝66，
解得d＝±5.
由于该数列单调递减，所以d＝－5，且首项为11，所以通项公式为an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16.
令－5n＋16＝－34，解得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
法二：依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d＜0.故a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)×(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
【跟踪训练】
1．解：　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
由已知有
整理得
解得a＝1，d＝±.
当d＝时，这5个数分别是－，，1，，；
当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
【例2】解：记2017年为第1年，由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当an＜0时，该公司生产此产品将出现亏损．
设第n年的利润为an，因为a1＝200，公差d＝－20，
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
由题意知数列{an}为递减数列，令an＜0，即220－20n＜0，解得n＞11，
即从第12年起，也就是从2028年开始，该公司生产此产品将出现亏损．
【跟踪训练】
2．答案：23.2
解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
【例3】答案：(1)C　(2)
解析：(1)法一：设等差数列{an}公差d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8，
所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24.
法二：在等差数列中，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7.
又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5.
∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24.
(2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，则b＝2－＝.
根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和，
∴这个等差数列的顺序为，c，d，. 则c＝，d＝.
∴m＝ab＝，n＝cd＝.
∴|m－n|＝＝.
【多维探究】
1．解：
法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10.
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，
所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝.
所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32.
2．解：
法一：∵在等差数列{an}中
a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，
∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450.
解得a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.根据an＝a1＋(n－1)d，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450.
∴a1＋4d＝90.
而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180.
达标检测
1．答案：B
解析：由a3＋a5＝a1＋a7可得a7＝10－2＝8.
2．答案：A
解析：由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
3．答案：A
解析：∵a2＋a8＝2a5，∴a2＋a5＋a8＝3a5＝9，
∴a5＝3.方程中Δ＝(a4＋a6)2－4×10＝(2a5)2－40＝(2×3)2－40＝－4＜0.
∴方程无实根．
4．答案：18
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，
∴a7＝.
又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7.
故d＝＝＝.
∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，
∴13－7＝(k－9)×，∴k＝18.
5．解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4.

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