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4.2.2　等差数列的前n项和公式(2)
【学习目标】
1. 会求等差数列前n项和的最值．
2. 掌握等差数列前n项和的性质及应用.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P23～24，思考并完成以下问题
1．等差数列前n项和公式可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d＝0时)，反过来，如果一个数列的前n项和是关于n的一元二次函数，那么该数列一定是等差数列吗？
2．在项数为2n或2n＋1的等差数列中，奇数项的和与偶数项的和存在什么样的关系？二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列． (　　)
(2)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列． (　　)
(3)若等差数列的项数为偶数2n，则S偶－S奇＝nd． (　　)
2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
3．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于(　　)
A．66 B．99 C．144 D．297
4．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.
5．已知{an}为等差数列，a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99.求a10＋a11＋a12的和．
三、新知探究
1.等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
(2)数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
思考：如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？
[提示]　(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)
＝＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.
∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…也成等差数列，a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…也成等差数列．
(4)在等差数列{an}中，数列为等差数列．
2．等差数列前n项和Sn的最值
(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
思考：我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？
[提示]　由二次函数的性质可以得出：当a1<0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
四、题型突破
题型一 “片段和”的性质
【例1】　在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[思路探究]　(1)可利用方程(组)思想求解．
(2)可利用性质求解，如看作{an}中，依次取10项的和所得新数列前11项的和求解．
【反思感悟】
方法一属于通性通法；
方法二使用Sn和an之间的关系；
方法三使用前n项和“片段和”的性质；
方法四使用性质“也是等差数列”；
方法五利用前n项和可用Sn＝An2＋Bn表示的特点.
这五种解法从不同角度应用了等差数列的性质，并灵活选用前n项和公式，使问题快速得到解决.
【跟踪训练】
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
题型二　等差数列前n项和Sn的函数特征
[探究问题]
1．Sn＝An2＋Bn的函数特征怎样？
[提示]　(1)当A＝0，B＝0时(此时a1＝0，d＝0)，Sn＝0，此时Sn是关于n的常数函数；
(2)当A＝0，B≠0时，Sn＝Bn，此时Sn是关于n的一次函数(正比例函数)；
(3)当A≠0，B＝0时，Sn＝An2，此时Sn是关于n的二次函数；
(4)当A≠0，B≠0时，Sn＝An2＋Bn，此时Sn是关于n的二次函数．
2．已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，试画出Sn关于n的函数图象．你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？
[提示]　Sn＝n2－5n＝－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{an}前n项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn最小，最小值为－6，即数列{an}前2项或前3项和最小．
【例2】　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2，
(1)求{an}的通项公式；
(2)则{an}的前多少项和最大？
[思路探究]　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项．
(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．
【多维探究】
1．将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n项和Sn的最大值．
2．本例中条件不变，令bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
【反思感悟】
1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)值．
(2)借助二次函数的图象及性质求最值．
2．寻求正、负项分界点的方法
(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找．
(2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)图象的对称轴距离最近的一侧的一个整数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．
3．求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题．
题型三　有限项等差数列前n项和的性质及比值问题
[探究问题]
1．在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在哪些关系？
[提示]　∵S偶＝＝＝nan＋1，
S奇＝＝＝nan，
∴S偶－S奇＝n(an＋1－an)＝nd.
＝.
2．在等差数列{an}中，若项数有2n＋1项，S奇与S偶具有什么关系？
[提示]　∵S奇＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝＝nan＋1，
∴S奇－S偶＝(n＋1)an＋1－nan＋1＝an＋1，
＝.
3．若数列{an}，{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn，Tn，那么怎么用前n项和形式表示？
[提示]　＝＝＝.
【例3】　(1)数列{an}，{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．
[思路探究]　(1)利用＝.
(2)利用S偶－S奇＝nd(项数为2n项时)．
【多维探究】
1．(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求＋的值．
2．(变结论)在本例(1)条件不变时，求的值．
3．(变条件、变结论)把本例(1)中条件变为“＝”，求的值．
【反思感悟】
等差数列前n项和计算的两种思维方法
1 整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解.
2 待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn A≠0 ，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b a≠0 进行计算.
五、达标检测
1．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
3．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________．
4．若数列{an}的通项公式an＝43－3n，则Sn取得最大值时，n＝(　　)
A．13 B．14 C．15 D．14或15
5．等差数列{an}的公差d＝，且S100＝145，求a1＋a3＋a5＋…＋a99.
六、本课小结
1．在有关数列的计算中，恰当地运用性质可以减少运算量，若不能直接运用性质，基本量法是最常用的方法之一．利用基本量，并树立目标意识，需要什么，就求什么，充分合理地运用条件，时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质解题相同的效果，从而提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻性．
2．等差数列前n项和的常用性质
(1)数列{an}为等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为原公差的k2倍．
(3)若等差数列{an}的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝；若项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，＝.
(4)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
(5)若Sm＝Sn(m≠n)，则Sm＋n＝0；若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为原公差的.
3．(1)若d＞0，则在等差数列{an}中有an－an－1＝d＞0，即an＞an－1(n≥2)，所以数列单调递增．
当a1≥0时，有Sn＞Sn－1(n≥2)，即S1＜S2＜S3＜…＜Sn－1＜Sn＜…，所以Sn的最小值为S1；
当a1＜0时，则一定存在某一自然数k，使a1＜a2＜a3＜…＜ak≤0＜ak＋1＜ak＋2＜…＜an＜…(或a1＜a2＜a3＜…＜ak＜0≤ak＋1＜ak＋2＜…＜an＜…)，则Sn的最小值为Sk.
(2)若d＜0，则在等差数列{an}中有an－an－1＝d＜0，即an＜an－1(n≥2)，所以数列单调递减．
当a1＞0时，则一定存在某一自然数k，使a1＞a2＞a3…＞ak≥0＞ak＋1＞ak＋2＞…＞an＞…(或a1＞a2＞a3＞…＞ak＞0≥ak＋1＞ak＋2＞…＞an＞…)，则Sn的最大值为Sk；当a1≤0时，有Sn＞Sn＋1，即S1＞S2＞S3＞…＞Sn＞Sn＋1＞…，所以Sn的最大值为S1.
4．数列{|an|}的前n项和的四种类型及其求解策略
(1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解．
(2)等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理．
(3)等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理．
(4)等差数列{an}的各项均为负数，则{|an|}的前n项和为{an}前n项和的相反数．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√
2．答案：B
解析：∵＝，∴＝.∴n＝10.故选B项．
3．答案：B
解析：在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，
∴a2＋a5＋a8＝＝33.
∴S9＝(a1＋a4＋a7)＋(a2＋a5＋a8)＋(a3＋a6＋a9)＝39＋33＋27＝99
4．答案：15
解析：由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得S6＝15.
5．解：在等差数列{an}中，{an＋an＋1＋an＋2}也成等差数列，设公差为D，
∵a1＋a2＋a3＝105，a2＋a3＋a4＝99.
∴D＝99－105＝－6.
∴a10＋a11＋a12＝105＋(10－1)×(－6)＝51.
题型突破
【例1】解：
法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝－110.
法二：∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝－90，
∴a11＋a100＝－2.
又∵a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
∴S110＝＝－110.
法三：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，
∴设公差为d，数列前100项和为10×100＋d＝10，解得d＝－22.
∴前110项和S110＝11×100＋d＝11×100＋10××(－22)＝－110.
法四：设数列{an}的公差为d，由于Sn＝na1＋d，
则＝a1＋(n－1)．
∴数列是等差数列，其公差为.
∴－＝(100－10)×，
且－＝(110－100)×.
代入已知数值，消去d，可得S110＝－110.
法五：令Sn＝An2＋Bn.
由S10＝100，S100＝10，
∴解得
∴S110＝1102A＋110B＝1102×＋110×＝－110.
【跟踪训练】
1．解：在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30，70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
【例2】解：
(1)法一：(公式法)
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，
又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.
故{an}的通项公式为an＝34－2n.
法二：(结构特征法)
由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知
解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.
(2)法一：(公式法)
令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，
故数列{an}的前17项大于或等于零．
又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
法二：(函数性质法)
由y＝－x2＋33x的对称轴为x＝，
距离最近的整数为16，17.由Sn＝－n2＋33n的图象可知：
当n≤17时，an≥0，当n≥18时，an<0，
故数列{an}的前16项或前17项的和最大．
【多维探究】
1．解：
法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d
＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：同法一，求出公差d＝－2.
∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
∵a1＝25>0，
由
得
又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法三：∵S9＝S17，
∴a10＋a11＋…＋a17＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
∵a1>0，∴d<0.∴a13>0，a14<0.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
2．解：由数列{an}的通项公式an＝34－2n知，当n≤17时，an≥0；
当n≥18时，an<0.
所以当n≤17时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.
当n≥18时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)
＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn
＝n2－33n＋544.
故Tn＝
【例3】答案：(1)A　(2)5
解析：
(1) 因为数列{an}，{bn}均为等差数列，且Sn，Tn分别为它们的前n项和，
∴＝＝＝＝＝.
(2)法一：根据题意知，偶数项的和比奇数项的和多，其值为6d，
则d＝[354×(32－27)÷(32＋27)]÷6＝5.
法二：设偶数项的和为x，奇数项的和为y，
则解得
∴6d＝192－162＝30，∴d＝5.
法三：由题意知
由①知6a1＝177－33d，将此式代入②得
(177－3d)·32＝(177＋3d)·27，
解得d＝5.
【多维探究】
1． 解：　∵b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，
∴原式＝＝＝＝＝.
2． 解：　由条件，令Sn＝kn(3n＋2)，Tn＝2kn2.
∴an＝(6n－1)k，bn＝(4n－2)k
∴＝＝.
3．解：　＝＝＝＝＝＝.
达标检测
1．答案：B　
解析：a1＋a2＋a3＝3a2＝－24 a2＝－8，
a18＋a19＋a20＝3a19＝78 a19＝26，
于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.
2．答案：C
解析：由题知S偶－S奇＝5d，
∴d＝＝3.
3．答案：75
解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3.
所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，
所以是公差为1，首项为3的等差数列，
所以前10项和为3×10＋×1＝75.
4．答案：B
解析：由数列{an}的通项公式an＝43－3n，
可得该数列为递减数列，且公差为－3，a1＝40，
∴Sn＝＝－n2＋n.
考虑函数y＝－x2＋x，易知该函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为直线x＝.
又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故Sn取得最大值时，n＝14.
5．解：令a1＋a3＋a5＋…＋a99＝A.
a2＋a4＋a6＋…＋a100＝B.
那么
解得B＝85，A＝60，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60.

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