资源简介

5.2导数的运算(2)
【学习目标】
1．了解复合函数的概念．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P78～81，思考并完成以下问题
(1) 复合函数的定义是什么，
(2) 复合函数的求导法则是什么？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　)
(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝． (　　)
(3)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x． (　　)
2．函数y＝的导数是(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．下列对函数的求导正确的是(　　)
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos，则y′＝sin
D．y＝22x－1，则y′＝22xln 2
三、新知探究
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示]　函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
四、题型突破
题型一 复合函数的导数
【例1】　求下列函数的导数：
(1)y＝e2x＋1； (2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝.
【反思感悟】
1．解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
【跟踪训练】
1．求下列函数的导数：
(1)y＝103x－2； (2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝x.
题型二　三角函数型函数的导数
【例2】　求下列函数的导数：
(1)y＝cos； (2)y＝x2＋tan x.
[思路探究]　先将给出的解析式化简整理，再求导．
【反思感悟】
三角函数型函数的求导要求
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.
复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.
【跟踪训练】
2．求下列函数的导数：
(1)y＝sin2； (2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝cos4x－sin4x.
题型三 导数运算法则的综合应用
[探究问题]
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
[提示]　设P(x0，y0)，由题意可知y′|＝，
所以＝1，即x0＝0，
∴点P(0，1)．
由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
2．曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，你能求出a，b的值吗？
[提示]　∵y′＝aex＋ln x＋1，
∴y′|x＝1＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，
∴a＝e－1.
∴切点为(1，1)，
将(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1，故a＝，b＝－1.
【例3】　(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　)
A．　　　　　　 B．2
C．3 D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
【多维探究】
1．本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
2．把本例(1)条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线”，求b的值．
【反思感悟】
利用导数的几何意义解题时的注意点
1 求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.
2 切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.
3 如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
4 与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
五、达标检测
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1　 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
3．已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.
4．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．
5．求下列函数的导数：
(1)y＝e2x； (2)y＝(1－3x)3.
六、本课小结
1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
2．和与差的运算法则可以推广[f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×
提示：(2)中f ′(x)＝.
(3)中，f ′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
2．答案：C
解析：∵y＝，
∴y′＝－2××(3x－1)′＝－.
3．答案：D
解析：A中，y′＝－6(1－2x)2，∴A错误；
B中，y′＝，∴B错误；
C中，y′＝－sin，∴C错误；
D中y′＝22x－1ln 2×(2x－1)′＝22xln 2.故D正确．
题型突破
【例1】解：
(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝.
∴y′＝＝＝.
【跟踪训练】
1．解：
(1)令u＝3x－2，则y＝10u.
所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝.
(3)y′＝(x)′＝＋x()′
＝＋
＝.
【例2】解：
(1)∵y＝cos＝cossin－cos2＝sin x－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，
∴y′＝＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)．
(2)因为y＝x2＋，
所以y′＝(x2)′＋＝2x＋＝2x＋.
【跟踪训练】
2．解：
(1)∵y＝，∴y′＝＝sin x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos 2x，
∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
【例3】答案：(1)A　(2)2
(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴y′|＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
(2)令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f ′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
【多维探究】
1．解：由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1，0)，
∴＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
2．解：函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝.
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，也可以写成y＝(x－n)＋ln(n＋1)．
整理后对比得解得
因此b＝1－ln 2.
达标检测
1．答案：A
2．答案：B
解析：y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
3．答案：
解析：f ′(x)＝×(3x－1)′＝，
∴f ′(1)＝＝.
4．答案：－
解析：∵f (x)＝xe－x，∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，
∴f ′(2)＝－.根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝－.
5．解：(1)y′＝e2x·(2x)′＝e2x·2＝2e2x.
(2)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2
或y′＝－81x2＋54x－9.

展开更多......

收起↑