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5.3 导数与函数的极值、最值
新课程标准 考向预测
1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用. 命题角度 1.导数与函数的单调性 2.导数与函数的极值、最值 3.导数与不等式 4.导数与函数的零点
核心素养 数学运算 逻辑推理
【基础梳理】
基础点一　函数的极值
极值的概念 极大值 x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有________，那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)，称x＝x0为函数f(x)的一个极大值点
极小值 x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有________，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)，称x＝x0为函数f(x)的一个极小值点
导数与极值 极大值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧________，右侧________，则x＝x0为函数的极大值点
极小值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧________，右侧________，则x＝x0为函数的极小值点
易错提示
对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点.
基础小测
1．(2020届湖南常德一中高三月考)函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
2．(2020届山东曲阜二中高三月考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
基础点二　函数的最值
1．在[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．
基础小测
1．(2020届湖南常德一中高三月考)函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)
A． B．1
C．0 D．不存在
2．(2020届山东济宁一中高三月考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值是________．
【考点突破】
考点一　利用导数研究函数的极值(高考热度：★★★)
考向1　 利用函数图象判断函数的极值
[例1] (2020届湖南师大附中高三月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[例2] (多选题)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)只有一个极值点
方法总结
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．结合(1)(2)可得极值点．
考向2　求函数的极值
已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
方法总结
求函数极值的一般步骤：(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求f′(x)＝0的根；(3)判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点；(4)求出具体极值.
考点微练
1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则a＝________，f(x)的极小值为________．
2．设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若d＝3，求f(x)的极值．
考向3　已知函数极值求参数
设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
解题通法
1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
考点微练
1．(2020届辽宁沈阳铁路实验中学上学期10月月考)若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围为(　　)
A．0C．b>0 D．b<
2．若函数f(x)的导数f′(x)＝(x－)(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝________.
考点二　利用导数求函数的最值(高考热度：★★)
[例5] 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
解题通法
1．利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
考点微练
已知函数f(x)＝＋kln x，k＜，求函数f(x)在[，e]上的最大值和最小值．
同源变式
若例题条件中的“k＜”改为“k≥”，则函数f(x)在[，e]上的最小值是多少？
考点三　导数与生活中的优化问题(高考热度：★★★)
[例6] (2020届天津和平区一中上学期10月月考)用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
解题通法
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
考点微练
(2020届河北武邑中学高三月考)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为[()3＋1]升，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9升，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5升，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y升．
(1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
参考答案
【基础梳理】
基础点一　函数的极值
基础小测
1．解析：f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，当f′(x)＞0时，解得0＜x＜e；当f′(x)＜0时，解得x＞e，所以x＝e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值＝f(e)＝e. 故选C.
2．解析：f′(x)＝3x2－12，∴x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0，∴x＝2是f(x)的极小值点．∴a＝2.
基础点二　函数的最值
基础小测
1．解析：f′(x)＝x－＝，且x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)<0，得02．解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
【考点突破】
考点一　利用导数研究函数的极值(高考热度：★★★)
考向1　 利用函数图象判断函数的极值
[例1] 解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)的图象在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．
[例2] 解析：由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D正确．故选BD.
考向2　求函数的极值
解析：(1) 由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，
即1－＝0，解得a＝e.
(2) f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
考点微练
1．解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex.因为x＝－2是函数f(x)的极值点，所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－22．解析：(1)由已知，得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，
故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1，
因为曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为
y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9.
令f′(x)＝0，解得x＝t2－，或x＝t2＋.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，t2－) t2－ (t2－，t2＋) t2＋ (t2＋，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6，函数f(x)的极小值为f(t2＋)＝()3－9×＝－6.
考向3　已知函数极值求参数
解析：(1)因为f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.
则f′(1)＝(1－a)e.
由题设知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得a＝1.
此时f(1)＝3e≠0.所以a的值为1.
(2) f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.
若a＞，则当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2＜0，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)＞0.所以2不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是.
考点微练
1．解析：f′(x)＝3x2－3b，令f′(x)＝0，解得x＝± .因为函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，所以b>0.所以在(－∞，－)上，f′(x)>0，f(x)递增，在(－，)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝处取得极小值，∴0<<1，∴02．解析：因为函数的导数为f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，所以若k是偶数，则x＝k不是极值点，则k是奇数，若k＜，由f′(x)＞0，解得x＞或x＜k；由f′(x)<0，解得k因为k∈Z，所以k＝1.若k>，由f′(x)＞0，解得x>k或x＜；由f′(x)＜0，解得＜x＜k，即当x＝k时，函数f(x)取得极小值，不满足条件．
考点二　利用导数求函数的最值(高考热度：★★)
[例5] 解析：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．
∴f(x)max＝f(1)＝－1.
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2) f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，
∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不合题意．
②若a＜－，令f′(x)＞0，得a＋＞0，结合x∈(0，e]，解得0＜x＜－；
令f′(x)＜0，得a＋＜0，结合x∈(0，e]，解得－从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，
∴f(x)max＝f＝－1＋ln.
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2.
∵－e2＜－，∴a＝－e2即为所求．故实数a的值为－e2.
考点微练
解析：f′(x)＝＋＝.
①若k＝0，则f′(x)＝－，在上恒有f′(x)<0，所以f(x)在上单调递减．
②若k≠0，则f′(x)＝＝.
(i)若k<0，则在上恒有＜0.
所以f(x)在上单调递减，
(ii)若k＞0，由k＜，得＞e，则x－＜0在上恒成立，所以＜0，所以f(x)在上单调递减．
综上，当k＜时，f(x)在上单调递减．
所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
同源变式
解析：f′(x)＝＝.∵k≥，∴0<≤e.
若0＜≤，即k≥e时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在上为增函数，f(x)min＝f＝e－k－1.
若＞，即≤k＜e时，f(x)在上为减函数，在上为增函数，f(x)min＝f＝k－1－kln k.
综上，当≤k当k≥e时，f(x)min＝e－k－1.
考点三　导数与生活中的优化问题(高考热度：★★★)
[例6] 解析：设截去的小正方形的边长为x cm，则铁盒的长和宽都为(18－2x)cm，高为x cm，所以V＝x·(18－2x)2＝4x(9－x)2(0考点微练
解析：(1)由题意得，下潜用时(单位时间)，用氧量为×＝(升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时＝(单位时间)，用氧量为×1.5＝(升)，因此总用氧量y＝＋＋9(v>0)．
(2)y′＝－＝.令y′＝0，得v＝10，当0＜v＜10时，y′<0，函数单调递减；当v＞10时，y′>0，函数单调递增．若c＜10 ，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，∴当v＝10时，总用氧量最少．若c≥10，则y在[c，15]上单调递增，∴当v＝c时，这时总用氧量最少．

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