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第五章 三角函数
5.4.3正切函数的性质与图象
学案
一、学习目标
1.推导并理解正切函数在区间 内的性质.
2.能画出的图象.
3.会用正切函数的性质解决有关问题.
二、基础知识
1.周期性：由诱导公式_____________________，且________________
可知，正切函数是周期函数，周期是_____.
2.奇偶性：由诱导公式______________________，且_________________
可知，正切函数是____函数.
3.你能根据函数的图象画出正切函数的图象吗？
4. 正切函数的图象有怎样的特征？
5. 类比画正弦、余弦函数简图的方法（五点法），你能给出画正切函数简图的方法吗？
6. 由正切函数是奇函数，知它的图象关于原点对称.结合图象，你还能发现它的其他对称中心吗？有对称轴吗？
7.正切函数的单调区间：
8.正切函数的最值：
9. 求函数的定义域、周期及单调区间.
三、习题检测
1.与函数的图象不相交的一条直线是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图象经过点，则( )
A. B. C.1 D.-1
3.函数的图像的对称中心不可能是( )
A. B. C. D.
4.函数在上的最大值与最小值的差为( )
A. B. C.2 D.
5.在中值最大的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列说法中正确的是( )
A.函数图象的对称中心为，
B.函数图象的一条对称轴方程是
C.函数在区间上为增函数
D.函数的最小正周期是π
7.函数，的值域为___________.
8.函数的最小正周期为π，函数图像关于点成中心对称，则函数的解析式为_______________.
9.已知函数.
（1）求的定义域、值域；
（2）探究的周期性、奇偶性、单调性和图象的对称性.
答案以及解析
基础知识
1. ;;π
2. ;;奇
3. 根据正切函数的是奇函数，只要画出的图象关于原点的对称图形，就可得到的图象；
根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、向右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.
4. 正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
5. 能. 图象上有三个关键点：.还有两条竖线：直线，直线（注意这是两条虚线）.
因此，画正切函数简图就是先描三点，再画，两条平行线，最后用光滑的曲线画出图象，这种方法称为“三点两线法”.
6. 正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与x轴的交点和渐近线与x轴的交点.；没有对称轴.
7. 正切函数在每一个区间上都单调递增.
8. 当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
9. 解：自变量x的取值应满足，
即.所以，函数的定义域是.
设，又，所以，
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2.
由解得.
因此，函数在区间上单调递增.
习题检测
1.答案：C
解析：由，，得，，
则当时，，
即直线与函数图象不相交.
2.答案：C
解析：本题考查正切函数图象性质的应用与函数求值.由图象过点，代入解析式得，即，所以，又，所以，所以，故有.
3.答案：C
解析：正切函数的图像的对称中心是，令，解得，所以函数的图像的对称中心为，当时，，所以A,B,D选项是函数图像的对称中心.故选C.
4.答案：A
解析：函数在上单调递增，所以.所以最大值与最小值的差为.故选A.
5.答案：B
解析：易知，所以.又正切函数在上单调递增，所以，即最大.故选B.
6.答案：D
解析：对于A，当或时，即或是函数的对称中心，故错误，对于B，正切型函数无对称轴，故错误，对于C，当时，，正切函数在此区间不单调，故错误，对于D，周期，故正确.所以选D.
7.答案：
解析：，
，
，
函数的值域为.
8.答案：
解析：由题意，知.由函数图像关于点成中心对称，得，.又.
9.答案：（1）令，，得，，
的定义域为，值域为R.
（2）为周期函数，由于，
的最小正周期.易知的定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
令，，得，，
函数的单调递增区间为，，无单调递减区间.
令，得，函数的图象的对称中心是.
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