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2023届高考复习数列微专题——等差数列、等比数列性质
强化训练（学生版）
数列是历年高考考察内容之一，等差数列、等比数列性质是数列部分的重点和难点，在高考中常出现在选择题和填空题中，掌握数列的性质可以简化解题的计算量节省时间。本文总结了等差数列和等比数列的常用性质，整理了近两年来的高考真题和各地模拟题，在训练中掌握高考中的考察方式提高对知识掌握的熟练程度。
一、等差数列性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)；
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d；
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；
(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的；
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝；
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝．
（9）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
例1 (2022·新高考模拟)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　)
A． B． C．2 D．－
解析：由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝.
例2 (2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29，故选B．
例3 (2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋＝1＋＝.∴d＝(S20－S10)－S10＝，∴S40－5＝1＋3×＝3，∴S40＝8.故选B
跟踪练习
1、(2022·淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝(　　)
A．72 B．36
C．18 D．9
2、(2022·广州市阶段训练)已知{an}是等差数列，a3＝5，a2－a4＋a6＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3、(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25＝(　　)
A． B．145
C． D．175
4、(2021·江西九江一中月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
5、在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 023＝(　　)
A．－2 023 B．－2 022
C．－2 021 D．－2 020
6、若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
7、(2022·临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
8、(2022·洛阳质检)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝272，则a3＋a9＋a15＝(　　)
A．24 B．36
C．48 D．64
9、(2020·北京高考)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1．记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
10、(2022·辽宁模拟)已知等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．6
C．10 D．14
11、(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则 ＝(　　)
A．－ B．－3
C．－6 D．2
12、(多选)(2022·珠海模拟)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
13、(2022·辽宁模拟)已知等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．6
C．10 D．14
14、(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则 ＝(　　)
A．－ B．－3
C．－6 D．2
15、(2022·珠海模拟)已知函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，则{an}的前21项之和为(　　)
A．0 B．
C．21 D．42
16、(多选)(2022·珠海模拟)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
17、(2021·杭州二模)已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为(　　)
A.36 B.24 C.16 D.12
18、(2021·武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝(　　)
A. B. C.1 D.2
19、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　)
A.72 B.36 C.18 D.9
20、在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)
A.10 B.20
C.40 D.2＋log25
21、已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A.35 B.42 C.49 D.63
22、(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　)
A.a7 B.a8 C.S13 D.S15
23、(2022·重庆诊断)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)
A.2 023 B.－2 023
C.4 046 D.－4 046
24、(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5
C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
25、在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
26、(2020·高考北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
27、(2022·济宁邹城期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若S9＝a5＋a12，a1>0，则以下结论一定正确的是(　　)
A．d>0 B．S2＝S5
C．|a1|>|a9| D．Sn取得最大值时，n＝3
28、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023＝(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
29、已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
30、则log(a在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－，a5＝＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝(　　)
A．1 B．9
C．5＋7 D．3＋9
31、(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C． ＝8
D． ＝9
32、(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有(　　)
A．是公比为的等比数列
B．{a2n}是公比为4的等比数列
C．{2an}是公比为4的等比数列
D．{anan＋1}是公比为2的等比数列
33、(2021·深圳一模)在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
34、设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则下列说法错误的是(　　)
A．a2a9的最大值为10
B．a2＋a9的最大值为2
C． eq \f(1,a)＋ eq \f(1,a)的最大值为
D．a＋a的最小值为200
35、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An，Bn，且满足＝，则使得为正整数的n的个数是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
36、已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论不正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
37、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023＝(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
38、已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为(　　)
A．1或－1 B．2
C．－2 D．2或－2
39、等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于________.
40、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SkSk＋1<0的正整数k＝__________．
41、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝ .
42、(2022·安徽蚌埠一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________．
43、等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
44、(2021·山东师大附中模拟)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a9＋a19＝6，则a10＝ ，S19＝ .
45、记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．
46、(2021·长春一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________.
二、等比数列性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
(5)等比数列{an}的单调性
①满足或时，{an}是递增数列．
②满足或时，{an}是递减数列．
③当时，{an}为常数列．
④当q<0时，{an}为摆动数列．
(6)若共有2n项，则＝q；
(7)若共有2n＋1项，＝q．
例4 (2022·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，则S12＝(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
解析：解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，
又Sn＝，
∴＝＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去)．
又＝＝＝15.
∴S12＝15S3＝150.故选A．
解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)
＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，
∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，
∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A．
解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A．
解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，
则两式相除得1＋q3＋q6＝7，
解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.
∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A．
例5(2022·青岛模拟)等比数列{an}的各项均为正数，a5，a6是函数f(x)＝x3－3x2＋8x＋1的极值点，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(　　)
A．3＋log25 B．8
C．10 D．15
解析：D　f′(x)＝x2－6x＋8，∵a5，a6是函数f(x)的极值点，∴a5，a6是方程x2－6x＋8＝0的两实数根，则a5·a6＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log2(a5·a6)5＝5log28＝15，故选D．
跟踪练习
1、(2022·潮州模拟)Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝256，a4a6＝1 024，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
2、(2022·洛阳第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－或
3、(2021·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．－或
4、(2021·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
5、(2021·吉林统考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝(　　)
A． B．或
C．3 D．3或－2
6、在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－，a5＝＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝(　　)
A．1 B．9
C．5＋7 D．3＋9
7、(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C． ＝8
D． ＝9
8、(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
9、已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　)
A．－2 B．±2
C．2 D．±
10、等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9＝(　　)
A．－3 B．3
C．－4 D．4
11、公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
12、(2021·长沙检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A.25 B.20 C.15 D.10
13、已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.6
14、在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27
C．36 D．81
15、已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a6·a8＝16a，则＝(　　)
A．2 B．
C． D．
16、在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
17、已知数列{an}满足a1＝1，＝·q(q为非零常数)，·＝2，则a101＝(　　)
A．2 B．
C．1 024 D．
18、设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．q>1 B．a7·a9>1
C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7
19、(2022·重庆诊断)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　)
A.－ B. C. D.
20、等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
21、已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
22、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________．
23、等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________.
23、(2022·百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.
24、在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
25、若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝________.
26、(2021·济南模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝________.
27、已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
28、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
29、(2021·洛阳统考)等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a8a13＝64，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝ .
30、已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ .
22023届高考复习数列微专题——等差数列、等比数列性质
强化训练（解析版）
一、等差数列性质
已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)；
(2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)；
(3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d；
(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列；
(6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的；
(7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝；
(8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝．
（9）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
例1 (2022·新高考模拟)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　)
A． B． C．2 D．－
解析：由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝.
例2 (2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为(　　)
A．28 B．29
C．30 D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29，故选B．
例3 (2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋＝1＋＝.∴d＝(S20－S10)－S10＝，∴S40－5＝1＋3×＝3，∴S40＝8.故选B
跟踪练习
1、(2022·淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9＝(　　)
A．72 B．36
C．18 D．9
解析：∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，∴S9＝＝9a5＝36．
2、(2022·广州市阶段训练)已知{an}是等差数列，a3＝5，a2－a4＋a6＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a2－a4＋a6＝7，得(a2＋a6)－a4＝2a4－a4＝a4＝7，所以d＝a4－a3＝2，即等差数列{an}的公差为2，故选D．
3、(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a11＝a9＋7，则S25＝(　　)
A． B．145
C． D．175
解析：∵2a11＝a9＋a13＝a9＋7，∴a13＝7，
∴S25＝＝25a13＝175.故选D．
4、(2021·江西九江一中月考)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
解析：＝＝，∵＝，∴＝1.故选A．
5、在等差数列{an}中，a1＝－2 023，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 023＝(　A　)
A．－2 023 B．－2 022
C．－2 021 D．－2 020
解析：由题意知，数列为等差数列，其公差为1，
所以＝＋(2 023－1)×1＝－2 023＋2 022＝－1.
所以S2 023＝－2 023.故选A．
6、若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An、Bn，且满足＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：＝＝×＝×＝×＝.故选C．
7、(2022·临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，∴a7＝a6＋a8，即a7－a8＝a6＝8，故选C．
8、(2022·洛阳质检)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝272，则a3＋a9＋a15＝(　　)
A．24 B．36
C．48 D．64
解析：C　因为数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，所以S17＝272＝×17＝×17＝17a9，所以a9＝16，所以a3＋a9＋a15＝3a9＝48．
9、(2020·北京高考)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1．记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
解析：B　设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝－9，a5＝－1，∴a5＝－9＋4d＝－1，∴d＝2，∴an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11．令an＝2n－11≤0，则n≤5．5，∴n≤5时，an<0；n≥6时，an>0．∴T1＝－9<0，T2＝(－9)×(－7)＝63>0，T3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315<0，T4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945>0，T5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945<0，当n≥6时，an>0，且an≥1，∴Tn＋110、(2022·辽宁模拟)已知等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．6
C．10 D．14
解析：B　∵等差数列{an}的前15项和S15＝30，∴S15＝(a1＋a15)＝15a8＝30，解得a8＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝6．故选B．
11、(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则 ＝(　　)
A．－ B．－3
C．－6 D．2
解析：A　因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝2a8＝－6，a8＝－3，a2a14＝2，所以 ＝ ＝－ ．故选A．
12、(多选)(2022·珠海模拟)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
解析：ACD　∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d<0时，Sn没有最小值，B错误；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正确；S19＝＝19a10＝0，D正确．故选A、C、D．
13、(2022·辽宁模拟)已知等差数列{an}的前15项和S15＝30，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A．－2　　　　　　　　 B．6
C．10 D．14
解析：B　∵等差数列{an}的前15项和S15＝30，∴S15＝(a1＋a15)＝15a8＝30，解得a8＝2，∴a7＋a8＋a9＝3a8＝6．故选B．
14、(2022·济南二模)在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则 ＝(　　)
A．－ B．－3
C．－6 D．2
解析：A　因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝2a8＝－6，a8＝－3，a2a14＝2，所以 ＝ ＝－ ．故选A．
15、(2022·珠海模拟)已知函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，则{an}的前21项之和为(　　)
A．0 B．
C．21 D．42
解析：由函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，且函数f(x)在(1，＋∞)上单调，可得y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a4)＝f(a18)，可得a4＋a18＝2，又{an}是等差数列，所以a1＋a21＝a4＋a18＝2，可得数列的前21项和S21＝＝21，则{an}的前21项之和为21．故选C．
16、(多选)(2022·珠海模拟)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
解析：ACD　∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d<0时，Sn没有最小值，B错误；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正确；S19＝＝19a10＝0，D正确．故选A、C、D．
17、(2021·杭州二模)已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列的前8项和为(　　)
A.36 B.24 C.16 D.12
解析：　由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12.
18、(2021·武汉调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝a8＝8，则公差d＝(　　)
A. B. C.1 D.2
解析：∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，
∴S7＝7a4＝0，则a4＝0.
∴d＝＝2.
19、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于(　　)
A.72 B.36 C.18 D.9
解析：　∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，
∴S9＝＝9a5＝36.
20、在等差数列{an}中，若a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)
A.10 B.20
C.40 D.2＋log25
解析：由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，所以log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.
21、已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)
A.35 B.42 C.49 D.63
解析：在等差数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.
22、(多选)(2022·淄博调研)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　)
A.a7 B.a8 C.S13 D.S15
解析：由题知a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7是定值，∴S13＝＝13a7是定值，故选AC.
23、(2022·重庆诊断)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023等于(　　)
A.2 023 B.－2 023
C.4 046 D.－4 046
解析：　∵为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，∴d′＝1，
首项为＝－2 020，
∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
24、(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5
C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
解析：　S4＝＝0，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；
a5＝a1＋4d＝5，①
a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
联立①②得∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，C正确，故选ABC.
25、在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，得4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1.
26、(2020·高考北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
解析：设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝－9，a5＝－1，
所以a5＝－9＋4d＝－1，
所以d＝2，所以an＝－9＋(n－1)×2＝2n－11.
令an＝2n－11≤0，则n≤5.5，
所以n≤5时，an<0；n≥6时，an>0.
所以T1＝－9<0，T2＝(－9)×(－7)＝63>0，
T3＝(－9)×(－7)×(－5)＝－315<0，
T4＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)＝945>0，
T5＝(－9)×(－7)×(－5)×(－3)×(－1)＝－945<0，
当n≥6时，an>0，且an≥1，所以Tn＋1所以Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)有最大项T4，无最小项．
27、(2022·济宁邹城期中)记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差为d，若S9＝a5＋a12，a1>0，则以下结论一定正确的是(　　)
A．d>0 B．S2＝S5
C．|a1|>|a9| D．Sn取得最大值时，n＝3
解析：选B．因为数列{an}是等差数列，
所以S9＝a5＋a12 9a1＋36d＝2a1＋15d a1＝－3d.
对于A：因为a1>0，所以d<0，故A错误．
对于B：S2＝a1＋a2＝2a1＋d＝－5d，S5＝－5d，故B正确．
对于C: |a9|＝|a1＋8d|＝|a1|，因此|a1|<|a9|，故C错误．
对于D：Sn＝n2－n，当n＝时Sn取到最大值，因为n∈N*，所以n＝3或4，故D错误．
28、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023＝(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
解析：选C．由题意知为等差数列，设公差为d′，
则－＝6d′＝6，所以d′＝1，
首项为＝－2 020，
所以＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，
所以S2 023＝2 023×2＝4 046.
29、已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
解析：数列{an}满足5an＋1＝25·5an，
∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2，
∴数列{an}是等差数列，公差为2.
∵a2＋a4＋a6＝9，∴3a4＝9，a4＝3.
∴a1＋3×2＝3，解得a1＝－3.
∴a5＋a7＋a9＝3a7＝3×(－3＋6×2)＝27，
30、则log(a在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－，a5＝＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝(　　)
A．1 B．9
C．5＋7 D．3＋9
解析：B　因为{an}为各项为正的等比数列，a3＝2－，a5＝＋1，所以a1a5＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(2－＋＋1)2＝9，故选B．
5＋a7＋a9)＝log33＝－3.故选A.
31、(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C． ＝8
D． ＝9
解析：AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以 ＝q3＝8，解得q＝2，所以 ＝ ＝1＋q3＝9．故选A、D．
32、(多选)设{an}是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有(　　)
A．是公比为的等比数列
B．{a2n}是公比为4的等比数列
C．{2an}是公比为4的等比数列
D．{anan＋1}是公比为2的等比数列
解析：AB　由于数列{an}是公比为2的等比数列，则对任意的n∈N*，an≠0，且公比为q＝＝2．
对于A选项，＝＝＝，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；
对于B选项，＝q2＝4，即数列{a2n}是公比为4的等比数列，B选项正确；
对于C选项，＝q＝2，即数列{2an}是公比为2的等比数列，C选项错误；
对于D选项，＝＝q2＝4，即数列{anan＋1}是公比为4的等比数列，D选项错误．故选A、B．
33、(2021·深圳一模)在数列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，则k＝(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
解析：令m＝1，由am＋n＝am＋an可得an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，
所以{an}是首项为a1＝3，公差为3的等差数列，an＝3＋3(n－1)＝3n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋ak＝＝＝135.
整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍).
34、设正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则下列说法错误的是(　　)
A．a2a9的最大值为10
B．a2＋a9的最大值为2
C．＋的最大值为
D．a＋a的最小值为200
解析：选C．由题意得(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，
即a＋a＝20.
A．a2a9≤＝＝10，当且仅当a2＝a9＝时等号成立，故A选项正确；
B．由于≤＝10，
所以≤，a2＋a9≤2，当且仅当a2＝a9＝时等号成立，故B选项正确；
C．＋＝＝≥＝＝，当且仅当a2＝a9＝时等号成立，
所以＋的最小值为，故C选项错误；
D．结合A的结论，有a＋a＝(a＋a)2－2a·a＝400－2a·a≥400－2×102＝200，当且仅当a2＝a9＝时等号成立，故D选项正确．
35、两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An，Bn，且满足＝，则使得为正整数的n的个数是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A．因为＝＝＝7＋，所以当n＋1＝2，3，4，6，12，即n＝1，2，3，5，11时，为正整数．故选A．
36、已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论不正确的是(　　)
A．a10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S19＝0
解析：选B．因为2a1＋3a3＝S6，所以2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，
所以a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；
当d＜0时，Sn没有最小值，B错误；
S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，
所以S12＝S7，C正确；
S19＝＝19a10＝0，D正确．
37、已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，－＝6，则S2 023＝(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
解析：C　由结论(6)可知为等差数列，且－＝6d＝6，∴d＝1，首项为＝－2 020，∴＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C．
38、已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为(　　)
A．1或－1 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：D　由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两实数根，解得或所以公差d＝＝2或－2．故选D．
39、等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于________.
解析：　＝＝＝＝＝＝.
40、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SkSk＋1<0的正整数k＝__________．
解析：依题意得a6＝S6－S5>0，
a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0，
则S11＝＝11a6>0，
S12＝＝>0，
S13＝＝13a7<0，
所以S12S13<0，即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12.
41、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝ .
解析：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.
42、(2022·安徽蚌埠一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________．
解析：根据{an}为等差数列，且a6＋a7＝1，得S12＝6(a6＋a7)＝6；　
若a7＜0，则S13＝＝13a7＜0，
又S12＞0，所以使不等式Sn＜0成立的最小整数n＝13.
43、等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
解析：＋＝＝＝，
又＝＝＝＝.
44、(2021·山东师大附中模拟)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a9＋a19＝6，则a10＝ ，S19＝ .
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为D．由等差数列的通项公式可得a2＋a9＋a19＝3(a1＋9d)＝3a10＝6，所以a10＝2，由等差数列前n项和公式可得S19＝＝19a10＝38.
45、记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．
解析：由题意，得公差d＝(a7－a3)＝2，所以a4＝a3＋d＝7，所以S10＝＝5(a4＋a7)＝100.
46、(2021·长春一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＋a7＝1，则S12＝________，若a7＜0，则使得不等式Sn＜0成立的最小整数n＝________.
解析：根据{an}为等差数列，且a6＋a7＝1，得S12＝＝6(a6＋a7)＝6；
若a7＜0，则S13＝＝13a7＜0，
又S12＞0，所以使不等式Sn＜0成立的最小整数n＝13.
一、等比数列性质
设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
(5)等比数列{an}的单调性
①满足或时，{an}是递增数列．
②满足或时，{an}是递减数列．
③当时，{an}为常数列．
④当q<0时，{an}为摆动数列．
(6)若共有2n项，则＝q；
(7)若共有2n＋1项，＝q．
例4 (2022·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S3＝10，S9＝70，则S12＝(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
解析：解法一：设等比数列的公比为q，显然q≠1，
又Sn＝，
∴＝＝q6＋q3＋1＝7.∴q3＝2或－3(舍去)．
又＝＝＝15.
∴S12＝15S3＝150.故选A．
解法二：∵S9＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋(a7＋a8＋a9)
＝S3＋q3S3＋q6S3＝S3(1＋q3＋q6)，
∴10(q6＋q3＋1)＝70，∴q3＝2或－3(舍去)，
∴S12＝S9＋q9S3＝70＋80＝150.故选A．
解法三：由等比数列的性质知S3、S6－S3、S9－S6、S12－S9是等比数列，∴(S6－10)2＝10(70－S6)，解得S6＝30或－20(舍去)，又(S9－S6)2＝(S6－S3)(S12－S9)，即402＝20(S12－70)，解得S12＝150.故选A．
解法四：设等比数列前n项和为Sn＝A－Aqn，
则两式相除得1＋q3＋q6＝7，
解得q3＝2或－3(舍去)，∴A＝－10.
∴S12＝－10(1－24)＝150.故选A．
例5(2022·青岛模拟)等比数列{an}的各项均为正数，a5，a6是函数f(x)＝x3－3x2＋8x＋1的极值点，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(　　)
A．3＋log25 B．8
C．10 D．15
解析：D　f′(x)＝x2－6x＋8，∵a5，a6是函数f(x)的极值点，∴a5，a6是方程x2－6x＋8＝0的两实数根，则a5·a6＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log2(a5·a6)5＝5log28＝15，故选D．
跟踪练习
1、(2022·潮州模拟)Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝256，a4a6＝1 024，则＝(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
解析：　由a3a5＝256，a4a6＝1 024，得又an>0，∴∴∴an＝2n，Sn＝2(2n－1)，∴＝＝2－21－n，故选B．
2、(2022·洛阳第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－或
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－.
3、(2021·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－2 B．－
C． D．－或
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，又a3、a15同号，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－.故选B．
4、(2021·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于(　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
解析：由已知a1a2…a9＝1，又a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a，所以a＝1，即a5＝1，所以a14＝1，a1＝16.故选B
5、(2021·吉林统考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝(　　)
A． B．或
C．3 D．3或－2
解析：由题意＝＝1＋q4＋q8＝7即q8＋q4－6＝0，∴q4＝2或－3(舍去)，
∴＝＝1＋q4＝3，故选C．
6、在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝2－，a5＝＋1，则a1a5＋2a2a6＋a3a7＝(　　)
A．1 B．9
C．5＋7 D．3＋9
解析：因为{an}为各项为正的等比数列，a3＝2－，a5＝＋1，所以a1a5＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(2－＋＋1)2＝9，故选B．
7、(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　)
A．数列{an}的公比为2
B．数列{an}的公比为8
C． ＝8
D． ＝9
解析：AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以 ＝q3＝8，解得q＝2，所以 ＝ ＝1＋q3＝9．故选A、D．
8、(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.
9、已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　)
A．－2 B．±2
C．2 D．±
解析：选C．因为a2a3a4＝1，所以a3＝1，
因为a6a7a8＝64，所以a7＝4，
又a＝a3a7＝4，又a5与a3同号，
10、等比数列{an}中，a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则a3·a9＝(　　)
A．－3 B．3
C．－4 D．4
解析：B　∵a5，a7是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，∴a5，a7是方程x2－4x＋3＝0的两个根，∴a5·a7＝3，由等比数列的性质可得：a3·a9＝a5·a7＝3．故选B．
11、公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
解析：∵公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝8，
∴a5a6＝a4a7＝4，由a2am＝4，
∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.
12、(2021·长沙检测)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)
A.25 B.20 C.15 D.10
解析：　在正项等比数列{an}中，Sn>0，
因为S8－2S4＝5，则S8－S4＝5＋S4，
易知S4，S8－S4，S12－S8是等比数列，
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
所以S12－S8＝＝＋S4＋10≥2＋10＝20(当且仅当S4＝5时取等号)
因为a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
13、已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　)
A.2 B.4 C. D.6
解析：根据等比数列的性质得a3a5＝a，
∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.
又a1＝1，a1a7＝a＝4，∴a7＝4.
14、在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27
C．36 D．81
解析：选B．因为a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
所以q2＝9.所以q＝3(q＝－3舍去)，
所以a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
15、已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a6·a8＝16a，则＝(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：选C．设数列{an}的首项为a1，公比为q，
因为a6·a8＝16a，所以aq12＝16aq8，所以q4＝16，
所以q＝2或q＝－2(舍去)，
所以＝＝＝＝.
16、在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选C．因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，
所以a1a2a3，a4a5a6，…，an－1anan＋1也成等比数列．
令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.
所以bm＝4×3m－1.
令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，
所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
17、已知数列{an}满足a1＝1，＝·q(q为非零常数)，·＝2，则a101＝(　　)
A．2 B．
C．1 024 D．
解析：选A．由数列为等比数列，得·＝…＝·＝2，
所以＝··…·＝(2)50＝2，
又数列{an}的首项a1＝1，所以a101＝2.
18、设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．q>1 B．a7·a9>1
C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7
解析：选D．因为a1>1，a7·a8>1，<0，所以a7>1，a8<1，所以01，01，a8<1，所以T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．故选D．
19、(2022·重庆诊断)设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－8，a7＝，则S6＝(　　)
A.－ B. C. D.
解析：设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，又a2＝－8，a7＝，
∴q＝－，故a1＝16，又Sn＝，
即S6＝＝＝.
20、等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
解析：由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
21、已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
解析：由题意，得
解得所以q＝＝＝2.
22、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝.
23、等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则{an}的通项公式an＝________.
解析：因为＝，所以＝－，
因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－，q＝－，则an＝－.
23、(2022·百校大联考)已知在等比数列{an}中，a1a3a11＝8，则a2a8＝________.
解析：设公比为q，则an＝a1qn－1，则a1·a1q2·a1q10＝8，所以aq12＝8，所以a1q4＝2，所以a2a8＝a1q·a1q7＝aq8＝(a1q4)2＝4.
24、在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
解析：因为＋＝，＋＝，
由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.
25、若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a10＝9，则log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝________.
解析：　log9a1＋log9a2＋…＋log9a10＝log9[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)·(a5a6)]＝log995＝5.
26、(2021·济南模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝________.
解析：∵等比数列{an}的前n项和为S10＝1，S30＝7，
∴S10、S20－S10、S30－S20、S40－S30成等比数列，
即1、S20－1、7－S20、S40－7成等比数列，
∴(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，
所以1、2、4、S40－7成等比数列，
所以S40－7＝8，解得S40＝15.
27、已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析：由题设，S偶＝S奇－80，S2n＝－240.
∴∴
28、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
解析：由等比数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，由已知得S6＝3S3，所以＝，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，所以＝．
29、(2021·洛阳统考)等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a8a13＝64，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝ .
解析：由等比数列的性质可得a10a11＝a8a13，
所以a10a11＋a8a13＝2a10a11＝64，
所以a10a11＝32，
所以log2a1＋log2a2＋…＋log2a20＝log2(a1·a2·a3·…·a20)
＝log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)·…·(a10·a11)]＝log2(a10·a11)10＝log23210＝50.
30、已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ .
解析：由题意，得
解得所以q＝＝＝2.
2

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