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基于通项处理的数列放缩问题研究
本篇主要目标是聚焦于已知数列的通项，如何对和式进行放缩，这里面有两个主要的方面：一个是先求和再放缩，这种问题较简单，关键是准确求和. 另一个则是先放缩再求和，这一个问题就需要一定的技巧性，根据过往的高考题与模考题，我将其总结为具体的三个方面：1. 放缩成裂项结构求和. 2. 放缩成等比结构求和，这一块又包括利用糖水不等式，n次等差公式和二项式定理等三种常见的放缩手段，具体我将在文中以实例详细说明.
类型1. 先求和再放缩
例1．已知正项数列的首项，前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
例2．已知等比数列为递增数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：．
类型2.先放缩通项再求和
2.1 将通项放缩成裂项结构
例3.（2013年广东）
设数列的前项和为.已知,,.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明:对一切正整数,有.
例4.（2019浙江卷）．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：
2.2 将通项放缩成等比结构
例5.（2014全国2卷）已知数列满足=1，.
（1）证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）证明：.
例6.（2012广东理）设数列的前项和为，满足，，且成等差数列．（公众号：凌晨讲数学）
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
例7．已知数列的前项和满足，且.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：.
习题演练.
习题1.已知数列的前n项和为，，，且．
（1）求；
（2）求证：．
习题2．已知数列中，，且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切，有
练习题3.已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，.
（1）求，的通项公式；
（2）设，，求证：.

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