资源简介

6.2.3-6.2.4　组合与组合数
学习目标
1．理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．
2．理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．
3．会解决一些简单的组合问题．
学习重难点
重点：组合数公式的应用
难点：组合数公式的推导
学习过程
一、新知探究
知识点一、组合与组合数
[提出问题]
从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？
提示：不相同．
问题2：它们是排列吗？
提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
[导入新知]
1．组合
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
[化解疑难]
1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质．
2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
知识点二、组合数公式
[提出问题]
从1,3,5,7中任取两个数相除．
问题1：可以得到多少个不同的商？
提示：A＝4×3＝12个不同的商．
问题2：如何用分步法求商的个数？
提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA.
问题3：由问题1,2你能得出计算C的公式吗？
提示：能．因为A＝CA，所以C＝＝6.
问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？
提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：
第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素全排列，共有A种不同的排法．
由分步乘法计数原理知，A＝C·A，故C＝.
[导入新知] 组合数公式
组合数公式 乘积形式
阶乘形式
性质 ①C＝；②C＝
备注 ①n，m∈N*，m≤n；②规定C＝1，C＝1
[化解疑难]
组合数公式的分子是连续m个正整数n，n－1，n－2，…，(n－m＋1)的乘积，即从n开始减小的连续m个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．
二、典型例题
题型一：组合的有关概念
[例1]　判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？
[类题通法]
根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
[活学活用]
1、从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
题型二：与组合数有关的计算
[例2]　(1)计算：C－C·A；
(2)已知，求C＋C.
[类题通法]
在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C时，若m比较大，可利用性质①，不计算C而改为计算C，在计算组合数之和时，常利用性质②.
[活学活用]
2、(1)计算：；
(2)求等式中的n值.
题型三：简单的组合问题
[例3]　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必需参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[活学活用]
3、现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
三、随堂检测
1．方程的解为(　　)
A．4或9　　　　　　　 B．4
C．9 D．其他
2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)
A．14 B．24
C．28 D．48
3．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种．
4．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________(用数字作答)．
5．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．
参考答案
典型例题
[例1]　[解]　(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．
(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．
(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区别的．
[活学活用]
1、解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
典型例题
[例2]　[解]　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)原式＝
即
，
即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
而0≤m≤5，∴m＝2.
∴.
[活学活用]
2、解：(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006.　
(2)原方程可变形为＋1＝，C＝C，
即，
化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求.
典型例题
[例3]　[解]　(1)从中任取5人是组合问题，共有＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有＝3种选法；再从另外9人中选4人，有种选法．共有＝378种不同的选法．
[活学活用]
3、解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种选法；
第2类，选出的2名是女教师有C种选法．
根据分类加法计数原理，共有种不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有C×C＝×＝90种不同的选法．
随堂检测
1．答案：A
解析：当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.
2．答案：A
解析：从6人中任选4人的选法种数为＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
3．答案：9
解析：父母应为A或B或O，共有·＝9种情况．
4．答案：210
解析：先给甲组选4人，有种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为＝210.
5．解：由题意得C·C＝20，解得x＝5.
所以该科技小组有5名男生．

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