资源简介

8.1.2　样本相关系数
【学习目标】
1. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性.
2. 了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P96～102，思考并完成以下问题
(1) 什么是样本相关系数？
(2) 相关系数有哪些性质？
(3) 样本相关系数与标准化数据向量夹角有什么关系？
二、课前小测
1．判断
（1）回归分析中，若r＝±1说明x，y之间具有完全的线性关系．( )
（2）若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系．( )
（3）样本相关系数r的范围是r∈(－∞，＋∞)．( )
2．下面对相关系数r描述正确的是(　　)
A．r>0表明两个变量负相关
B．r>1表明两个变量正相关
C．r只能大于零
D.越接近于0，两个变量相关关系越弱
3．(多选题)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是 (　　 )
三、新知探究
1．相关系数r的计算
注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量
假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，对数据作进一步的“标准化”处理，用sx＝，sy＝分别除xi－和yi－ (i＝1，2，…，n，和分别为x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值)，得，，…，，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为(x1′，y1′)，(x2′，y2′)，…，(xn′，yn′)，则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝(x1′y1′＋x2′y2′＋…＋xn′yn′)＝.
2．相关系数r的性质
(1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．
(2)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
3．样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
r＝x′·y′＝|x′||y′|cos θ＝cos θ(其中x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝，θ为向量x′和向量y′的夹角)．
四、题型突破
题型一 线性相关性的检验
【例1】　现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？
【反思感悟】
利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器．
【跟踪训练】
1．假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知＝90，y＝140.78，＝112.3.
(1)求，；
(2)对x，y进行线性相关性检验．
题型二 判断线性相关的强弱
【例2】　维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据．
甲醛浓度x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化度(y) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
求样本相关系数r并判断它们的相关程度．
【反思感悟】
当相关系数|r|越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数|r|越接近0时，两个变量的相关关系越弱．
【跟踪训练】
2．以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据．
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据的散点图；
(2)求相关系数r，并作出评价．
五、达标检测
1．两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值(　　)
A．越小 B．越接近1
C．越接近0 D．越接近－1
2．给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则(　　)
A．y与x线性不相关 B．y与x正线性相关
C．y与x负线性相关 D．以上都不对
3．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的或负的
C．如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．线性相关系数r∈(－1，1)
4．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求相关系数r.
六、本课小结
1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养．
2．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断．
3．|r|越接近1，它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越强．
参考答案
课前小测
1．答案：（1）√ （2）× （3）×
解析：（2）若r＝0，则说明成对样本数据间没有线性相关关系．
（3）样本相关系数的范围是[－1，1]．
2．答案：D
解析：因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；又因 r∈[－1，1]，故B，C错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，故D正确．
3．答案：ACD
解析：因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合．故选ACD.
题型突破
【例1】解：＝(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝(84＋64＋…＋57＋71)＝68，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
y＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
xiyi＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796.
所以相关系数为r＝≈0.750 6.
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系．
【跟踪训练】
1．解：(1)＝＝4.
＝＝5.
(2) xiyi－5＝112.3－5×4×5＝12.3，
x－52＝90－5×42＝10，
y－52＝140.78－125＝15.78，
所以r＝≈0.979.
所以x与y之间具有很强的线性相关关系．
题型二 判断线性相关的强弱
【例2】解：列表如下
i xi yi x y xiyi
1 18 26.86 324 721.459 6 483.48
2 20 28.35 400 803.722 5 567
3 22 28.75 484 826.562 5 632.5
4 24 28.87 576 833.476 9 692.88
5 26 29.75 676 885.062 5 773.5
6 28 30.00 784 900 840
7 30 30.36 900 921.729 6 910.80
∑ 168 202.94 4 144 5892.013 6 4 900.16
＝＝24，＝，
r＝
＝≈0.96.
由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系．
【跟踪训练】
2．解：(1)图略．
(2)列表如下：
i xi yi x y xiyi
1 115 24.8 13 225 615.04 2 852
2 110 21.6 12 100 466.56 2 376
3 80 18.4 6 400 338.56 1 472
4 135 29.2 18 225 852.64 3 942
5 105 22 11 025 484 2 310
∑ 545 116 60 975 2 756.8 12 952
＝＝109，＝＝23.2，
r＝
＝
＝≈0.96，
由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.
达标检测
1．答案：C
解析：由相关系数的性质知选C.
2．答案：C
解析：因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关．
3．答案：ABC
解析：∵相关系数|r|≤1，
∴D错误．
4．解：列表如下
i xi yi x y xiyi
1 6 2 36 4 12
2 8 3 64 9 24
3 10 5 100 25 50
4 12 6 144 36 72
∑ 36 16 344 74 158
＝＝9，＝＝4，
∴r＝＝≈0.99.

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