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8.2一元线性回归模型及其应用(2)
【学习目标】
1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.
2.了解非线性回归模型.
3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P110～119，思考并完成以下问题
(1) 什么是残差？什么是残差分析
(2) 什么是决定系数？
(3) 刻画回归效果的方式有哪些？
二、课前小测
1．判断
（1）残差平方和越接近0, 线性回归模型的拟合效果越好．( )
（2）在画两个变量的散点图时， 响应变量在x轴上，解释变量在y轴上．( )
（3）R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( )
2．在残差分析中，残差图的纵坐标为__________．
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？
三、新知探究
1．残差的概念
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
2．刻画回归效果的方式
(1)残差图法
作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
(2)残差平方和法
残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
(3)利用R2刻画回归效果
R2是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量刻画预报变量的能力．
R2＝，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差．
四、题型突破
题型一　线性回归分析
【例1】　已知某种商品的价格x(单位：元/件)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
【反思感悟】
(1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
(2)刻画回归效果的三种方法
①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适．
②残差平方和法：残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
③决定系数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好．
【跟踪训练】
1. 某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
.
题型二　残差分析与相关指数的应用
【例2】　假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4
y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求R2，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度．
【反思感悟】
(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差，，…，来判断模型拟合的效果．
(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合度越高，回归方程预报精确度越高．
【跟踪训练】
2. 为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如下表：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求回归直线方程；
(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；
(3)进行残差分析．
题型三　非线性回归分析
【例3】　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.
根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【反思感悟】
求非线性回归方程的步骤
(1)确定变量，作出散点图．
(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．
(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．
(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果．
(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．
【跟踪训练】
3. 下表为收集到的一组数据：
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值．
五、达标检测
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(　　)
A．角度和它的余弦值
B．正方形的边长和面积
C．正n边形的边数和内角度数和
D．人的年龄和身高
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是(　　)
A．残差图的横坐标可以是样本编号
B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
x 16 17 18 19
y 50 34 41 31
由上表可得回归直线方程中的＝－5，据此模型预测当零售价为14.5元时，每天的销售量为(　　)
A．51个 B．50个
C．54个 D．48个
4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
温度x 0 10 20 50 70
溶解度y 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0
由此得到回归直线的斜率是__________．
5．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16 12 5 2 1
试建立y与x之间的回归方程．
六、本课小结
1．通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养．
2．当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函数，常见的函数有幂函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题转化为线性回归分析问题．
参考答案
课前小测
1．（1）答案： √
（2）答案：×
解析：在画两个变量的散点图时，响应变量在y轴上，解释变量在x轴上．
（3）答案：×
解析：R2越大， 线性回归模型的拟合效果越好．
2．答案：残差
3．解：R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效果最好．
题型突破
题型一　线性回归分析
【例1】解：＝(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2
yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4
所以＝0.3，
＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果较好．
【跟踪训练】
1. 解:（1）由所给数据计算得
＝× (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
＝9+4+1+0+1+4+9=28,
＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
=＝0.5，
＝4.3－0.5×4＝2.3，
所以所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知＝0.5>0，故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2020年的年份代号t＝10代入(1)中的回归方程，得＝0.5×10＋2.3＝7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元．
题型二　残差分析与相关指数的应用
【例2】解：(1)散点图如下．
(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为，又＝30.36，＝43.5，
＝5 101.56，
＝1 320.66，＝921.729 6，
＝6 746.76.
则≈0.29， ≈34.70.
故所求的回归直线方程为＝0.29x＋34.70.
当x＝56.7时，＝0.29×56.7＋34.70＝51.143.
故估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由，可以算得分别为＝0.35，＝0.718，＝－0.5，＝－2.214，＝1.624，残差平方和：≈8.43.
(4) ＝50.18，故R2≈1－≈0.832.所以(2)中求出的回归模型的效果较好.
【跟踪训练】
2. 解：(1)散点图如图所示．
样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．
由表中数据，得＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，
＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，
＝ 2 275，＝1 076.2.
计算得≈0.183，≈6.285.
故所求回归直线方程为＝6.285＋0.183x.
(2)列表如下：
0.05 0.005 －0.08 －0.045 0.04 0.025
－2.237 －1.367 －0.537 0.413 1.413 2.313
可得≈0.013 18, ≈14.678 3.
所以R2＝1－≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．
(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系．
【例3】解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程．
由于＝＝68，
＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值＝100.6＋68＝576.6(t)，
年利润z的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，
即x＝46.24时，取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
【跟踪训练】
3. 解：(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝的周围，其中c1，c2为待定的参数．
(2)对y＝c1ec2x两边取对数，得ln y＝ln c1＋c2x，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
求得回归直线方程为＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差
yi 7 11 21 24 66 115 325
6.443 11.101 19.125 32.950 56.770 128.381 290.325
0.557 －0.101 1.875 －8.950 9.23 －13.381 34.675
(3)当x＝40时，＝e0.272×40－3.849≈1 131.
达标检测
1．答案：D
解析：函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.
2．答案：ABD
解析：残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.
3．答案：C
解析：由题意知＝17.5，＝39，代入回归直线方程得＝126.5，126.5－14.5×5＝54，故选C.
4．答案：0.8809
解析：＝(0＋10＋20＋50＋70)＝30，
＝(66.7＋76.0＋85.0＋112.3＋128.0)＝93.6，
由公式可得≈0.880 9.
5．解：由数值表可作散点图如图，
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
设＝，令t＝，则＝kt，原数据变为：
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2 1
由置换后的数值表作散点图如下：
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：
I ti yi tiyi t
1 4 16 64 16
2 2 12 24 4
3 1 5 5 1
4 0.5 2 1 0.25
5 0.25 1 0.25 0.062 5
∑ 7.75 36 94.25 21.312 5
所以＝1.55，＝7.2.
所以≈4.134 4，
≈0.8.
所以＝4.134 4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是＋0.8.

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