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8.3.2　独立性检验
【学习目标】
1.了解随机变量χ2的意义，通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法.
2.通过运用列联表进行独立性检验，提升数学抽象及数据分析素养.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P128～134，思考并完成以下问题
(1) 怎样计算χ2 统计量？什么是判断χ2大小的临界值？
(2) 什么是独立性检验？基于小概率值α的检验规则是什么？
二、课前小测
1．判断
（1）概率值α越小，临界值xα越大．( )
（2）独立性检验的思想类似于反证法．( )
（3）独立性检验的结论是有多大的把握认为两个分类变量有关系．( )
2．如果根据小概率α＝0.01的χ2检测试验，认为H0成立，那么具体算出的数据满足(　　)
附表：
α 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．χ2＞6.635 B．χ2＞5.024
C．χ2＞7.879 D．χ2＞3.841
3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过(　　)
A．0.1% B．1%
C．99% D．99.9%
三、新知探究
1.临界值
χ2＝.
χ2 统计量可以用来作相关性的度量．χ2 越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关
忽略χ2的实际分布与近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．
2．独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立 ，可以认为X和Y独立．
这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．
下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3.应用独立性检验解决实际问题的大致步骤
(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；
(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；
(3)根据检验规则得出推断结论；
(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．
四、题型突破
题型一　有关“相关的检验”
【例1】　某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005 的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？
体育 文娱 合计
男生 21 23 44
女生 6 29 35
合计 27 52 79
【反思感悟】
独立性检验的具体做法
①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值xα.
②利用公式χ2＝计算χ2.
③如果χ2＞xα，则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．
【跟踪训练】
1. 打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：
患心脏病 未患心脏病 合计
每一晚都打鼾 30 224 254
不打鼾 24 1355 1379
合计 54 1579 1633
根据独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系？
题型二　有关“无关的检验”
【例2】　为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科生对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科生对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？
【反思感悟】
独立性检验的关注点
在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．
【跟踪训练】
2. 某教育机构为了研究成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度的关系，随机抽取了392名成年人进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持教育改革 不太赞成教育改革 合计
大学专科以上学历 39 157 196
大学专科以下学历 29 167 196
合计 68 324 392
对于教育机构的研究项目，根据上述数据能得出什么结论？
题型三　独立性检验的综合应用
【例3】　某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层随机抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：时)的样本数据．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：
α 0.100 0.050 0.010 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
χ2＝.
【反思感悟】
(1)解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝计算χ2的值，再用它与临界值xα的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．
(2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．
【跟踪训练】
3. 某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分成绩优秀的人数如下表所示，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系？
物理优秀 化学优秀 总分优秀
数学优秀 228 225 267
数学非优秀 143 156 99
注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．
五、达标检测
1．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为(　　)
①A与B无关，即A与B互不影响；
②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；
③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据
A．0 B．1
C．2 D．3
2．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：
优秀 及格 合计
甲班 11 34 45
乙班 8 37 45
合计 19 71 90
则χ2的观测值约为(　　)
A．0.600 B．0.828
C．2.712 D．6.004
3．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：
种子处理 种子未处理 合计
得病 32 101 133
不得病 61 213 274
合计 93 314 407
根据以上数据，可得出(　　)
A．种子是否经过处理跟是否生病有关
B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．以上都是错误的
4．(多选题)对于分类变量X与Y的随机变量χ2的值，下列说法正确的是(　　)
A．χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小
5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据．
总成绩好 总成绩不好 合计
数学成绩好 478 a 490
数学成绩不好 399 24 423
合计 b c 913
(1)计算a，b，c的值；
(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？
六、本课小结
1．通过本节课的学习，提升数学抽象及数据分析素养．
2．对独立性检验思想的理解
独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算χ2的值，如果χ2值很大，说明假设不合理，χ2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．
参考答案
课前小测
1．答案：√ √ √
2．答案：A
3．答案：B
解析：∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过1%.
题型突破
【例1】解：零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系
∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，
∴χ2＝
＝≈8.106>7.879＝x0.005.
根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关系，此推断犯错误的概率不大于0.005.
【跟踪训练】
1. 解：零假设为H0：打鼾与患心脏病无关系
由列联表中的数据，得
χ2＝
≈68.033>10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
【例2】解：零假设为H0：选报文、理科与对外语的兴趣无关．
列出2×2列联表
理 文 合计
有兴趣 138 73 211
无兴趣 98 52 150
合计 236 125 361
代入公式得χ2的观测值
χ2＝≈1.871×10－4.
∵1.871×10－4＜2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即选报文、理科与对外语的兴趣无关.
【跟踪训练】
2. 解：零假设为H0：成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度无关．
根据表中数据，计算得
χ2＝≈1.78.
因为1.78<2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，所以我们没有理由说成年人具有大学专科以上学历(包括大学专科)和对待教育改革态度有关．
【例3】解：(1)由分层随机抽样可得300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动时间超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别的列联表如下：
男生 女生 合计
每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75
每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225
合计 210 90 300
零假设为H0：该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关．
结合列联表可算得
χ2＝≈4.762>3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.1的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【跟踪训练】
3.解：零假设为H0：数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都无关系．
列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下：
物理优秀 物理非优秀 合计
数学优秀 228 132 360
数学非优秀 143 737 880
合计 371 869 1 240
将表中数据代入公式，得
χ＝≈270.1>10.828＝x0.001.
列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下：
化学优秀 化学非优秀 合计
数学优秀 225 135 360
数学非优秀 156 724 880
合计 381 859 1 240
将表中数据代入公式，得
χ＝≈240.6>10.828＝x0.001.
列出数学成绩与总分成绩的2×2列联表如下：
总分优秀 总分非优秀 合计
数学优秀 267 93 360
数学非优秀 99 781 880
合计 366 874 1 240
将表中数据代入公式，得
χ＝≈486.1>10.828＝x0.001.
根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001.
达标检测
1．答案：B
解析：①错误，A与B无关说明两件事影响较小，不是互不影响；
②正确，A与B关系越密切，说明A与B相关性就越强，χ2的值就越大；
③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.
2．答案：A
解析：根据列联表中的数据，可得χ2＝≈0.600.故选A.
3．答案：B
解析：由χ2＝≈0.164<2.706＝x0.1，
故没有把握认为种子是否经过处理跟是否生病有关．
4．答案：BD
解析：χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
5．解：(1)由478＋a＝490，得a＝12.
由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.
b＝478＋399＝877.
(2)零假设为H0：文科学生总成绩不好与数学成绩不好没有关系．
计算得χ2＝≈6.233>5.024＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05.

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