资源简介

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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2022-2023学年山东省泰安市东平县九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
若反比例函数经过点，则此图象也经过下列点( )
A. B. C. D.
若函数是反比例函数，则的值为( )
A. B. C. D.
抛物线的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，则下列说法正确的是( )
A. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大
B. 两个函数图象的另一交点坐标为
C. 当或时，
D. 反比例函数的解析式是
反比例函数图象上三个点的坐标为、、，若，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
在中，，为锐角，且有，则这个三角形是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
如图，在中，，，，于，设，则的值为( )
A. B. C. D.
如图，从热气球上测定建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为米，且点、、在同一直线上，建筑物、间的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为，点，，都在小正方形的顶点上，则的正弦值是( )
A.
B.
C.
D.
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A. 此抛物线的解析式是
B. 篮圈中心的坐标是
C. 此抛物线的顶点坐标是
D. 篮球出手时离地面的高度是
如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：
；；；；正确的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
若一个反比例函数的图象经过点和，则这个反比例函数的表达式为______．
将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是______．
如图，点，分别是正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为_____．
若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为______．
如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，则经过点的反比例函数解析式为______．
如图，在某监测点 处望见一艘正在作业的渔船在南北偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则，之间的距离为______ 海里．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
计算
本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点的横坐标和点的纵坐标都是，求：
一次函数的解析式；
的面积．
根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值．
本小题分
根据下列条件求二次函数的解析式：
二次函数的图象经过，，三点．
已知抛物线的顶点坐标是，并且经过点．
二次函数的对称轴为，且它经过点．
本小题分
“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款休闲裤，其成本为每条元，当售价为每条元时，每月可销售条，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降元，则每月可多销售条．设每条裤子的售价为元为正整数，每月的销售量为条．
直接写出与的函数关系式；
设该网店每月获得的利润为元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？最大利润是多少？
本小题分
如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼，在小楼的顶端处测得障碍物边缘点的俯角为，测得大楼顶端的仰角为点，，在同一水平直线上已知，，求障碍物，两点间的距离．结果保留根号
本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
求、、三点的坐标；
证明为直角三角形．
本小题分
如图注：与图完全相同，在直角坐标系中，抛物线经过点、、三点．
求抛物线的解析式和对称轴；
是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小的点坐标请在图中探索；
在第四象限的抛物线上是否存在点，使四边形是以为对角线且面积为的平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由请在图中探索
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：反比例函数经过点，
．
A、，此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、，此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、，此点在函数图象上，故本选项正确；
D、，此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选：．
根据题意得出的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：由题意得且，
解得且，
．
故选：．
根据反比例函数的定义，只需令且，解出的值即可．
本题考查反比例函数的概念．
3.【答案】
【解析】解：，是方程的两根，
抛物线与轴交点横坐标是，，
这两个点关于对称轴对称，
对称轴是．
故选：．
已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴．
此题考查对称轴的性质：抛物线上的两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．
4.【答案】
【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故该选项正确；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故该选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误．
故选B．
本题考查二次函数以及一次函数的图象．
可先根据一次函数的图象判断的正负，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
5.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
正比例函数，反比例函数，
两个函数图象的另一个交点为，
正比例函数中，随的增大而增大，反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，
当或时，，
、、选项说法错误；选项C说法正确．
故选：．
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，根据正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
此函数图象的两个分支分别位于第一三象限，且在每一象限内随的增大而减小．
，
、在第三象限，在第一象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，得
，．
，．
．
三角形是等边三角形．
故选：．
根据非负数的性质和特殊角的三角函数值，求得三个角都等于，则这个三角形是等边三角形．
熟记特殊角的锐角三角函数值．
几个非负数的和为则这几个非负数同时为．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据余角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意得，．
米，
米，
则米．
故选：．
此题可利用俯角、的正切值求得、的长，则建筑物、间的距离即可求出．
本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点．
，
．
，
．
．
．
故选：．
过点作于点先利用勾股定理求出、的长，再利用的面积求出的长，最后在直角中求出的正弦值．
本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，利用的面积求出边上的高是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．
A.设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得的值；根据函数图象判断；根据函数图象判断；设这次跳投时，球出手处离地面，因为中求得，当时，即可求得结论．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
可设抛物线的函数关系式为．
篮圈中心在抛物线上，
将它的坐标代入上式，得 ，
，
故本选项正确；
B.由图示知，篮圈中心的坐标是，故本选项错误；
C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是，故本选项错误；
D.设这次跳投时，球出手处离地面，
因为中求得，
当时，
．
这次跳投时，球出手处离地面，故本选项错误．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确，
时，，
，即，故正确，
的图象过点和，
，，
，
，故正确，
，
，
，
，故正确，
，
，
，故正确，
故选：．
利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；根据两根之和，可得，可得，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
13.【答案】
【解析】解：设反比例函数的表达式为，
反比例函数的图象经过点和，
，
解得，舍去，
，
反比例函数的表达式为．
故答案为：．
设反比例函数的表达式为，依据反比例函数的图象经过点和，即可得到的值，进而得出反比例函数的表达式为．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
14.【答案】
【解析】解：将抛物线向右平移个单位所得直线解析式为：；
再向上平移个单位为：，即．
故答案是：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查反比例函数的对称性和的几何意义，根据条件得出，是解题的关键，注意的几何意义的应用．
由反比例函数的对称性可知，，则，再根据反比例函数的几何意义可求得这四个三角形的面积，可求得答案．
【解答】
解：、是两函数图象的交点，
、关于原点对称，
又轴，轴，
，，
，
又点、在反比例函数的图象上，
，
，
故答案为：．
16.【答案】或或
【解析】解：函数的图象与轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，，
解得：，，
当函数为一次函数时，，解得：．
故答案为：或或．
直接利用抛物线与轴相交，，进而解方程得出答案．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出关于的方程是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图．
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
经过点的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：．
故答案为．
过点作轴于点，过点作轴于点，证明∽，利用相似三角形的判定与性质得出，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，那么，进而得出答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求出是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，，，
，
．
又，，，
．
在直角中，，
海里．
故答案是：．
如图，根据题意易求是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求的长度．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．解题的难点是推知是等腰直角三角形．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；
原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：令反比例函数中，则，
点的坐标为；
反比例函数中，则，
解得：，
点的坐标为．
一次函数过、两点，
，解得：，
一次函数的解析式为．
令为中，则，
点的坐标为，
．
观察函数图象发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时的取值范围为或．
【解析】由点、的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点、的坐标，再由点、的坐标利用待定系数法即可得出直线的解析式；
求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合、点的横坐标即可得出结论；
观察函数图象，根据图象的上下关系即可找出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：求出点、的坐标；找出点的坐标；根据函数图象的上下关系解决不等式．
21.【答案】解：这个二次函数解析式，
把三点，，分别代入得：
，
解得：，
故这个二次函数解析式为：；
根据题意，设抛物线的解析式，
抛物线经过点，
，解得，
，
抛物线的解析式为；
二次函数的对称轴为，且它经过点，
，
解得，
二次函数的解析式为．
【解析】先设出二次函数解析式，再把三点坐标分别代入，求出，，的值，即可求出二次函数的解析式；
根据已知设出抛物线的解析式，把点代入即可求得的值，即可求得抛物线的解析式；
根据抛物线对称轴为，经过点，列方程组即可解得，的值，从而得到答案．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：由题意可得：
，
与的函数关系式为；
由题意得：
，
，抛物线开口向下，
有最大值，即当时，，
此时，
当销售单价降低元时，每月获得最大利润，最大利润为为元．
【解析】根据销售单价每降元，则每月可多销售条，写出与的函数关系式；
该网店每月获得的利润元等于每件的利润乘以销售量，由此列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：过点作于点，过点作于点．
则，
在中，，，
．
在中，，，
，
．
答：障碍物，两点间的距离为．
【解析】过点作于点，过点作于点，则，根据直角三角形的性质得出的长，在中，利用锐角三角函数的定义得出的长，根据即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24.【答案】解：对于抛物线，当时，则，
解得，；
当时，，
，，．
证明：连接，，
，，，
，，
；
，
，
，
是直角三角形．
【解析】令，则，解方程求出的值即得到点、的坐标；令，求出的值，即得到点的坐标；
先由点、、的坐标分别求出、、的长，再根据勾股定理分别求出、、，可得，即可根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．
此题重点考查二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理的应用等知识，正确地求出点、、的坐标是解题的关键．
25.【答案】解：将点、的坐标代入二次函数表达式
得：
则
解得：
抛物线的表达式为：
函数的对称轴直线为：
连接、交对称轴于点，此时的值为最小
将点、的坐标代入一次函数表达式：
得：
解得：
直线的表达式为：
当时，
故点
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形
则
点在第四象限
故
将该坐标代入二次函数表达式得：
解得：或
故点的坐标为或
【解析】将点、的坐标代入二次函数表达式得：，即可求解；
连接、交对称轴于点，此时的值为最小，即可求解；
，则，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中第二问，求线段和的最小值，采用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
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