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1.2　空间向量在立体几何中的应用
1.2.1　空间中的点、直线与空间向量
学 习 目 标 核 心 素 养
1．了解空间中的点与空间向量的关系．2．理解直线的方向向量．(重点)3．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法．(重点、难点)4．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法．(重点)5．理解公垂线段的概念并会求其长度． 1．通过学习直线的方向向量，公垂线段等概念，培养数学抽象素养．2．利用向量法证明两直线垂直，求两直线所成的角，提升逻辑推理和数学运算的素养．
在如图所示的正方体中，怎样借助空间向量来描述A、B、C、D在空间中是不同的点？如何借助空间向量来描述直线AD与A1D1，AD与BB1以及AD与AA1的位置关系？怎样借助空间向量来求BC1与BD1所成的角？
1．空间中的点与空间向量
一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量．
提醒：空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定．
2．空间中的直线与空间向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量．此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l．
(1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝，即为直线l的一个方向向量．
思考1：直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？
[提示]　直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行．
思考2：空间中的直线l的位置由v能确定吗？
[提示]　空间中直线l的位置可由v和直线上的一个点唯一确定．
(2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2 l1∥l2或l1与l2重合．
3．空间中两条直线所成的角
(1)设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|．
(2)〈v1，v2〉＝ l1⊥l2 v1·v2＝0．
4．异面直线与空间向量
设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量．
(1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行．
(2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为相交或异面．
提醒：“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件．
(3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，不共面．若v1，v2，不共面，则l1与l2异面．
提醒：“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件．
(4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2．则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离．
提醒：空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l的方向向量是唯一的． (　　)
(2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．
(　　)
(3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×
[提示]　(1)×　与直线l平行或共线的任何向量都可作为l的方向向量．
(2)√
(3)×　k≠0．
2．(教材P36练习A①改编)设A(2,2,3)，B(4,0,1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,5)　　　　　　　 B．(3，－2，－2)
C．(1，－1，－1) D．(－1,1，－1)
C　[＝(4,0,1)－(2,2,3)＝(2，－2，－2)＝2(1，－1，－1)，故选C．]
3．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
B　[∵|a|＝，|b|＝2，a·b＝(0，－2，－1)·(2,0,4)＝－4，
∴cos〈a，b〉＝＝－．
∵异面直线夹角的范围是，∴选B．]
4．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,2)，v2＝(1,0，m)，若l1∥l2，则m等于________．
　[因为l1∥l2，所以存在实数λ，使v1＝λv2．
即(3,0,2)＝λ(1,0，m)，∴∴m＝．]
空间中点的位置确定
【例1】　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)．
(1)若＝(－)，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标．
[思路探究]　(1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标．
(2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算．
[解]　(1)＝(－1,1,5)，＝(－3，－1,5)，
＝(－)＝(2,2,0)＝(1,1,0)，
∴P点的坐标为(1,1,0)．
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，
知＝．
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x,5－y,5－z)，
故(x－3，y－4，z)＝(2－x,5－y,5－z)，
即得
因此P点的坐标为．
此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可.
1．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：
(1)AP∶PB＝1∶2；
(2)AQ∶QB＝2∶1．
求点P和点Q的坐标．
[解]　由已知，得＝2，
即－＝2(－)，
＝＋．
设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得
(x，y，z)＝(2,4,0)＋(1,3,3)，
即x＝＋＝，y＝＋＝，
z＝0＋1＝1．
因此，P点的坐标是．
因为AQ∶QB＝2∶1，
所以＝－2，－＝－2(－)，＝－＋2，
设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示，
得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，
即x′＝0，y′＝2，z′＝6．
因此，Q点的坐标是(0,2,6)．
综上，P点的坐标是，Q点的坐标是(0,2,6)．
利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值)
【例2】　(1)若向量a＝(x,4,5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x＝(　　)
A．3　　　　B．－3　　　　C．－11　　　D．3或－11
A　[∵a·b＝x－8＋10＝x＋2，|a|＝，|b|＝＝3．
∴＝cos〈a，b〉＝＝．
则x＋2＞0，即x＞－2，
则方程整理得x2＋8x－33＝0，
解得x＝－11或x＝3．
x＝－11舍去，
∴x＝3．]
(2)如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°．
①求向量的坐标；
②求与的夹角的余弦值．
[解]　①如图过D作DE⊥BC于E，
则DE＝CD·sin 30°＝，
OE＝OB－BDcos 60°＝1－＝，
∴D的坐标为，
又∵C(0,1,0)，∴＝．
②依题设有A点坐标为
，
∴＝，＝(0,2,0)，
则与的夹角的余弦值：
cos〈，〉＝＝－．
利用向量求异面直线所成角的步骤
(1)确定空间两条直线的方向向量；
(2)求两个向量夹角的余弦值；
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角．
提醒：两异面直线夹角范围为，时刻注意两异面直线夹角的范围是解题的关键．
2．侧棱垂直底面的三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1＝2，点O，M分别是BC，A1C1的中点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)写出三棱柱各顶点及点M的坐标；
(2)求异面直线CM与BA1夹角的余弦值．
[解]　(1)根据图形可求得下列点的坐标：
A(，0,0)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A1(，0,2)，B1(0，－1,2)，C1(0,1,2)，M．
(2)＝，＝(，1,2)，
∴·＝5，||＝，||＝2，
∴cos〈，〉＝＝．
利用空间向量处理平行问题
[探究问题]
1．直线的方向向量在确定直线时起到什么作用？
[提示]　(1)非零性：直线的方向向量是非零向量．
(2)不唯一性：直线l的方向向量有无数多个，可以分为方向相同和相反两类，它们都是共线向量．
(3)给定空间中的任一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
2．两条平行直线的方向向量有什么关系？
[提示]　设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l∥m a∥b a＝λb．
【例3】　(1)已知向量a＝(2,4,10)，b＝(3，x,15)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＝________．
(2)如图所示，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：FC1∥平面ADE．
(1)6　[∵l1∥l2，∴存在实数k使得b＝ka，
∴解得x＝6．]
(2)[证明]　如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)．
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，
因为DA 平面ADE，
AE 平面ADE，
且(0,2,1)＝0×(2,0,0)＋1×(0,2,1)，
即＝0×＋1×，
所以有FC1 平面ADE或FC1∥平面ADE，
又因为FC1 平面ADE，
所以FC1∥平面ADE．
1．(变问法)本例3(2)中G，H分别为AD，B1C1的中点，求证：EGFH为平行四边形．
[证明]　如图所示，建立空间直角坐标系．
则E(2,2,1)，G(1,0,0)，F(0,0,1)，H(1,2,2)．
所以＝(－1，－2，－1)，＝(1,2,1)．
所以＝－，所以∥．
显然EG与FH不重合，故EG∥FH．
又||＝＝，
||＝＝，∴EG＝FH，
∴四边形EGFH为平行四边形．
2．(变问法)本例3(2)条件不变，改为求平面ADE∥平面B1C1F．
[证明]　如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，D(0，0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，
得＝(2,2,1)，＝(2,2,1)，
＝(2,0,0)，＝(－2,0,0)，
所以＝，＝－，
又相互不共面，
所以DE∥FB1，DA∥B1C1，
又DA∩DE＝D，FB1∩B1C1＝B1，
所以平面ADE∥平面B1C1F．
1．证两条直线平行可转化为证明两直线的方向向量平行．
2．用向量法证明线面平行：一是证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；二是证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量且直线不在平面内．
3．利用向量证明面面平行，可转化为证明线面平行．
提醒：利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点．
1．空间中的点与直线可以利用空间坐标与直线的方向向量来研究，更进一步研究空间几何中的平行、垂直关系．
2．在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可构造相应的角求解，也可以借助空间向量求解，建立空间直角坐标系或选择合适的基底都能解决问题．
3．利用空间坐标系可以研究异面直线问题，如异面直线所成的角、异面直线的距离等．
1．若A(1,0,1)，B(2,3,4)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(－1,3,3)　　　　　　 B．(1,3,3)
C．(3,3,5) D．(2,4,6)
B　[＝(2,3,4)－(1,0,1)＝(1,3,3)．]
2．向量a＝(x,1，－2)，b＝(3，x,4)，a⊥b，则x＝(　　)
A．8　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．0
C　[∵向量a＝(x,1，－2)，b＝(3，x,4)，a⊥b，
∴a·b＝3x＋x－8＝0，解得x＝2．故选C．]
3．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量为v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2(－2,0，－1)，则直线l1与l2的位置关系为________．
垂直　[∵v1·v2＝－1×(－2)＋1×0＋2×(－1)＝0，
∴v1⊥v2．]
4．已知向量a＝(1,0，－1)，向量b＝(，0,0)，则〈a，b〉＝________．
45°　[∵a·b＝×1＋0×0＋(－1)×0＝，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝．
又0≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°．]
5．在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成角的余弦值．
[解]　以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0，2,2)，∴＝(－1,0，－2)，
＝(1，－1，－2)，||＝＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝＝．
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