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2022-2023学年浙教版数学九年级下册第3章 投影与三视图 单元检测
一、单选题
1．不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是（　　）
A．相等 B．长的较长 C．短的较长 D．不能确定
2．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（　　）
A．上午12时 B．上午10时 C．上午9时30分 D．上午8时
3．（2022九下·衢州开学考）由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2019九下·镇原期中）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
5．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（　　）
主视图 俯视图
A．52 B．32 C．24 D．9
6．（2021九下·福州开学考）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（　　）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
7．（2022九下·重庆开学考）如图是由8个完全相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2019九下·广州月考）如果用□表示一个小正方体，用 表示两个小立方体的叠加，用■表示三个小立方体的叠加，那么由几个小立方体叠成的几何体从上面看可画成的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
9．右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱锥
10．（2021九下·施秉开学考）圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（　　）
A． cm B．10cm C．6cm D．5cm
二、填空题
11．（2022九下·东阳期中）已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是　 　.
12．下面是一些立体图形的三视图（如图），请在横线上填上立体图形的名称．
　 　　 　
13．（2019九下·沈阳月考）如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而　 　 (填“变大”、“变小”或“不变”).
14．（2022九下·亭湖月考）已知圆锥的侧面积是20π底面半径是4，则该圆锥的母线长是　 　.
15．在桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为　 　。
16．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，从　 　 面看所得到的性状图的面积最小．
三、解答题
17．已知一纸板的形状为正方形ABC D(如图)，其边长为10cm，AD、BC与投影面β平行，AB、C D与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠AB B1=45°，求正投影A1B 1C1D1的面积.
18．如图是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化
19．已知，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角时90°的扇形ABC（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
20．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积．
21．如图，一个圆锥的高为 cm，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求∠BAC的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
22．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
23．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
24．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：
（1）圆锥母线与底面半径的比；
（2）锥角的大小；
（3）圆锥的全面积
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：在同一时刻，同一地点，
不同长度的物体所摆放的相对位置不确定，
所以无法比较物体投影的长度．
故答案为D。
【分析】由于一个物体在一个地点相对地面的位置不同，投影的长度也不一定相同，更何况不同长度的物体，据此分析即可。
2．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：随着太阳升起，物体的影子长度，由长变短，到了中午最短，再变长，
所以四个时间最时的是上午8时，影子最长。
故答案为D。
【分析】由太阳是从东边升起，从最低点升到最高点，而物体的影子长度也随之变化。
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的形状可知，从上面看时，看到的是三个小正方形排成一排，
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义可知俯视图有3列，从左到右小正方形的个数依次为1、1、1.
4．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥.
故答案为：A.
【分析】由主视图和左视图即可判断，该几何体是椎体，由俯视图判断即可确定出具体的形状.
5．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可得长方体的长为4，宽为2，
由主视图可长方体的高为3，
长方体的体积为4×3×2=24.
故答案为：C。
【分析】由俯视图可得长方体的长和宽，由主视图可得长方体的长和高，再计算长方体体积即可。
6．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的母线长为l，由勾股定理可得l，然后根据圆锥的侧面积公式S=πrl进行计算.
7．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：其主视图是
故答案为：D.
【分析】根据主视图的概念可得：主视图有两行，上面一层1个正方形，下面一层3个正方形，且上面的正方形位于中间，据此判断.
8．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：俯视图是从上面看所得到的图形：共有3列，两边中间各有一个小正方体，中间一列，前面有1个小正方体，中间有2个小正方体叠加，后面有3个小正方体叠加．
故答案为：C.
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形：共有3列，两边中间各有一个小正方体，中间一列，前面有1个小正方体，中间有2个小正方体叠加，后面有3个小正方形叠体．
9．【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆。
故答案为：A。
【分析】圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是圆；圆柱的主视图、左视图是矩形；长方体主视图、左视图、俯视图都是矩形；三棱锥的俯视图三角形。
10．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得：2π·5=，
解得R=10，
圆锥的高==5；
故答案为：A.
【分析】 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π 5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
11．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆直径是2，母线是3，
∴圆锥的侧面积为：.
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式“”计算圆锥的侧面积即可.
12．【答案】圆柱；正四面体
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图、左视图都是长方形的，俯视图是圆的几何图形是圆柱；
主视图、左视图、俯视图都是正三角形的几何图形是正四面体。
故答案为：圆柱；正四面体。
【分析】由简单几何体的三视图判断即可。
13．【答案】变小
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：易知投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，设为AD.
当人离墙的距离变小时候（即往右边移动），易知其AD与AB的夹角会变小，AD长度变小，根据勾股定理易知，斜边变小，其中一条直角边固定不变，则另一条直角边肯定会长度变小.
故答案为：变小.
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．
14．【答案】5
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l
∴侧面积=4π×l=20π
∴l=5
故答案为：5.
【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧=πrl进行计算.
15．【答案】5
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图可得最底层小正方体的个数至少为3个，第二层小正方体的个数至少为2个，
∴n=3+2=5，
故答案为：5.
【分析】由主视图和左视图可得此几何体有三行三列，也可知各行至少有多少个小正方体，由此即可得出答案.
16．【答案】左
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，共四个小正方形；
从上面看第一层左边一个小正方形，第二层是三个小正方形，共四个小正方形；
从左面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，共三个小正方形，
故答案为：左．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
17．【答案】解：过A作AE
BB1，交于点E，
因为∠ABB1=45°，
所以AE=BE=
cm
因为四边形ABCD是正方形，AD、BC与投影面β平行，
所以A1D1=B1C1=AD=BC=10cm，
所以正投影A1B 1C1D1的面积=10×
＝
(cm2)
【知识点】平行投影
【解析】【分析】AD、BC与投影面β平行，则A1D1=B1C1=AD=BC，而且四边形ABCD是正方形，可得正投影A1B 1C1D1是正方形，求出A1B1的长即可（根据∠ABB1=45°可求得）。
18．【答案】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大。
【知识点】中心投影
【解析】【分析】由中心投影的特点，当物体与投影面的相对位置保持不变时，光源到物体的距离越近，物体的投影的图形就越大。
19．【答案】解：连接BC，AO，
∵∠BAC=90°，OB=OC，
∴BC是圆0的直径，AO⊥BC，
∵圆的直径为1，
∴AO=OC= ，
则AC= = m，
弧BC的长l= = πm，
则2πR= π，
解得：R= ．
故该圆锥的底面圆的半径是 m
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
20．【答案】解：由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7﹣5=2cm，
从而水与空着的部分的体积比为4：2=2：1．
由第一个图知水的体积为10×4=40，所以总的容积为40÷2×（2+1）=60立方厘米
【知识点】圆柱的计算
【解析】【分析】结合图形，知水的体积不变，从而根据第二个图空着的部分的高度是2cm，可以求得水与空着的部分的体积比为4：2=2：1．结合第一个图中水的体积，即可求得总容积．
21．【答案】（1）解：设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC=l，
∵2πr=πl，
∴l：r=2：1；
（2）解：∵AO⊥OC， =2，
∴圆锥高与母线的夹角为30°，
则∠BAC=60°；
（3）解：由图可知l2=h2+r2，h=3 cm，
∴（2r）2=（3 ）2+r2，即4r2=27+r2，
解得r=3cm，
∴l=2r=6cm，
∴圆锥的侧面积为 =18π（cm2）．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据底面圆的周长对于展开扇形的弧长，就可求出圆锥的母线长和底面圆的半径之比。
（2）由圆锥的母线长和底面圆的半径之比，就可求出∠BAO的度数，再由∠BAC=2∠BAO，就可求出∠BAC的度数。
（3）利用勾股定理求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再求出圆锥的侧面积。
22．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：扇形的圆心角是120°，半径为6cm，
则扇形的弧长是： = =4π
则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr=4π，
解得：r=2．
圆锥的底面半径是2cm．
【知识点】垂径定理；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线，即可作出此扇形的对称轴。
（2）根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的扇形的弧长，列方程求解即可。
23．【答案】（1）解：由题意，可得圆锥的母线SA= =40（cm）
圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π OA=20πcm
∴S侧= L SA=400πcm2
S圆=πAO2=100πcm2，
∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；
（2）解：沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离
由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm
∵ =20πcm，
∴∠S=n= =90°，
∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M
∴SM=30cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）
所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再求出圆锥侧面展开图的扇形的弧长，就可求出圆锥的底面圆的面积及侧面积，然后根据 S全=S圆+S底，就可解答问题。
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离， 利用弧长公式求出扇形圆心角的度数，就可证得△ASM是直角三角形，再根据SM=3AM，求出SM的长，然后利用勾股定理求出AM的长。
24．【答案】（1）解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r
∵圆锥的侧面展开图是半圆
∴2r=
∴R=2r
∴R：r=2：1
（2）解：如图
有、由（1）可知：R=2r
在Rt△AOB中，sin∠BSO=
∴∠BSO=30°
∴∠ASB=2∠BSO=60°
故锥角的度数为60°
（3）解：如图
∵在Rt△SOB中，SO=，R=2r
∴
∴
解之：r=3（取正值）
∴R=6
∴S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆=
∴圆锥的全面积为
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件圆锥的侧面展开图是半圆，利用底面圆的周长=展开扇形的弧长，可求出结果。
（2）根据（1）的结论，利用解直角三角形可求出锥角的度数。
（3）根据圆锥的高和圆锥的母线长和底面圆半径的关系，利用勾股定理，求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再根据S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆，计算即可求解。
1 / 12022-2023学年浙教版数学九年级下册第3章 投影与三视图 单元检测
一、单选题
1．不同长度的物体在同一时刻同一地点的太阳光下得到的投影是（　　）
A．相等 B．长的较长 C．短的较长 D．不能确定
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：在同一时刻，同一地点，
不同长度的物体所摆放的相对位置不确定，
所以无法比较物体投影的长度．
故答案为D。
【分析】由于一个物体在一个地点相对地面的位置不同，投影的长度也不一定相同，更何况不同长度的物体，据此分析即可。
2．小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵随太阳转动的情况，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为（　　）
A．上午12时 B．上午10时 C．上午9时30分 D．上午8时
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：随着太阳升起，物体的影子长度，由长变短，到了中午最短，再变长，
所以四个时间最时的是上午8时，影子最长。
故答案为D。
【分析】由太阳是从东边升起，从最低点升到最高点，而物体的影子长度也随之变化。
3．（2022九下·衢州开学考）由四个完全相同的正方体组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由几何体的形状可知，从上面看时，看到的是三个小正方形排成一排，
故答案为：B.
【分析】根据俯视图的定义可知俯视图有3列，从左到右小正方形的个数依次为1、1、1.
4．（2019九下·镇原期中）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥.
故答案为：A.
【分析】由主视图和左视图即可判断，该几何体是椎体，由俯视图判断即可确定出具体的形状.
5．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（　　）
主视图 俯视图
A．52 B．32 C．24 D．9
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由俯视图可得长方体的长为4，宽为2，
由主视图可长方体的高为3，
长方体的体积为4×3×2=24.
故答案为：C。
【分析】由俯视图可得长方体的长和宽，由主视图可得长方体的长和高，再计算长方体体积即可。
6．（2021九下·福州开学考）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（　　）
A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l＝＝10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2.
故答案为：C.
【分析】设圆锥的母线长为l，由勾股定理可得l，然后根据圆锥的侧面积公式S=πrl进行计算.
7．（2022九下·重庆开学考）如图是由8个完全相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：其主视图是
故答案为：D.
【分析】根据主视图的概念可得：主视图有两行，上面一层1个正方形，下面一层3个正方形，且上面的正方形位于中间，据此判断.
8．（2019九下·广州月考）如果用□表示一个小正方体，用 表示两个小立方体的叠加，用■表示三个小立方体的叠加，那么由几个小立方体叠成的几何体从上面看可画成的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：俯视图是从上面看所得到的图形：共有3列，两边中间各有一个小正方体，中间一列，前面有1个小正方体，中间有2个小正方体叠加，后面有3个小正方体叠加．
故答案为：C.
【分析】俯视图是从上面看所得到的图形：共有3列，两边中间各有一个小正方体，中间一列，前面有1个小正方体，中间有2个小正方体叠加，后面有3个小正方形叠体．
9．右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．三棱锥
【答案】A
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆。
故答案为：A。
【分析】圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是圆；圆柱的主视图、左视图是矩形；长方体主视图、左视图、俯视图都是矩形；三棱锥的俯视图三角形。
10．（2021九下·施秉开学考）圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（　　）
A． cm B．10cm C．6cm D．5cm
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为R，
根据题意得：2π·5=，
解得R=10，
圆锥的高==5；
故答案为：A.
【分析】 设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π 5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
二、填空题
11．（2022九下·东阳期中）已知圆锥的底面圆直径是2，母线是3，则圆锥的侧面积是　 　.
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面圆直径是2，母线是3，
∴圆锥的侧面积为：.
故答案为：.
【分析】根据扇形的面积公式“”计算圆锥的侧面积即可.
12．下面是一些立体图形的三视图（如图），请在横线上填上立体图形的名称．
　 　　 　
【答案】圆柱；正四面体
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图、左视图都是长方形的，俯视图是圆的几何图形是圆柱；
主视图、左视图、俯视图都是正三角形的几何图形是正四面体。
故答案为：圆柱；正四面体。
【分析】由简单几何体的三视图判断即可。
13．（2019九下·沈阳月考）如图，地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计)，一个人在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而　 　 (填“变大”、“变小”或“不变”).
【答案】变小
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：易知投影为光线路程从蜡烛A点到人物头所连接的直线延伸到墙上，设为AD.
当人离墙的距离变小时候（即往右边移动），易知其AD与AB的夹角会变小，AD长度变小，根据勾股定理易知，斜边变小，其中一条直角边固定不变，则另一条直角边肯定会长度变小.
故答案为：变小.
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越近，影长越短，距离墙越远影长越长．
14．（2022九下·亭湖月考）已知圆锥的侧面积是20π底面半径是4，则该圆锥的母线长是　 　.
【答案】5
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l
∴侧面积=4π×l=20π
∴l=5
故答案为：5.
【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧=πrl进行计算.
15．在桌上摆着一个由若干个相同小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，设组成这个几何体的小正方体的个数为n，则n的最小值为　 　。
【答案】5
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图可得最底层小正方体的个数至少为3个，第二层小正方体的个数至少为2个，
∴n=3+2=5，
故答案为：5.
【分析】由主视图和左视图可得此几何体有三行三列，也可知各行至少有多少个小正方体，由此即可得出答案.
16．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，从　 　 面看所得到的性状图的面积最小．
【答案】左
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，共四个小正方形；
从上面看第一层左边一个小正方形，第二层是三个小正方形，共四个小正方形；
从左面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，共三个小正方形，
故答案为：左．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
三、解答题
17．已知一纸板的形状为正方形ABC D(如图)，其边长为10cm，AD、BC与投影面β平行，AB、C D与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1，若∠AB B1=45°，求正投影A1B 1C1D1的面积.
【答案】解：过A作AE
BB1，交于点E，
因为∠ABB1=45°，
所以AE=BE=
cm
因为四边形ABCD是正方形，AD、BC与投影面β平行，
所以A1D1=B1C1=AD=BC=10cm，
所以正投影A1B 1C1D1的面积=10×
＝
(cm2)
【知识点】平行投影
【解析】【分析】AD、BC与投影面β平行，则A1D1=B1C1=AD=BC，而且四边形ABCD是正方形，可得正投影A1B 1C1D1是正方形，求出A1B1的长即可（根据∠ABB1=45°可求得）。
18．如图是一球吊在空中，当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会如何变化
【答案】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大。
【知识点】中心投影
【解析】【分析】由中心投影的特点，当物体与投影面的相对位置保持不变时，光源到物体的距离越近，物体的投影的图形就越大。
19．已知，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角时90°的扇形ABC（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
【答案】解：连接BC，AO，
∵∠BAC=90°，OB=OC，
∴BC是圆0的直径，AO⊥BC，
∵圆的直径为1，
∴AO=OC= ，
则AC= = m，
弧BC的长l= = πm，
则2πR= π，
解得：R= ．
故该圆锥的底面圆的半径是 m
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径．
20．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积．
【答案】解：由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7﹣5=2cm，
从而水与空着的部分的体积比为4：2=2：1．
由第一个图知水的体积为10×4=40，所以总的容积为40÷2×（2+1）=60立方厘米
【知识点】圆柱的计算
【解析】【分析】结合图形，知水的体积不变，从而根据第二个图空着的部分的高度是2cm，可以求得水与空着的部分的体积比为4：2=2：1．结合第一个图中水的体积，即可求得总容积．
21．如图，一个圆锥的高为 cm，侧面展开图是半圆．求：
（1）圆锥的母线长与底面半径之比；
（2）求∠BAC的度数；
（3）圆锥的侧面积（结果保留π）．
【答案】（1）解：设此圆锥的高为h，底面半径为r，母线长AC=l，
∵2πr=πl，
∴l：r=2：1；
（2）解：∵AO⊥OC， =2，
∴圆锥高与母线的夹角为30°，
则∠BAC=60°；
（3）解：由图可知l2=h2+r2，h=3 cm，
∴（2r）2=（3 ）2+r2，即4r2=27+r2，
解得r=3cm，
∴l=2r=6cm，
∴圆锥的侧面积为 =18π（cm2）．
【知识点】圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据底面圆的周长对于展开扇形的弧长，就可求出圆锥的母线长和底面圆的半径之比。
（2）由圆锥的母线长和底面圆的半径之比，就可求出∠BAO的度数，再由∠BAC=2∠BAO，就可求出∠BAC的度数。
（3）利用勾股定理求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再求出圆锥的侧面积。
22．如图：扇形OAB的圆心角∠AOB=120°，半径OA=6cm，
（1）请你用尺规作图的方法作出扇形的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：扇形的圆心角是120°，半径为6cm，
则扇形的弧长是： = =4π
则圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长是4π，
设圆锥的底面半径是r，
则2πr=4π，
解得：r=2．
圆锥的底面半径是2cm．
【知识点】垂径定理；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线，即可作出此扇形的对称轴。
（2）根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开图的扇形的弧长，列方程求解即可。
23．如图，圆锥底面的半径为10cm，高为10 cm．
（1）求圆锥的全面积；
（2）若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离．
【答案】（1）解：由题意，可得圆锥的母线SA= =40（cm）
圆锥的侧面展开扇形的弧长l=2π OA=20πcm
∴S侧= L SA=400πcm2
S圆=πAO2=100πcm2，
∴S全=S圆+S底=（400+100）π=500π（cm2）；
（2）解：沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离
由（1）知，SA=40cm，弧AA′=20πcm
∵ =20πcm，
∴∠S=n= =90°，
∵SA′=SA=40cm，SM=3A′M
∴SM=30cm，
∴在Rt△ASM中，由勾股定理得AM=50（cm）
所以，蚂蚁所走的最短距离是50cm．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再求出圆锥侧面展开图的扇形的弧长，就可求出圆锥的底面圆的面积及侧面积，然后根据 S全=S圆+S底，就可解答问题。
（2）沿母线SA将圆锥的侧面展开，如右图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短距离， 利用弧长公式求出扇形圆心角的度数，就可证得△ASM是直角三角形，再根据SM=3AM，求出SM的长，然后利用勾股定理求出AM的长。
24．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，
求：
（1）圆锥母线与底面半径的比；
（2）锥角的大小；
（3）圆锥的全面积
【答案】（1）解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r
∵圆锥的侧面展开图是半圆
∴2r=
∴R=2r
∴R：r=2：1
（2）解：如图
有、由（1）可知：R=2r
在Rt△AOB中，sin∠BSO=
∴∠BSO=30°
∴∠ASB=2∠BSO=60°
故锥角的度数为60°
（3）解：如图
∵在Rt△SOB中，SO=，R=2r
∴
∴
解之：r=3（取正值）
∴R=6
∴S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆=
∴圆锥的全面积为
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】（1）根据已知条件圆锥的侧面展开图是半圆，利用底面圆的周长=展开扇形的弧长，可求出结果。
（2）根据（1）的结论，利用解直角三角形可求出锥角的度数。
（3）根据圆锥的高和圆锥的母线长和底面圆半径的关系，利用勾股定理，求出圆锥的母线长和底面圆的半径，再根据S圆锥的全面积=S侧面积+S底面圆，计算即可求解。
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