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一元二次函数与幂函数
【考纲解读】
理解一元二次函数和幂函数的定义；
掌握一元二次函数和幂函数的图像与性质，能够运用一元二次函数和幂函数的图像与性质熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、一元二次函数的概念：
1、一元二次函数的定义：
形如y =a+bx+c(a≠0)的函数,叫做一元二次函数；
2、二次函数常见的表示式：
（1）一般式:y =a+bx+c(a≠0)；
（2）顶点式：y =a+，其中顶点坐标是（-,）；
（3）零点式：y =a（x-）(x-)，其中，是方程a+bx+c=0(a≠0)的根，也是抛物线y =a+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标。
二、一元二次函数的图像：
1、二次函数的图像：
（1）一元二次函数的图像是一条抛物线；
（2）当a＞0时，一元二次函数图像的抛物线开口向上；当a＜0时，一元二次函数图像的抛物线开口向下。
2、二次函数的图像的作法：
作一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)的图像的基本方法是：①确定一元二次函数图像的抛物线开口方向；②确定一元二次函数图象的对称轴x=-；③求出一元二次函数图象的顶点坐标（-,）；④求出一元二次函数图象与x轴的交点的横坐标，可以通过解方程 a+bx+c=0(a≠0)得到；⑤作出一元二次函数的大致图象。
三、一元二次函数的性质：
1、一元二次函数y =a+bx+c(a＞0)的性质：
当a＞0时，一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)图像的抛物线开口向上，对称轴为x=-,顶点坐标是（-,），函数在区间（-∞，- ）上单调递减，在区间（- ，+∞）上单调递增，当x=-时，函数y取得最小值，无最大值；方程a+bx+c=0（a≠0）的判别式是⊿=-4ac，（1）当⊿＞0时，一元二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， （2）当⊿=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，（3）当⊿＜0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点；
2、二次函数y =a+bx+c(a＜0)的性质：
当a＜0时，一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)图像的抛物线开口向下，对称轴为x=-, 顶点坐标是（-,），函数在区间（-∞，- ）上单调递增，在区间（- ，+∞）上单调递减，当x=-时，函数y取得最大值，无最小值；方程a+bx+c=0（a≠0）的判别式的判别式是⊿=-4ac，（1）当⊿＞0时，一元二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， （2）当⊿=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，（3）当⊿＜0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点；
四、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系：
a+bx+c=0 ⊿＞0 ⊿=0 ⊿＜0
(a≠0) ≠ = 没有实数根
y =a+bx+c
(a＞0)
a+bx+c＞0 （-∞， ） （-∞， ）
(a＞0)的解集 （，+∞） （，+∞） R
a+bx+c＜0 （，）
(a＞0)的解集
『思考问题』
对于一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0),当a＜0时，应该怎样处理才能运用上表的关系进行解答？
五、一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上的最值：
1、影响一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值的因素：
影响一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值的因素有两个：①二次项系数a的取值；②对称轴x=-的取值。
2、一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上最值的确定：
确定二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上最值的基本方法是：①根据二次项系数a的取值判断二次函数y =a+bx+c(a≠0)图象的开口方向；②根据对称轴x=-的取值判断二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上的单调性；③求出二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上的最值。
六、一元二次函数的综合问题：
一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)的综合问题主要包括：①一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)知识的综合；②一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值问题中含有参数的问题；③一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)与幂函数，指数函数和对数函数的综合问题。
七、幂函数的概念：
1幂函数的定义：
形如y=(aR是常数)的函数，叫做幂函数。
2、幂函数与指数函数的关系：
（1）联系：从结构上看，幂函数和指数函数的解析式都是幂的代数式；
（2）区别：指数函数解析式中幂的底数是常数，指数是自变量x；幂函数解析式中的幂的底数是自变量x，指数是常数。
3、常见的幂函数：
解析式 图像 定义域 值域 单调性 奇偶性
y R上单调递增 奇函数
y=x
0 x R R
Y 在〔0，+∞）
y= R 〔0，+∞） 上单调递增； 偶函数
0 x 在（-∞，0）
上单调递减。
Y R上单调递增 奇函数
y= 0 x R R
y 在〔0，+∞）上 不具有奇偶
y= 〔0，+∞） 〔0，+∞） 单调递增 性
x
y (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ 在(-∞,0)上单调
y= 0 x (0，+∞) (0，+∞) 递减；在(0，+∞) 奇函数
上单调递减。
Y (-∞,0)∪ 在(-∞,0)上单调
(0，+∞) (0，+∞) 递增；在(0，+∞) 偶函数
y= 0 x 上单调递减。
二、幂函数的图像和性质：
1幂函数的图像：
（1）当a＞0时,幂函数y=的图像为单曲线型，幂函数y=的图像都过点（0，0）和点（1，1）；①若a＞1，则函数y=的图像在〔0，+∞）上是向下凸的（简称为凸函数）；②若0＜a＜1，则函数y=的图像在〔0，+∞）上是向上凸的（简称为凹函数）；
（2）当a＜0时,幂函数y=的图像为双曲线型，幂函数y=的图像都过点（1，1），且与x轴，y轴无限接近，在（0，+∞）上图像都是向下凸的；
（3）当a是有理数（即a可表示成既约分数的形式，整数视为分母为1的分数）时，来讨论幂函数y=的图像：①当p，q为奇数时，幂函数y=的图像关于原点对称；②当p为奇数，q为偶数时，幂函数y=的定义域是〔0，+∞）或（0，+∞），其图像只在第一象限内；③当p为偶数，q为奇数时，幂函数y=的图像关于y轴对称；
（4）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
2幂函数的性质：
（1）所有幂函y=（aR）在（0，+∞）上都有意义；
（2）若a＞0时，幂函y=的图像都过点（0，0）和点（1，1），且在第一象限内为单调递增函数；①当0＜a＜1时，幂函数y=的图像向上凸；②当a＞1时，幂函数y=的图像向下凸；
（3）当a＜0时，幂函数y=的图像经过点（1，1），且在第一象限为单调递减函数；
（4）当a=1时，幂函数y=的图像是经过点（0，0）和点（1，1）的一条直线；
（5）当a=0时，幂函数y=的图像是经过点（1，1）且平行于x轴的直线，但要除去点（0，1）；
（6）当a是有理数（即a可表示成既约分数的形式，整数视为分母为1的分数）时，来讨论幂函数y=的性质：①当p、q为奇数时，幂函数y=是奇函数；②当p为偶数，q为奇数时，幂函数y=是偶函数；③当p为奇数，q为偶数时，幂函数y=的定义域是〔0，+∞）或（0，+∞），不具有奇偶性；
（7）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限；如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点；
（8）幂函数y=，当a为奇数时，幂函数y=是奇函数；当a为偶数时，幂函数y=是偶函数。
【探导考点】
考点1一元二次函数的定义，图像和性质：热点①一元二次函数定义及运用；热点②一元二次函数图像及运用；热点③ 一元二次函数性质及运用；热点④一元二次函数图像和性质的综合运用；
考点2幂函数的定义，图像和性质：热点①幂函数定义及运用；热点②幂函数图像及运用；热点③ 幂函数性质及运用；热点④幂函数图像和性质的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列函数是幂函数的是（ ）
A y= B y= C y=5x D y=
2、设a{-1，，1，3}，则使函数f(x)=的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ ）
A 1，3 B -1，1 C -1，3 D -1，1，3
3、已知幂函数f(x)=k.的图像经过点（，），则k+a等于（ ）
A B 1 C D 2
4、已知幂函数f(x)= 的图像经过点（9，3），则f(100)= ；
5、已知一元二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，则一元二次函数f(x)= ；
6、已知一元二次函数f(x)满足：①对任意的xR都有f(x+2)=f(-x+2)，②其图像在y轴上的截距是1，③一元二次函数的最大值是3，求一元二次函数f(x)的解析式；
7、在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。
（1）写出气体其流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1/s）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求幂函数（或一元二次函数）解析式的问题，解答这类问题首先应该理解幂函数（或一元二次函数）的定义，其次是掌握幂函数（或一元二次函数）解析式的一般形式和结构特征；
（2）求幂函数（或一元二次函数）解析式的基本方法是待定系数法，待定系数法的基本方法是：①设出幂函数（或一元二次函数）的一般式；②根据条件列出关于待定系数的方程（或方程组）；③求解方程（或方程组）求出待定系数；④把③中求得的结果代入假设式就可得出幂函数（或一元二次函数）的解析式。
〔练习1〕解答下列问题：
在函数y=，y=2，y=-x，y=1中，是幂函数的有 ；
2、已知函数f(x)=( -m-1) 。
（1）若函数f(x)是幂函数，则m= ；
（2）若函数f(x)是正比例函数，则m= ；
（3）若函数f(x)是反比例函数，则m= 。
3、已知二次函数f(x)=a+bx+1，（a，bR），xR，若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，则函数f(x)= ；
4、若二次函数f(x)=（x+a）（bx+2a）（常数a，bR）是偶函数，且它的值域为（-，4］，则该函数的解析式f(x)= ；
5、已知二次函数的顶点坐标是（-1，2），且f(1)=7，求二次函数的解析式；
6、已知二次函数f(x)满足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式。
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)= 的图像大致是（ ）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
2、下列命题中正确的是（ ）
A当a=0时，函数y=的图像是一条直线 B幂函数的图像都经过（0，0），（1，1）两点C若幂函数y=的图像关于原点对称，则y=在定义域上是指数D幂函数的图像不可能在第四象限
3、在同一直角坐标系内作出下列幂函数的图像：
（1）y=x； （2）y=； （3）y=； （4）y=； （5）y=； （6）y=。
4、作出下列一元二次函数的图像：
（1）作出函数f(x)=； （2）作出函数f(x)=2+4x+3的图像； （3）作出函数f(x)=- +4x-2的图像。
5、已知幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），求该幂函数的解析式，并作出幂函数的图像，判断幂函数的单调性与奇偶性。
『思考问题2』
（1）【典例2】是一元二次函数（或幂函数）图像及运用的问题，解答这类问题需要了解一元二次函数（或幂函数）的图像，掌握一元二次函数（或幂函数）图像的基本作法；
（2）若a＞0,则幂函数y=的图像为单曲线型，幂函数y=的图像都过点（0，0）和点（1，1）；①当a＞1时，图像在〔0，+∞）上是向下凸的（简称为凸函数）；②当0＜a＜1时，图像在〔0，+∞）上是向上凸的（简称为凹函数）；
（3）若a＜0,则幂函数y=的图像为双曲线型，幂函数y=的图像都过点（1，1），且与x轴、y轴无限接近，在（0，+∞）上图像都是向左凸的；
（4）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
（5）作一元二次函数f(x)=a+bx+c(a≠0)的图像的基本步骤是：①确定图像的开口方向和顶点坐标；②确定图像的对称轴；③求出图像与x轴的交点坐标；④作出函数的大致图像。
〔练习2〕解答下列问题： y
1、如图所示的曲线是幂函数y=在第一象限
的图像，已知a取2， 四个值，则相应 1 ----|
于，，，的a依次为（ ） 0 1 x
A -2，-，，2 B -2，，-，-2 C -，-2，2， D 2，，-2，-
2、在同一直角坐标系内作出下列幂函数的图像：
（1）y=x； （2）y=； （3）y=； （4）y=； （5）y=； （6）y=。
3、已知幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），试求出此函数的解析式，并作出其图像，判断其奇偶性和单调性； （答案：函数f(x)=；图像如图所示；函数在（0，+）上单调递减，不具有奇偶性。）
4、作出下列一元二次函数的图像：
（1）作出函数f(x)=2-3x-2的图像； （2）作出函数f(x)=- +3x-2的图像。
【典例3】解答下列问题：
1、当0＜a＜b＜1时，下列不等式正确的是（ ）
A＞ B＞ C＞ D＞
2、下列幂函数中，①y=；②y=；③y=x；④y=；⑤y=。其中在定义域内为增函数的个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
3、设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）
A a＜c＜b B b＜a＜c C a＜b＜c D c＜a＜b
4、函数f(x)= +mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是（ ）
A m=-2 B m=2 C m=-1 D m=1
5、函数f(x)= a+(a-3)x+1在区间［-1，+）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（ ）
A ［-3，0） B （-，-3］ C ［-2，0］ D ［-3，0］
如果二次函数f(x)= -(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，求f(2)的取值范围；
7、已知幂函数f(x)= 给出下列命题：
（1）若x＞1，则f(x) ＞1；（2）若0＜＜，则f()-f()＞-；（3）若0＜＜，则f()＜f()；（4）若0＜＜，则＞，其中所有正确命题的序号是 ；
8、已知二次函数f(x)= -x+1在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，则实数m的取值范围是 ；
9、已知a是实数，函数f(x)=2 a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0，则实数a的取值范围为 ；
10、已知＜，求m的取值范围；
11、已知＞，求x的取值范围；
12、证明幂函数f(x)= 在〔0，+∞）上是增函数；
13、若点（，2）在幂函数f(x)的图像上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上，定义h(x)= f(x)，f(x)≤g(x)，试求函数h(x)的最大值以及单调区间。
g(x)，f(x)＞g(x)，
14、已知幂函数f(x)= (m∈)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，求满足＜的a的取值范围；
15、已知二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)的图像与直线y=25有公共点，且不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，求a，b，c的取值范围；
16、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。
『思考问题3』
（1）【典例3】是一元二次函数（或幂函数）)性质及运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握一元二次函数（或幂函数）的性质，注意结合一元二次函数（或幂函数）的图像；
（2）一元二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)的性质与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)的知识密切联系在一起，解答问题时应注意结合一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)的相关知识；
（3）幂函数y=的性质是由a的取值来确定的，对于常数a一般有：①a>0；②
a<0两种情况；
（4）运用幂函数y=的性质应从如下几个方面入手：①根据常数a的取值弄清幂函数y=的图像；②分辨清楚幂函数y=的图像在第一象限的凹、凸性；③判别幂函数y=的奇偶性；
（5）比较幂值大小的常见类型有：①底数相同，指数不同，比较的基本方法是运用指数函数的单调性进行比较；②底数不同，指数相同，比较的基本方法是运用幂函数的单调性进行比较；③底数不同，指数也不相同，比较的基本方法是确定一个中间值，再将两个幂值与中间值进行比较，然后得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
已知幂函数y=，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则实数a的取值范围是（ ）
A 0＜a＜1 B a＜1 C 0＜a D a＜0
2、下列幂函数中图像过点（0，0），（1，1），且是偶函数的是（ ）
A y= B y= C y= D y=
3、下列关系中正确的是（ ）
A ＜＜ B ＜＜
C ＜＜ D ＜＜
下列函数中定义域和值域不同的函数是（ ）
A y= B y= C y= D y=
5、幂函数y=(mZ)的图像如图所示， y
则m的值为（ ） | 1 |
A 3 B 0 C 1 D 2 -1 0 1 x
6、已知x［-1，1］时, f(x)= -ax+＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A （0，2） B （2，+） C （0，+） D （0，4）
7、已知幂函数y=（m）的图像与x轴，y轴无交点且关于原点对称，则m=
；
已知幂函数y=f(x)的图像过点（，），则lgf(2)+lgf(5)= ；
9、已知幂函数f(x)= 若f(a+1) ＜f(10-2a)，则a的取值范围是 ；
10、函数y= 的定义域是 ；
11、已知f(x)= - -2，f(-2014)=5，则f(2014)= ；
12、若函数f(x)= （a＞0，且a 1）在［-1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=（1-4m）在〔0，+∞）上是增函数，则a= ；
13、比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和； （3）和。
证明幂函数y=在区间〔0，+∞）上是增函数，在区间(-∞,0〕上是减函数；
15、已知幂函数y=（m），的图像关于y轴对称，且在（0，+）上函数值随x的增大而减小，求满足＜的a的取值范围。
【典例4】解答下列问题：
1、求函数f(x)=2+3x+1在区间〔2，3〕上的最大值与最小值；
2、设函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔0，2〕上有最小值3，求a的值；
3、已知函数f(x)=a+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，求实数a的值；
4、已知函数f(x)=+3x-5，x〔t，t+1〕。
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）求f(x)的最大值g(t)。
5、已知函数f(x)=+2ax+2，x［-5，5］.
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在［-5，5］上是单调函数。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题，解答这类问题首先应该明确影响二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值的因素，其次是确定二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的单调性；
（2）二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题主要包括：①对称轴不确定，区间确定；②对称轴确定，区间不确定；③对称轴和区间都不确定三种类型；
（3）在区间内同时讨论最大值和最小值问题时应分：①对称轴在闭区间的左边或过左端点；②对称轴在闭区间之间并靠近左端点；③对称轴在闭区间之间并靠近右端点； ④ 对称轴在闭区间的右边或过右端点四种情况来讨论。
〔练习4〕解答下列问题：
设一元二次函数f(x)= a-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为 ；
已知二次函数f(x)= +(a+1)x+3在区间（2，3）上是增函数，求f(3)的取值范围；
3、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。
4、求函数f(x)=3+2x+2在区间〔2，5〕上的最大值与最小值；
5、已知函数f(x)=a-2x(0 x 1)，求函数f(x)的最小值；
6、已知函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔1，3〕上有最大值2，求a的值；
7、若函数f(x)=1-2a-2acosx-2sinx的最小值为g(x)。
（1）求g(x)的表达式；
（2）求能使g(x)= 的a值，并求出当a取此值时，f(x)的最大值。
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)= - 的零点个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、 函数f(x)=-+4x-4在区间〔1，3〕上的零点情况是（ ）
A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点
3、已知关于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m的取值范围是 ；
4、对于实数a和b，定义运算“”：ab= -ab，a＞b，设f(x)=(2x-1) （x-1），且关-ab，ab，于x的方程f(x)=m（mR）恰有
三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是 ；
5、已知关于x的二次方程+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围；
6、已知a是实数，函数f(x)=2a+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间〔-1，1〕上有零点，求实数a的取值范围。
『思考问题5』
（1）【典例5】是一元二次函数（或幂函数）与零点相关的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，掌握函数零点存在定理和确定函数零点的基本方法；
（2）解答幂函数的零点问题的基本方法是根据幂函数的性质，运用幂函数的图像实施解答；
（3）解答一元二次函数零点问题的基本方法是，根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系定理实施解答；
（4）解答一元二次函数与幂函数混合的零点问题的基本方法是：①在同一直角坐标系中作出一元二次函数和幂函数的图像；②借助函数图像确定两个函数图像的交点所在的区间（个数）；③得出函数零点所在的区间（或个数）。
〔练习5〕解答下列问题：
函数f(x)= - 的零点个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、 函数f(x)=-+2x-2在区间〔0,2〕上的零点情况是（ ）
A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点
3、已知关于x的二次方程+mx+m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-2，0）内，另一根在区间（2，3）内，求实数m的取值范围；
4、已知m是实数，函数f(x)=m+2x-3+m，如果函数y=f(x)在区间〔-1,1〕上有零点，求实数m的取值范围。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知关于x的方程-ax+3=0有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A （4，+ ） B （- ，4） C （- ，2） D （2，+ ）
2、已知函数f(x)= 的定义域为R，其中a为实数。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，是否存在实数m满足对任意[-1，1]，都存在R，使得++m(
)-1 f()成立？若存在，求实数m的 取值范围；若不存在，请说明理由（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于一元二次函数与幂函数的试题，归结起来主要包括：①求一元二次函数（或幂函数）的解析式；②一元二次函数（或幂函数）的图像与运用；③一元二次函数（或幂函数）的性质与运用；④一元二次函数（或幂函数）的最值问题；⑤一元二次函数（或幂函数）的综合问题等几种类型。
解答问题的基本方法是：①判断问题属于哪一种类型；②根据该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知幂函数f(x)= （a为常数）的图像经过点（3，），则a的值是 （成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
2、已知函数f(x)= 。
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在（0，+）上是减函数（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
一元二次函数与幂函数
【考纲解读】
理解一元二次函数和幂函数的定义；
掌握一元二次函数和幂函数的图像与性质，能够运用一元二次函数和幂函数的图像与性质熟练解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、一元二次函数的概念：
1、一元二次函数的定义：
形如y =a+bx+c(a≠0)的函数,叫做一元二次函数；
2、二次函数常见的表示式：
（1）一般式:y =a+bx+c(a≠0)；
（2）顶点式：y =a+，其中顶点坐标是（-,）；
（3）零点式：y =a（x-）(x-)，其中，是方程a+bx+c=0(a≠0)的根，也是抛物线y =a+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标。
二、一元二次函数的图像：
1、二次函数的图像：
（1）一元二次函数的图像是一条抛物线；
（2）当a＞0时，一元二次函数图像的抛物线开口向上；当a＜0时，一元二次函数图像的抛物线开口向下。
2、二次函数的图像的作法：
作一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)的图像的基本方法是：①确定一元二次函数图像的抛物线开口方向；②确定一元二次函数图象的对称轴x=-；③求出一元二次函数图象的顶点坐标（-,）；④求出一元二次函数图象与x轴的交点的横坐标，可以通过解方程 a+bx+c=0(a≠0)得到；⑤作出一元二次函数的大致图象。
三、一元二次函数的性质：
1、一元二次函数y =a+bx+c(a＞0)的性质：
当a＞0时，一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)图像的抛物线开口向上，对称轴为x=-,顶点坐标是（-,），函数在区间（-∞，- ）上单调递减，在区间（- ，+∞）上单调递增，当x=-时，函数y取得最小值，无最大值；方程a+bx+c=0（a≠0）的判别式是⊿=-4ac，（1）当⊿＞0时，一元二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， （2）当⊿=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，（3）当⊿＜0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点；
2、二次函数y =a+bx+c(a＜0)的性质：
当a＜0时，一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)图像的抛物线开口向下，对称轴为x=-, 顶点坐标是（-,），函数在区间（-∞，- ）上单调递增，在区间（- ，+∞）上单调递减，当x=-时，函数y取得最大值，无最小值；方程a+bx+c=0（a≠0）的判别式的判别式是⊿=-4ac，（1）当⊿＞0时，一元二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， （2）当⊿=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，（3）当⊿＜0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点；
四、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系：
a+bx+c=0 ⊿＞0 ⊿=0 ⊿＜0
(a≠0) ≠ = 没有实数根
y =a+bx+c
(a＞0)
a+bx+c＞0 （-∞， ） （-∞， ）
(a＞0)的解集 （，+∞） （，+∞） R
a+bx+c＜0 （，）
(a＞0)的解集
『思考问题』
对于一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0),当a＜0时，应该怎样处理才能运用上表的关系进行解答？
五、一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上的最值：
1、影响一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值的因素：
影响一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值的因素有两个：①二次项系数a的取值；②对称轴x=-的取值。
2、一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上最值的确定：
确定二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上最值的基本方法是：①根据二次项系数a的取值判断二次函数y =a+bx+c(a≠0)图象的开口方向；②根据对称轴x=-的取值判断二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上的单调性；③求出二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上的最值。
六、一元二次函数的综合问题：
一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)的综合问题主要包括：①一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)知识的综合；②一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值问题中含有参数的问题；③一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)与幂函数，指数函数和对数函数的综合问题。
七、幂函数的概念：
1幂函数的定义：
形如y=(aR是常数)的函数，叫做幂函数。
2、幂函数与指数函数的关系：
（1）联系：从结构上看，幂函数和指数函数的解析式都是幂的代数式；
（2）区别：指数函数解析式中幂的底数是常数，指数是自变量x；幂函数解析式中的幂的底数是自变量x，指数是常数。
3、常见的幂函数：
解析式 图像 定义域 值域 单调性 奇偶性
y R上单调递增 奇函数
y=x
0 x R R
Y 在〔0，+∞）
y= R 〔0，+∞） 上单调递增； 偶函数
0 x 在（-∞，0）
上单调递减。
Y R上单调递增 奇函数
y= 0 x R R
y 在〔0，+∞）上 不具有奇偶
y= 〔0，+∞） 〔0，+∞） 单调递增 性
x
y (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ 在(-∞,0)上单调
y= 0 x (0，+∞) (0，+∞) 递减；在(0，+∞) 奇函数
上单调递减。
Y (-∞,0)∪ 在(-∞,0)上单调
(0，+∞) (0，+∞) 递增；在(0，+∞) 偶函数
y= 0 x 上单调递减。
二、幂函数的图像和性质：
1幂函数的图像：
（1）当a＞0时,幂函数y=的图像为单曲线型，幂函数y=的图像都过点（0，0）和点（1，1）；①若a＞1，则函数y=的图像在〔0，+∞）上是向下凸的（简称为凸函数）；②若0＜a＜1，则函数y=的图像在〔0，+∞）上是向上凸的（简称为凹函数）；
（2）当a＜0时,幂函数y=的图像为双曲线型，幂函数y=的图像都过点（1，1），且与x轴，y轴无限接近，在（0，+∞）上图像都是向下凸的；
（3）当a是有理数（即a可表示成既约分数的形式，整数视为分母为1的分数）时，来讨论幂函数y=的图像：①当p，q为奇数时，幂函数y=的图像关于原点对称；②当p为奇数，q为偶数时，幂函数y=的定义域是〔0，+∞）或（0，+∞），其图像只在第一象限内；③当p为偶数，q为奇数时，幂函数y=的图像关于y轴对称；
（4）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
2幂函数的性质：
（1）所有幂函y=（aR）在（0，+∞）上都有意义；
（2）若a＞0时，幂函y=的图像都过点（0，0）和点（1，1），且在第一象限内为单调递增函数；①当0＜a＜1时，幂函数y=的图像向上凸；②当a＞1时，幂函数y=的图像向下凸；
（3）当a＜0时，幂函数y=的图像经过点（1，1），且在第一象限为单调递减函数；
（4）当a=1时，幂函数y=的图像是经过点（0，0）和点（1，1）的一条直线；
（5）当a=0时，幂函数y=的图像是经过点（1，1）且平行于x轴的直线，但要除去点（0，1）；
（6）当a是有理数（即a可表示成既约分数的形式，整数视为分母为1的分数）时，来讨论幂函数y=的性质：①当p、q为奇数时，幂函数y=是奇函数；②当p为偶数，q为奇数时，幂函数y=是偶函数；③当p为奇数，q为偶数时，幂函数y=的定义域是〔0，+∞）或（0，+∞），不具有奇偶性；
（7）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限；如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点；
（8）幂函数y=，当a为奇数时，幂函数y=是奇函数；当a为偶数时，幂函数y=是偶函数。
【探导考点】
考点1一元二次函数的定义，图像和性质：热点①一元二次函数定义及运用；热点②一元二次函数图像及运用；热点③ 一元二次函数性质及运用；热点④一元二次函数图像和性质的综合运用；
考点2幂函数的定义，图像和性质：热点①幂函数定义及运用；热点②幂函数图像及运用；热点③ 幂函数性质及运用；热点④幂函数图像和性质的综合运用。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列函数是幂函数的是（ ）
A y= B y= C y=5x D y=
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②幂函数结构特征及运用。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用幂函数的结构特征，结合问题条件对各选项是否是幂函数进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A, 底数5是常数，指数是自变量与幂函数的结构不符合，A错误；对B， 底数是自变量，指数5是常数与幂函数的结构相符合，B正确，应该选B。
2、设a{-1，，1，3}，则使函数f(x)=的定义域为R且为奇函数的所有a值为（ ）
A 1，3 B -1，1 C -1，3 D -1，1，3
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法；③奇函数定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数和奇函数的性质，运用幂函数结构特征和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件对a取-1，，1，3时，函数f(x)是否是定义在R上的奇函数进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=-1时，函数f(x)= 的定义域为（-，0）（0，+）R，函数f(x)= 不是定义域为R的奇函数；当a=时，函数f(x)= 的定义域为［0，+）R，函数f(x)= 不是定义域为R的奇函数；当a=1时，函数f(x)=x的定义域为R，且f(-x)=-x=- f(x)，函数f(x)=x是定义域为R的奇函数；当a=3时，函数f(x)= 的定义域为R，且f(-x)= =-=- f(x)，函数f(x)= 是定义域为R的奇函数； A正确，选A。
3、已知幂函数f(x)=k.的图像经过点（，），则k+a等于（ ）
A B 1 C D 2
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②幂函数结构特征及运用；③求幂函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用幂函数结构特征和求幂函数解析式的基本方法，结合问题条件求出k，a的值，从而求出k+a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=k.是幂函数，k=1，函数f(x)=，函数f(x)=的图像经过点（，），===，a=,k+a=1+=， C正确，选C。
4、已知幂函数f(x)= 的图像经过点（9，3），则f(100)= ；
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②求幂函数解析式的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用求幂函数解析式的基本方法，结合问题条件求出幂函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法就可求出f(100)的值。
【详细解答】幂函数f(x)= 的图像经过点（9，3），3==，a=,幂函数f(x)=, f(100)= =10。
5、已知一元二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，则一元二次函数f(x)= ；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求一元二次函数解析式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b，c的值就可求出一元二次函数f(x)的解析式。
【详细解答】设一元二次函数f(x)=a+bx+c(a0)，函数f(x)与X轴的两个交点坐标为（0，0）和（-2，0）且有最小值-1，f(0)=0+0+c=0①，f(-2)=4a-2b+c=0②，=-1③，联立①②③解得：a=1，b=2，c=0，一元二次函数f(x)=+2x。
6、已知一元二次函数f(x)满足：①对任意的xR都有f(x+2)=f(-x+2)，②其图像在y轴上的截距是1，③一元二次函数的最大值是3，求一元二次函数f(x)的解析式；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求一元二次函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求一元二次函数解析式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组求出a，b，c的值就可求出一元二次函数f(x)的解析式。
【详细解答】设一元二次函数f(x)=a+bx+c(a0)，一元二次函数f(x)满足：①对任意的xR都有f(x+2)=f(-x+2)，②其图像在y轴上的截距是1，③一元二次函数的最大值是3，-=2①，f(0)=0+0+c=1②，=3③，a<0④，联立①②③④解得：a=-，b=2，c=1，或a=-1，b=4，c=-1，一元二次函数f(x)=-+2x+1或f(x)=-+4x-1。
7、在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比。
（1）写出气体其流量速率v关于管道半径r的函数解析式；
（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1/s）。
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②正比例函数定义与性质；③求幂函数解析式的基本方法；④求函数值的基本方法。
【解题思路】（1）根据正比例函数的性质，结合问题条件就可求出写出气体流量速率v关于管道半径r的函数解析式；（2）把流量速率v，管道半径r的值代入（1）的函数解析式求出k的值就可得到流量速率v的表达式；（3）根据求函数值的基本方法就可求出该气体的流量速率。
【详细解答】（1）流量速率v与管道半径r的四次方成正比，流量速率v=k；（2）气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400/s，400=k，k=, v=；
(3)当r=5时，v= 3088（/s）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求幂函数（或一元二次函数）解析式的问题，解答这类问题首先应该理解幂函数（或一元二次函数）的定义，其次是掌握幂函数（或一元二次函数）解析式的一般形式和结构特征；
（2）求幂函数（或一元二次函数）解析式的基本方法是待定系数法，待定系数法的基本方法是：①设出幂函数（或一元二次函数）的一般式；②根据条件列出关于待定系数的方程（或方程组）；③求解方程（或方程组）求出待定系数；④把③中求得的结果代入假设式就可得出幂函数（或一元二次函数）的解析式。
〔练习1〕解答下列问题：
1、在函数y=，y=2，y=-x，y=1中，是幂函数的有 ；（答案：是幂函数的有y=，y=1。）
2、已知函数f(x)=( -m-1) 。
（1）若函数f(x)是幂函数，则m= ；
（2）若函数f(x)是正比例函数，则m= ；
（3）若函数f(x)是反比例函数，则m= 。（答案：（1）若函数f(x)是幂函数，则m=-1或m=2；（2）若函数f(x)是正比例函数，则m=-；（3）若函数f(x)是反比例函数，则m=-。）
3、已知二次函数f(x)=a+bx+1，（a，bR），xR，若函数f(x)的最小值为f(-1)=0，则函数f(x)= ；（答案：函数f(x)=+2x+1）
4、若二次函数f(x)=（x+a）（bx+2a）（常数a，bR）是偶函数，且它的值域为（-，4］，则该函数的解析式f(x)= ；（答案：函数f(x)=-2+4）
5、已知二次函数的顶点坐标是（-1，2），且f(1)=7，求二次函数的解析式；（答案：函数f(x)=+x+。）
6、已知二次函数f(x)满足f（2）=-1，f（-1）=-1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式。（答案：函数f(x)=-4+4x+7。）
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)= 的图像大致是（ ）
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
A B C D
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②幂函数的图像及运用。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用幂函数的图像，结合问题条件确定函数f(x)= 的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= 的定义域为R，A，D错误，排除A，D，＞1，函数f(x)在定义域上单调递增，C错误，排除C，B正确，选B。
2、下列命题中正确的是（ ）
A当a=0时，函数y=的图像是一条直线 B幂函数的图像都经过（0，0），（1，1）两点C若幂函数y=的图像关于原点对称，则y=在定义域上是指数D幂函数的图像不可能在第四象限
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②幂函数的图像及运用。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用幂函数的图像征，结合问题条件对各选项的正确与错误分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当a=0时，函数y=的定义域是（-，0）（0，+），函数y=的图像两条射线，不是一条直线，A错误；对B，当a＜0时，函数y=的图像不过点（0，0），B错误；对C, 幂函数y=的图像关于原点对称，函数y=是奇函数，不是指数，C错误；对D，幂函数y=的图像一定不过第四象限，幂函数y=的图像不可能在第四象限，D正确，选D。
3、在同一直角坐标系内作出下列幂函数的图像：
（1）y=x； （2）y=； （3）y=； （4）y=； （5）y=； （6）y=。
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②作幂函数图像的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用作幂函数图像的基本方法，结合问题条件在同一直角坐标系中就可分别作出各幂函数的图像。
【详细解答】函数y=x，y=，y=，y=，y=，y=是指数分别为1，2，3，
，-1，-2的幂函数，在同一直角坐标系中作出函数y=x，y=，y=，y=，y=，y=的图像如图所示：
4、作出下列一元二次函数的图像：
（1）作出函数f(x)=； （2）作出函数f(x)=2+4x+3的图像； （3）作出函数f(x)=- +4x-2的图像。
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②作一元二次函数图像的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用作一元二次函数图像的基本方法，结合问题条件在同一直角坐标系中就可分别作出各一元二次函数的图像。
【详细解答】函数f(x)=，f(x)=2+4x+3，f(x)=- +4x-2的顶点坐标分别为（0，0），
（-1，1），（2，2），对称轴分别为x=0，x=-1,x=2，与X轴的交点分别是（0，0），无交点，（2-，0），（2+，0），图像的开口分别是向上，向上，向下，在同一直角坐标系中作出函数f(x)=，f(x)=2+4x+3，f(x)=- +4x-2的图像如图所示：
5、已知幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），求该幂函数的解析式，并作出幂函数的图像，判断幂函数的单调性与奇偶性。
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②作幂函数图像的基本方法；③求函数解析式的基本方法；④判断函数单调性的基本方法；⑤判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件就可求出幂函数的解析式；运用作幂函数图像的基本方法就可作出幂函数的图像；利用判断函数单调性（或奇偶性）的基本方法就可判断幂函数的单调性（或奇偶性）。
【详细解答】设幂函数f(x)= ，幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），=，a=，幂函数的解析式为f(x)=；作出函数f(x)=的图像如图所示；函数f(x)=的定义域为［0，+ ），任取， ［0，+ ），且＜， f()- f()=-
==＜0，函数f(x)=在［0，+ ）上单调递增；函数f(x)=定义域为［0，+ ）关于原点不对称，函数f(x)=不具有奇偶性。
『思考问题2』
（1）【典例2】是一元二次函数（或幂函数）图像及运用的问题，解答这类问题需要了解一元二次函数（或幂函数）的图像，掌握一元二次函数（或幂函数）图像的基本作法；
（2）若a＞0,则幂函数y=的图像为单曲线型，幂函数y=的图像都过点（0，0）和点（1，1）；①当a＞1时，图像在〔0，+∞）上是向下凸的（简称为凸函数）；②当0＜a＜1时，图像在〔0，+∞）上是向上凸的（简称为凹函数）；
（3）若a＜0,则幂函数y=的图像为双曲线型，幂函数y=的图像都过点（1，1），且与x轴、y轴无限接近，在（0，+∞）上图像都是向左凸的；
（4）幂函数y=的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
（5）作一元二次函数f(x)=a+bx+c(a≠0)的图像的基本步骤是：①确定图像的开口方向和顶点坐标；②确定图像的对称轴；③求出图像与x轴的交点坐标；④作出函数的大致图像。
〔练习2〕解答下列问题： y
1、如图所示的曲线是幂函数y=在第一象限
的图像，已知a取2， 四个值，则相应 1 ----|
于，，，的a依次为（ ）（答案：D） 0 1 x
A -2，-，，2 B -2，，-，-2 C -，-2，2， D 2，，-2，-
2、在同一直角坐标系内作出下列幂函数的图像：
（1）y=x； （2）y=； （3）y=； （4）y=； （5）y=； （6）y=。
Y y
（答案： 0 x ） 0 x
（3题图）
3、已知幂函数y=f(x)的图像经过点（2，），试求出此函数的解析式，并作出其图像，判断其奇偶性和单调性； （答案：函数f(x)=；图像如图所示；函数在（0，+）上单调递减，不具有奇偶性。）
4、作出下列一元二次函数的图像：
（1）作出函数f(x)=2-3x-2的图像； （2）作出函数f(x)=- +3x-2的图像。
y y
0 x 0 x
【典例3】解答下列问题：
1、当0＜a＜b＜1时，下列不等式正确的是（ ）
A＞ B＞ C＞ D＞
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，0＜a＜b＜1，0＜1-a＜1，＞b, ＜,A错误；对B，0＜a＜b＜1，1＜1+a＜1+b， ＜，B错误；对C，0＜a＜b＜1，0＜1-a＜1，b＞, ＜，C错误；对D，0＜a＜b＜1，0＜1-b＜1-a＜1，＞＞,D正确，选D。
2、下列幂函数中，①y=；②y=；③y=x；④y=；⑤y=。其中在定义域内为增函数的个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条件对各函数的单调性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对①， 函数y=在定义域（-，0），（0，+）上单调递减，①不是；对②， 函数y=在定义域[0，+）上单调递增，②是；对③， 函数y=x在定义域R上单调递增，③是；对④， 函数y=在定义域（-，0）上单调递减，④不是；对⑤， 函数y=在定义域R上单调递增，⑤是，B正确，选B。
3、设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）
A a＜c＜b B b＜a＜c C a＜b＜c D c＜a＜b
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件确定出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a== ，b== ，0.6>0.4， a=< b=，B错误，排除B；0<0.6<1，0.5>0.3， b=< c=，A，D错误，排除A，D；C正确，选C。
4、函数f(x)= +mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是（ ）
A m=-2 B m=2 C m=-1 D m=1
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件求出m的值就可得出选项。
【详细解答】①充分性，当m=-2时，函数f(x)= +mx+1图像的对称轴x=-=-=-
=1, m=-2是函数f(x)= +mx+1的图像关于直线x=1对称的充分条件；②必要性，
当函数f(x)= +mx+1的图像关于直线x=1对称时，-=1，m=-2， m=-2是函数f(x)= +mx+1的图像关于直线x=1对称的必要条件，即m=-2是函数f(x)= +mx+1的图像关于直线x=1对称的充分必要条件，A正确，选A。
5、函数f(x)= a+(a-3)x+1在区间［-1，+）上是单调递减的，则实数a的取值范围是（ ）
A ［-3，0） B （-，-3］ C ［-2，0］ D ［-3，0］
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= a+(a-3)x+1在区间［-1，+）上是单调递减，a<0①，且
--1②，联立①②解得：-3a<0，A正确，选A。
6、如果二次函数f(x)= -(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，求f(2)的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围，从而就可求出f(2)的取值范围。
【详细解答】一元二次函数f(x)= -(a-1)x+5在区间（，1）上是增函数，x=-
=，a2， f(2)=4-2a+2+5=11-2a 11-4 7，f(2)的取值范围是[7，+）。
7、已知幂函数f(x)= 给出下列命题：
（1）若x＞1，则f(x) ＞1；（2）若0＜＜，则f()-f()＞-；（3）若0＜＜，则f()＜f()；（4）若0＜＜，则＞，其中所有正确命题的序号是 ；
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用判断命题真假的基本方法，结合问题条件对各个命题的真假进行判断就可得出所有正确命题的序号。
【详细解答】对（1），幂函数f(x)= 在R上单调递增，f(1)=1 ， f(x) ＞1，即若x＞1，则f(x) ＞1正确；对（2），当0＜＜时，->0， f()-f()>-， ＞1，即幂函数f(x)= 图像上任意两点连线的斜率大于1不成立， 若0＜＜，则f()-f()＞-错误；对（3）若0＜＜，.>0，f()＜f()，<，即幂函数f(x)= 图像上任意一点与原点连线的斜率随x的增大而增大不成立，若0＜＜，则f()＜f()错误；对（4），幂函数f(x)= 在R上单调递增，若0＜＜，则＞正确，正确命题的序号是（1），（4）。
8、已知二次函数f(x)= -x+1在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，则实数m的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②含参数不等式恒成立时，求参数取值范围的基本方法。
【解题思路】根据在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，在区间［-1，1］上不等式-3x+1＞m恒成立，运用一元二次函数的性质求出函数-3x+1区间［-1，1］上的最小值，从而就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立，在区间［-1，1］上不等式-3x+1＞m恒成立，设函数g(x)=-3x+1，函数g(x)=-3x+1区间［-1，1］上单调递减，= g(1)=1-31+1=-1，m<-1，若在区间［-1，1］上不等式f(x)＞2x+m恒成立时，则实数m的取值范围是（-，-1）。
9、已知a是实数，函数f(x)=2 a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0，则实数a的取值范围为 ；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②含参数不等式恒成立时，求参数取值范围的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用含参数不等式恒成立时，求参数取值范围的基本方法，结合问题条件得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)=2 a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0， f(-1)=2 a-2-3=2 a-5<0①，且f(1)=2 a+2-3=2 a-1<0②，联立①②解得：a<，当函数f(x)=2 a+2x-3在x∈［-1，1］上恒小于0时，实数a的取值范围是（-，）。
10、已知＜，求m的取值范围；
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】=，=，①若m>0，>1，
0<<1，＜成立；②若m=0，=1，=1，
＜不成立；③若m<0，0<<1，>1，＜不成立，综上所述，当＜时，实数m的取值范围是
（0，+）。
11、已知＞，求x的取值范围；
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件就可求出实数x的取值范围。
【详细解答】=，=，>，①若x>0，＞，x>1；②若x<0，>0，
<0，＞恒成立，综上所述，当＞时，实数x的取值范围是（-，0）（1，+），
12、证明幂函数f(x)= 在〔0，+∞）上是增函数；
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②证明函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用证明函数单调性的基本方法，结合问题条件就可证明函数f(x)= 在〔0，+∞）上是增函数。
【详细解答】任取，〔0，+∞），且＜， f()-f()=-
== <0， f()13、若点（，2）在幂函数f(x)的图像上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上，定义h(x)= f(x)，f(x)≤g(x)，试求函数h(x)的最大值以及单调区间。
g(x)，f(x)＞g(x)，
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用求函数解析式的基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)，g(x)的解析式，从而求出函数h(x)的解析式，由判断函数单调性的基本方法就可求出函数h(x)的单调区间，利用求函数最值的基本方法就能求出函数h(x)的最大值。
【详细解答】设函数f(x)= ，g(x)= ，点（，2）在幂函数f(x)的图像上，点（-2，）在幂函数g(x)的图像上，2===，==，a=2，b=-2，
f(x)= ，g(x)= ，在同一直角坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图像如图所示，由图知，
h(x)= ，x（-∞，-1）（1，+∞），函数h(x)在（∞-1），（0，1]上单调递增，在
，x[-1， 1]，[-1，0），（1，+∞）上单调递减；当x[-1，1]时，=f(-1)
= f(1)=1；当x（-∞，-1）（1，+∞）时，< g(-1)= g(1)<1， 函数h(x)的最大值是1。
14、已知幂函数f(x)= (m∈)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，求满足＜的a的取值范围；
【解析】
【知识点】①幂函数定义与性质；②判断函数单调性的基本方法；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据幂函数的性质，运用判断函数单调性和奇偶性的基本方法，结合问题条件求出m的值，从而得到关于参数a的不等式组，求解不等式组就能求出实数a的取值范围。
【详细解答】幂函数f(x)= (m∈)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上是减函数，-2m-3<0，-1<，设函数g(x)= ，函数g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，
<，0<3-2a满足＜的a的取值范围是（-∞，-1）（，）。
15、已知二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)的图像与直线y=25有公共点，且不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，求a，b，c的取值范围；
解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b，c的不等式组，求解不等式组就能求出实数a，b，c的取值范围。
【详细解答】二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)的图像与直线y=25有公共点，方程a+bx+c-25=0有实数根，=-4a（c-25）=-4ac+100a0①，不等式a+bx+c＞0(a≠0)的解是-＜x＜，a<0②，且a-b+c=0③，a+b+c=0④，联立①②③④解得：a-144，b-24，c24，实数a，b，c的取值范围分别是（-∞，-144]，（-∞，-24]，[24，+∞）。
16、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。
解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求函数定义域的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就能求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)= 的定义域是R， a+ax-3≠0在R上恒成立，①当a=0时，a+ax-3=0+0-3=-3≠0，②当a≠0时， a+ax-3≠0在R上恒成立，
=+12a<0，-12『思考问题3』
（1）【典例3】是一元二次函数（或幂函数）)性质及运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握一元二次函数（或幂函数）的性质，注意结合一元二次函数（或幂函数）的图像；
（2）一元二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)的性质与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)的知识密切联系在一起，解答问题时应注意结合一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)的相关知识；
（3）幂函数y=的性质是由a的取值来确定的，对于常数a一般有：①a>0；②
a<0两种情况；
（4）运用幂函数y=的性质应从如下几个方面入手：①根据常数a的取值弄清幂函数y=的图像；②分辨清楚幂函数y=的图像在第一象限的凹、凸性；③判别幂函数y=的奇偶性；
（5）比较幂值大小的常见类型有：①底数相同，指数不同，比较的基本方法是运用指数函数的单调性进行比较；②底数不同，指数相同，比较的基本方法是运用幂函数的单调性进行比较；③底数不同，指数也不相同，比较的基本方法是确定一个中间值，再将两个幂值与中间值进行比较，然后得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知幂函数y=，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则实数a的取值范围是（ ）（答案：A）
A 0＜a＜1 B a＜1 C 0＜a D a＜0
2、下列幂函数中图像过点（0，0），（1，1），且是偶函数的是（ ）（答案：B）
A y= B y= C y= D y=
3、下列关系中正确的是（ ）（答案：D）
A ＜＜ B ＜＜
C ＜＜ D ＜＜
4、下列函数中定义域和值域不同的函数是（ ）（答案：D）
A y= B y= C y= D y=
5、幂函数y=(mZ)的图像如图所示， y
则m的值为（ ）（答案：C） | 1 |
A 3 B 0 C 1 D 2 -1 0 1 x
6、已知x［-1，1］时, f(x)= -ax+＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）
A （0，2） B （2，+） C （0，+） D （0，4）（答案：A）
7、已知幂函数y=（m）的图像与x轴，y轴无交点且关于原点对称，则m=
；（答案：m=2）
8、已知幂函数y=f(x)的图像过点（，），则lgf(2)+lgf(5)= ；（答案：lgf(2)+lgf(5)=。）
9、已知幂函数f(x)= 若f(a+1) ＜f(10-2a)，则a的取值范围是 ；（答案：a的取值范围是（3，5）。）
10、函数y= 的定义域是 ；（答案：、函数y= 的定义域是（0，+∞）。）
11、已知f(x)= - -2，f(-2014)=5，则f(2014)= ；（答案：f(2014)=-9。）
12、若函数f(x)= （a＞0，且a 1）在［-1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=（1-4m）在〔0，+∞）上是增函数，则a= ；（答案：m=。）
13、比较下列各组数的大小：
（1）和； （2）和； （3）和。
（答案：（1）>；>； （3）>。）
14、证明幂函数y=在区间〔0，+∞）上是增函数，在区间(-∞,0〕上是减函数；（提示：用定义法进行证明。）
15、已知幂函数y=（m），的图像关于y轴对称，且在（0，+）上函数值随x的增大而减小，求满足＜的a的取值范围。（答案：满足＜的a的取值范围是（-∞，-1）（，）。）
【典例4】解答下列问题：
1、求函数f(x)=2+3x+1在区间〔2，3〕上的最大值与最小值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值和最小值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴为x=- =- ， 函数f(x)在区间〔2，3〕上单调递增， = f(3)=29+33+1=28，= f(2)=24+32+1=15，函数f(x)=2+3x+1在区间〔2，3〕上的最大值为28，最小值为15。
2、设函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔0，2〕上有最小值3，求a的值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②参数分类讨论的原则和基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用参数分类讨论的原则及基本方法和求函数最值的基本方法，结合问题条件分别得到关于a的方程，求解方程分别求出a的值，再综合得出a的值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴x=- = ，①当<0，即a<0时，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递增，= f(0)=40-4a0+-2a+2=-2a+2=3，a=1-；②当0<2，即0a<4时，= f()=4-4a+-2a+2=-2a+2=3，此时无解；③当2，即a4时，函数f(x)在区间〔0，2〕上单调递减，= f(2)=44-4a2+-2a+2=-10a+18=3，a=5+，综上所述，若函数f(x)=4-4ax
+-2a+2在区间〔0，2〕上有最小值3，则a的值为1-或5+。
3、已知函数f(x)=a+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，求实数a的值；
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②参数分类讨论的原则和基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用参数分类讨论的原则及基本方法和求函数最值的基本方法，结合问题条件分别得到关于a的方程，求解方程分别求出a的值，再综合得出a的值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴x=- =-1，①当a>0时，函数f(x)在区间〔-1，2〕上单调递增，= f(2)=a4+2a2+1=8a+1=4，a=；②当a=0时， f(x)=0+0+1
=1≠4，此时无解；③当a<0时，函数f(x)在区间〔-1，2〕上单调递减，= f(-1)=a1+2a（-1）+1=-a+1=4，a=-3，综上所述，若函数f(x) a+2ax+1在区间［-1，2］上有最大值4，则实数a的值为或-3。
4、已知函数f(x)=+3x-5，x〔t，t+1〕。
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）求f(x)的最大值g(t)。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②参数分类讨论的原则和基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质运用参数分类讨论的原则及基本方法和求函数最值的基本方法，结合问题条件分别得到关于a的方程，求解方程分别求出a的值，再综合得出a的值。
【详细解答】函数f(x)图像的对称轴x=- =- ，①当t+1<- ，即t<- 时，函数f(x)在区间〔t，t+1〕上单调递减，= g(t)= f(t)= +3t-5，= h(t)= f(t+1)= +3(t+1)-5= +5t-1；②当t<- -5= +5t-1，f(t)= +3t-5，f(t+1)- f(t)=2t+4， 若-2t<- ，= g(t)= f(t+1)= +3(t+1)-5= +5t-1，若- t<-2，= g(t)= f(t)= +3t-5，= h(t)= f(- )=+3（-）-5=-；③当t- 时，函数f(x)在区间〔t，t+1〕上单调递增，
= g(t)= f(t+1)= +3(t+1)-5= +5t-1， = h(t)= f(t)= +3t-5，综上所述，当t-2时，f(x)的最大值g(t)= +5t-1，当t<-2时，f(x)的最大值g(t)= +3t-5；当
t<- 时，f(x)的最小值h(t)= +5t-1，当- t<- 时，f(x)的最小值h(t)=- ，当t- 时，f(x)的最小值h(t)= +3t-5。
5、已知函数f(x)=+2ax+2，x［-5，5］.
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在［-5，5］上是单调函数。
【解析】
【知识点】①一元二次函数的定义与性质；②参数分类讨论的原则和基本方法；③求函数最值的基本方法；④判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据一元二次函数的性质，运用参数分类讨论的原则及基本方法和求函数最值的基本方法，结合问题条件分别求出函数f(x)的最大值和最小值，再综合得出函数f(x)的最大值和最小值；（2）根据一元二次函数的性质，运用参数分类讨论的原则及基本方法和判断函数单调性的基本方法，结合问题条件分别得到关于a的不等式，求解不等式分别求出a的取值范围，再综合得出a的取值范围。
【详细解答】（1）当a=-1时，函数f(x)=-2x+2图像的对称轴为x=- =1，= f(-5)=25-2 （-5）+2=37，= f(1)=1-2 1+2=1；（2）函数f(x)=+2ax+2的对称轴为x=- =-a，①当-a-5，即a5时，函数f(x) 在［-5，5］上单调递增；②当-a5，即a-5时，函数f(x) 在［-5，5］上单调递减，综上所述，若函数f(x)在［-5，5］上是单调函数，则实数a的取值范围是（-，-5] [5，+）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是求二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题，解答这类问题首先应该明确影响二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值的因素，其次是确定二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的单调性；
（2）二次函数f(x)= a+bx+c(a≠0)在闭区间〔p，q〕上的最值问题主要包括：①对称轴不确定，区间确定；②对称轴确定，区间不确定；③对称轴和区间都不确定三种类型；
（3）在区间内同时讨论最大值和最小值问题时应分：①对称轴在闭区间的左边或过左端点；②对称轴在闭区间之间并靠近左端点；③对称轴在闭区间之间并靠近右端点； ④ 对称轴在闭区间的右边或过右端点四种情况来讨论。
〔练习4〕解答下列问题：
设一元二次函数f(x)= a-2x+2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为 ；（答案：实数a的取值范围是（，+∞）。）
2、已知二次函数f(x)= +(a+1)x+3在区间（2，3）上是增函数，求f(3)的取值范围；（答案：f(3)的取值范围是〔0，+∞）。）
3、已知函数f(x)= 的定义域是R，求实数a的取值范围。（答案：实数a的取值范围是[0，）。）
4、求函数f(x)=3+2x+2在区间〔2，5〕上的最大值与最小值；（答案：函数f(x)在区间〔2，5〕上的最大值是87，最小值是18。）
5、已知函数f(x)=a-2x(0 x 1)，求函数f(x)的最小值；（答案：当<0，即a<0时，函数f(x)的最小值为0；当0≤<1，即a>1时，函数f(x)的最小值为-；当≥1，即06、已知函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔1，3〕上有最大值2，求a的值；（答案：若函数f(x)=4-4ax+-2a+2在区间〔1，3〕上有最大值2，则a的值为7-或3+。）
7、若函数f(x)=1-2a-2acosx-2sinx的最小值为g(x)。 1，x<-2，
（1）求g(x)的表达式； （答案：（1）g(x)=--2x-1，-2≤x<2；）
（2）求能使g(x)= 的a值，并求出当a取此值时，f(x)的最大值。1-4x，x≥2，
（（2）答案：若g(x)=，则a值为-1，此时函数f(x)的最大值为5。）
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)= - 的零点个数为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和幂函数的性质，运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的零点的个数就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= - =0，=，设函数g(x)= ，h(x)= ，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，h(x)的图像如图所示，由图知函数函数g(x)，h(x)的图像只有一个交点，函数f(x)= - 只有一个零点，B正确，选B。
2、 函数f(x)=-+4x-4在区间〔1，3〕上的零点情况是（ ）
A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x) 在区间〔1，3〕上的零点就可得出选项。
【详细解答】函数f(x) =-+4x-4图像的对称轴为x=-=2，f(1)=-1+4 1-4=-1<0，
f(2)=-4+4 2-4=0，f(3)=-9+4 3-4=-1<0，函数f(x)=-+4x-4在区间〔1，3〕上只有一个零点，B正确，选B。
3、已知关于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②一元二次函数与一元二次方程的关系；③一元二次方程根的判别式及运用；④韦达定理及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和韦达定理，结合问题条件得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】关于x的方程（m+3）-4mx+2m-1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，=16-4（m+3）（2m-1）=8-20m+12>0①，且m+30②，<0③，
<0④，联立①②③④解得：-34、对于实数a和b，定义运算“”：ab= -ab，a＞b，设f(x)=(2x-1) （x-1），且关-ab，ab，于x的方程f(x)=m（mR）恰有
三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的零点，，就可求出的取值范围。
-（2x-1）（x-1） =-+x，x>0，
【详细解答】 f(x)=(2x-1) （x-1）= -（2x-1）（x-1）=2-x，x0，作出
函数f(x)的图像如图所示，方程f(x)=m（mR）恰有三个互不相等的实数根，，，
由图知00，>0，0<.
<=，<<0，0<-<，0<-..<，<
..<0，即的取值范围是（，0）。
5、已知关于x的二次方程+2mx+2m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②一元二次函数与一元二次方程的关系；③一元二次方程根的判别式及运用；④韦达定理及运用。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和韦达定理，结合问题条件得到关于m的不等式组，求解不等式组就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】作出函数f(x)的大致图像如图所示，关于x的二次方程+2mx+2m+1=0有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1，2）内，=4-4（2m+1）=4-8m-40①，且f(-1)=1-2m+1=-2m+2>0②，f(2)=4+4m+1=4m+5>0③，-1<-m<2④，联立①②③④解得：-6、已知a是实数，函数f(x)=2a+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间〔-1，1〕上有零点，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元二次函数定义与性质；②确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数的性质，运用函数零点的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】当a=0时，函数f(x)=2a+2x-3-a=0，函数f(x)=2x-3=0，x=（-1，1）；当a0时，函数y=f(x)在区间〔-1，1〕上有零点，f(-1)=2a-2-3-a=a-5，f(1)=2a+2-3-a=a-1，
f(1)-f(-1)=a-1-a+5=4>0，f(-1)=a-5≤0①，f(1)=a-1≥0②，联立①②解得1≤a≤5，综上所述，
若函数y=f(x)在区间〔-1，1〕上有零点，则实数a的取值范围是[1，5]。
『思考问题5』
（1）【典例5】是一元二次函数（或幂函数）与零点相关的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，掌握函数零点存在定理和确定函数零点的基本方法；
（2）解答幂函数的零点问题的基本方法是根据幂函数的性质，运用幂函数的图像实施解答；
（3）解答一元二次函数零点问题的基本方法是，根据一元二次函数的性质，运用一元二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系定理实施解答；
（4）解答一元二次函数与幂函数混合的零点问题的基本方法是：①在同一直角坐标系中作出一元二次函数和幂函数的图像；②借助函数图像确定两个函数图像的交点所在的区间（个数）；③得出函数零点所在的区间（或个数）。
〔练习5〕解答下列问题：
1、函数f(x)= - 的零点个数为（ ）（答案：A）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、 函数f(x)=-+2x-2在区间〔0,2〕上的零点情况是（ ）（答案：A）
A 没有零点 B 有一个零点 C 有两个零点 D 有无数个零点
3、已知关于x的二次方程+mx+m+1=0，若方程有两根，其中一根在区间（-2，0）内，另一根在区间（2，3）内，求实数m的取值范围；（答案：实数m的取值范围是(-,-））
4、已知m是实数，函数f(x)=m+2x-3+m，如果函数y=f(x)在区间〔-1,1〕上有零点，求实数m的取值范围。（答案：实数m的取值范围是[，]）
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知关于x的方程-ax+3=0有一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）
A （4，+ ） B （- ，4） C （- ，2） D （2，+ ）
【解析】
【考点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根与系数关系定理及运用；③求解一元一次不等式组的基本方法。
【解题思路】根据一元二次方程的性质，运用一元二次方程根与系数关系定理，结合问题条件得到关于a的一元一次不等式组，利用求解一元一次不等式组的基本方法求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】关于x的方程-ax+3=0有一根大于1，另一根小于1，>1①，<1②，=-12>0③，联立①②③解得：a>4，A正确，选A。
2、已知函数f(x)= 的定义域为R，其中a为实数。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，是否存在实数m满足对任意[-1，1]，都存在R，使得++m(
)-1 f()成立？若存在，求实数m的 取值范围；若不存在，请说明理由（成都市高2021级2020-2021学年度上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②已知函数定义域求函数解析式中参数取值范围的基本方法；③指数函数定义与性质；④数学换元法及运用；⑤解答探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据一元二次函数的性质和已知函数定义域，求函数解析式中参数取值范围的基本方法，就可求出实数a的取值范围；（2）根据指数函数的性质和解答探索性问题的基本方法，结合问题条件就可得出结论。
【详细解答】（1）函数f(x)= 的定义域为R，0在R上恒成立，①当a=0时，=0-0+1=10在R上恒成立， a=0成立；②当
a 0时，0在R上恒成立，a>0，且=4-4a=4a(a-1) 0，0综上所述，若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值范围是[0，1]；（2）当a=1时，函数f(x)= =|x-1|，当xR时，= f(1)=0，设t= - ，x[-1，1]，t[-，]， ++m(- )-1=+ m(- )+1= +mt+1，令g(t)= +mt+1，存在实数m满足对任意[-1，1]，都存在R，使得++m()-1 f()成立，当t[-，]时，0，①当-
-，即m时，函数g(t)在[-，]上单调递增，= g(-)=-m
+1=-m0， m，此时无解；②当-<-<，即-=-+10，-2m2；③当-，即m-时，函数g(t)在[-，]上单调
递减，= g()=+m+1=+m0， m-，此时无解，综上所述，
存在实数m[-2，2]，满足对任意[-1，1]，都存在R，使得++m()
-1 f()成立。
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于一元二次函数与幂函数的试题，归结起来主要包括：①求一元二次函数（或幂函数）的解析式；②一元二次函数（或幂函数）的图像与运用；③一元二次函数（或幂函数）的性质与运用；④一元二次函数（或幂函数）的最值问题；⑤一元二次函数（或幂函数）的综合问题等几种类型。
解答问题的基本方法是：①判断问题属于哪一种类型；②根据该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知幂函数f(x)= （a为常数）的图像经过点（3，），则a的值是 （成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：a=）
2、已知函数f(x)= 。
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（答案：函数f(x)，运用判断函数奇偶性的方法。）
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在（0，+）上是减函数（成都市高2019级2018-2019学年度上期期末调研考试）（答案：函数f(x)在（0，+）上单调递减，提示：运用定义法进行证明。）
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