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第十一讲 导数的概念及运算
【考纲解读】
了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度和光滑曲线切线的斜率）；
理解函数在某点处导数的定义及其几何意义，函数导函数的定义；
熟记常用的求导公式，掌握两个函数和，差，积和商的求导法则，能够熟练运用求导公式和法则求出已知函数的导函数。
【知识精讲】
一、导数的概念：
1、函数f(x)在某点处导数的定义：
（1）函数f(x)在某点处导数的定义：设函数f(x)的自变量x在某处有增量，相应的函数y也有增量，如果当0时，=存在，则称函数f(x)在某点处可导，叫做函数y=f(x)在某点处的导数 ，记作
==；
（2）函数f(x)在某点处的导数的几何意义：函数y=f(x)在某点处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P（，f()）处切线的斜率，曲线y=f(x)过点P（，f()）处的切线方程为y- f()=(x-)；
（3）函数的连续性：如果函数f(x)在某点处的导数存在，那么称函数y= f(x)在某点处连续。
2、函数y=f(x)导函数的定义：
如果函数y=f(x)在区间（a，b）内的每一点都可导，则对区间（a，b）内的任意一点x，都有y=（x）的唯一一个值与之对应，从而得到一个新的函数，这个新函数叫做函数y=f(x)在区间（a，b）内的导函数，记作y=（x）。
二、导数的运算：
1、常用的求导公式：
（1）=0（c为常数）； （2）=n（nR）； (3) =cosx；
（4）=-sinx； （5）=； （6）=；
（7）=； （8）=lna。
2、函数求导的运算法则：
设函数f(x)，g（x）的导数（x），(x)均存在。
（1）= （x）(x) ；
（2）=c（x）（c为常数） ；
（3）=（x）. g（x）+(x).f(x)；
（4）= 。
3、与导数相关的常用结论：
（1）导函数的奇偶性与周期性：①奇函数的导函数是偶函数；②偶函数的导函数是奇函数；③周期函数的导函数还是周期函数；
（2）函数y=f(x)导函数的几何意义：①导函数（x）反映了函数f(x)的瞬时变化趋势；②导函数（x）的正负号反映了函数f(x)变化的方向；③导函数（x）的大小反映了函数f(x)变化的快慢，|（x）|越大，曲线在该点处的切线越“陡”。
【探导考点】
考点1函数导数的定义及运用：热点①已知函数的解析式，求函数在某点处导数的值；热点②已知函数的解析式，求函数的导函数；
考点2函数在某点处导数的几何意义及运用：热点①求曲线y=f(x)过点P（，f()）处的切线方程；热点②已知曲线y=f(x)在点P（，f()）处的切线方程，求函数f(x)解析式中参数的值；热点③ 导数与函数图像之间的关系。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=在到+之间的平均变化率为，在-到之间的平均变化率为，则，的大小关系是（ ）
A ＞ B = C ＜ D 无法确定
2、设函数f(x)可导，则=（ ）
A （1） B 3（1） C （1） D （3）
3、一质点的运动方程是s=5-3，则在时间［1,1+］内，相应的平均速度为（ ）
A 3+6 B -3+6 C 3-6 D -3-6
4、已知函数f(x)在点处的导数（）=a，则= ；
5、已知f(x)=-+-2（1）x，则（1）= 。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与函数在某点的导数的定义相关的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用函数在某点导数的定义求函数在该点导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值。
〔练习1〕解答下列问题：
1、自变量x从变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A 在区间［，］上的平均变化率 B 在处的变化率
C 在处的变化率 D 在区间［，］上的导数
2、已知函数y=f(x)在x=处的导数为10，则=（ ）
A -20 B 20 C D -
3、如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B， 4y A C
C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0)) 3
= ，= ； 2
4、已知f(x)=x（x-1）（x-2）------（x-50），则（0） 1
= 。 0 1 2 B 3 4 5 6 x
【典例2】解答下列问题： y
已知函数y=f(x)的图像如图所示，则（） B
与（）的大小关系是（ ） A
A（）＞（）B（）＜（） 0 x
C （）=（） D 不能确定
2、已知抛物线y=f(x)=-2+bx+c在点（2，-1）处与直线y=x-3相切，则b+c的值为（ ）
A 20 B 9 C 2 D -2
3、物体甲，乙在时间0到范围内路程的变换情况 s------------甲
如图所示，下列说法正确的是（ ） ---------------乙
A 在0到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 -----------
B 在0到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C 在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 0 t
D 在到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
4、已知函数f(x)=ax+5(a 0)，若（1）=2，则a= ；
5、已知函数f(x)的图像在点M（1，f(1)）处的切线方程是2x-3y+1=0，则f(1)+ （1）
= 。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数在某点导数的几何意义及运用的问题，解答这类问题需要清楚函数在某点导数的几何意义，注意函数在某点导数几何意义运用的基本方法；
（2）函数在某点导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，在质点的运动过程中是质点在该点的瞬时速度。
〔练习2〕解答下列问题：
1、设f(x)是可导函数，且满足：=-1，则过曲线y= f(x)上的点（1，f(1)）的切线的斜率为（ ）
A 2 B 1 C -1 D -2
2、如果曲线y= f(x)在点（，f()）处的切线方程为x+2y-3=0，那么（ ）
A （）>0 B （）<0 C （）=0 D （）不存在
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= +mx+(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为（1，f(1)），则m等于（ ）
A -1 B -3 C -4 D -2
4、函数y= 的切线方程为y=mx，则m= 。
【典例3】解答下列问题：
1、已知二次函数f(x)=a+bx+c的导数为（x），（0）＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0,则的最小值为（ ）
A 3 B C 2 D
2 y
2、如图点A（2，1），B（3，0），E（x，0）（x≥0）， 1 l A
过点E作OB的垂线l，记AOB在直线l左侧部分 B
的面积为S，则函数S=f(x)的图像为下图中的（ ） 0 1 E 2 3 x
y y y y
2 ------------- 2 --------------- 2 --------------- 2 ---------------
1 ------------- 1 --------------- 1 --------------- 1 ----------------
0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x
A B C D
3、已知函数f(x)=ax+5(a0)，若（1）=2，则a= ；
4、设函数f(x)在（0，+ ）内可导，且f()=x+ ，则（1）= 。
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数导函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解函数导函数的定义，掌握函数导函数的性质；
（2）函数导函数是函数在某区间内自变量x与函数在点x的导数相对应而构成的函数，定义在区间（a，b）上的函数f(x)存在区间（a，b）上导函数（x）的充分必要条件是函数f(x)在区间（a，b）上任意一点的导数都存在。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知曲线y= f(x)= -3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A 3 B 2 C 1 D
2、设曲线y= f(x)= 在点（，1）处的切线方程与直线x-ay+1=0平行，则实数a等于（ ）
A -1 B C -2 D 2
3、设P为曲线C：y=+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是［0，］，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A ［-1,- ］ B ［-1,0］ C ［0,1］ D ［，1］
4、设（x）是f(x)= +2x+1的导函数，则（-1）的值是 ；
5、已知函数f(x)= （）cosx+sinx，则f()的值为 。
【典例4】解答下列问题：
1、下列结论不正确的是（ ）
A 若f(x)=0，则（x）=0 B 若f(x)=5x，则（x）=5
C 若f(x)= ，则（x）=- D 若f(x)= ，则（x）=
2、若函数f(x)= ，则（）=（ ）
A 0 B 1 C 2014 D 2015
3、函数f(x)= 的导数是（ ）
A B
C D
4、用导数的定义求下列函数在点处的导数：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= +3x； （3）f(x)= 。
5、求下列函数的导数：
(1)f(x)=4+3 ； (2)f(x)=( +1)(x-2)；
(3)f(x)=(2x-1)(3x+2) ； (4)f(x)= (-4)；
(5) f(x)=lnx+ ； （6）f(x)= sinx；
（7）f(x)= ； （8）f(x)= ；
(9)f(x)= ； (10)f(x)= ；
(11)f(x)= ； (12)f(x)= ；
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数求导的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数和函数导函数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法和常用的求导公式与求导法则，注意导函数和函数在某点导数的不同意义；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用导数的定义求函数在点处导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值；
（4）已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的导函数的基本原则是先化简，再运求导公式和求导法则求出导函数；
（5）求导函数的基本方法是：①若函数f(x)的解析式是连乘形式，则应先化为多项式，再求导函数；②若函数f(x)的解析式是根式形式，则先化为指数幂，再求导函数；③若函数f(x)的解析式是复杂的分式，则先把解析式化为几个简单分式的和或差，再求导函数；
（6）运用复合函数求导法则：（x）=〔g(x)〕、(x)求函数导函数时应注意：①利用复合函数求导法则求导时，一定要把中间变量换成自变量的函数；②需要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆；
（7）若问题的已知条件中没有函数的解析式，求函数的导函数或函数在某点的导数值时，需要首先根据条件求出函数的解析式，然后再求解问题。
〔练习4〕解答下列问题：
1、下列所求导数不正确的是（ ）
A = B = .ln2 C = D =
2、若函数f(x)= +2x（2），则（2）= ；
3、已知函数f(x)= （）cosx+sinx，则f()的值为 ；
4、函数f(x)= （x-1）在x=1处的导数等于 ；
5、用导数的定义求下列函数在点处的导数：
（1）f(x)=2 ； （2）f(x)= -4x 。
6、求下列函数的导数：
(1)f(x)=8 ； (2)f(x)=2x-1；
(3)f(x)=2+x ； (4)f(x)=3-4x；
(5)f(x)=(3x-2)(2x+1)； (6) f(x)= ( +1)；
（7）f(x)= cosx ； (8)f(x)= ；
(9)f(x)= ； (10)f(x)= ；
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)在R上满足：f(x)=2 f(2-x)- +8x-8，则曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是（ ）
A y=2x-1 B y=x C y=3x-2 D y=-2x+3
2、已知f(x)=lnx，g(x)= +mx+(m＜0），直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为（1，f(1)），则m= （ ）
A -1 B -3 C -4 D -2
3、曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A B C D 1
4、函数y= 的切线方程为y=mx，则m= ；
5、在抛物线y=+x-1上取横坐标为=1，=3两点，过这两点引割线，在抛物线
上求一点p，使过点p的切线与所引的割线平行。
6、已知曲线f(x)= 上一点p（2，），求：
（1）过点p的切线的斜率；
（2）过点p的切线方程。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求过某点与曲线相切的直线方程的问题，解答这类问题的理论依据是函数f(x)在某点的导数的几何意义是曲线y=f(x)在该点的切线的斜率；
（2）已知一点的坐标，求曲线过已知点的切线方程的问题主要包括：①已知点在曲线y= f(x)上；②已知点在曲线y= f(x)外，解答这类问题时，应注意判断已知点是否在曲线y= f(x)上；
（3）求已知点在曲线y= f(x)上切线方程的基本方法是：①求出函数f(x)在该点的导数值，②运用点斜式求出切线的方程；
（4）求已知点在曲线y= f(x)外切线方程的基本方法是：①设出切线切点的坐标P（，f()）；②求出过点P（，f()）的切线方程；③把已知点代入切线方程求出；④把的值代入切线方程得出答案；
（5）已知切线斜率或切线方程，求参数值的基本方法是：①求出曲线y=f(x)的切线方程；②把求出的切线方程与已知方程相比较得到关于参数的方程或方程组；③求解方程或方程组得出参数的值；
（6）对导数与函数图像的关系问题，应注意运用导数与函数变化之间的联系并结合问题的具体情况进行考虑。
〔练习5〕解答下列问题：
1、设曲线y=在点（，1）处的切线与直线x-ay+1=0平行，则实数a等于（ ）A -1 B C -2 D 2
2、若曲线y=的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）
A 4x-y-3=0 B x+4y-5=0 C 4x-y+3=0 D x+4y+3=0
3、已知曲线y=3，则过点B（1，-2）的曲线的切线方程为 ；
4、求过曲线y=-2x上一点（1，-1）的切线方程；
5、如果曲线f(x)= +x-10的某一条切线与直线y=4x+3平行。
（1）求切点p的坐标；
（2）求过点p的切线的方程。
6、已知直线为曲线y=+x-2在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且。
（1）求直线的方程；
（2）求由直线，和X轴所围成的三角形的面积。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、记函数f(x)的导函数为 (x)，若f(x)= sin2x，则 (0)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 B 1 C 0 D -1
2、若曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行，则实数a的值为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A -4 B -3 C 4 D 3
3、曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为 （2021全国高考甲卷）
4、若过点（a，b）可以做曲线y=的两条切线，则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 5、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
7、设函数f(x)的导函数是 (x)，若f(x)= ()-cosx，则 ()=（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B C D -
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中关于导数的概念及运算的试题，归结起来主要包括：①函数在某点导数的定义及运用；②函数在某点导数的几何意义及运用；③导函数的定义及运用；④函数求导公式，法则及运用；⑤过一点与曲线相切的直线方程与基本求法；⑥定积分的定义及运用等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题属于哪种类型；②运用解答该类型问题的思路和基本方法实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 （2021成都市高三零诊）
2、已知函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）处的切线l的斜率为2，则直线l在Y轴上的截距为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 3 B -3 C 1 D -1
3、曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 （2020全国高考新课标I）
4、设函数f(x)= ，若（1）=，则a= （2020全国高考新课标III）
5、设函数f(x)的导函数为(x)，若f(x)=lnx+ -1，则(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
A e-3 B e-2 C e-1 D e
6、曲线y= -x在点（1，0）处的切线方程为（ ）（2020成都市高三二诊）
A 2x-y=0 B 2x+y-2=0 C 2x+y+2=0 D 2x-y-2=0
第十一讲 导数的概念及运算
【考纲解读】
了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度和光滑曲线切线的斜率）；
理解函数在某点处导数的定义及其几何意义，函数导函数的定义；
熟记常用的求导公式，掌握两个函数和，差，积和商的求导法则，能够熟练运用求导公式和法则求出已知函数的导函数。
【知识精讲】
一、导数的概念：
1、函数f(x)在某点处导数的定义：
（1）函数f(x)在某点处导数的定义：设函数f(x)的自变量x在某处有增量，相应的函数y也有增量，如果当0时，=存在，则称函数f(x)在某点处可导，叫做函数y=f(x)在某点处的导数 ，记作
==；
（2）函数f(x)在某点处的导数的几何意义：函数y=f(x)在某点处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P（，f()）处切线的斜率，曲线y=f(x)过点P（，f()）处的切线方程为y- f()=(x-)；
（3）函数的连续性：如果函数f(x)在某点处的导数存在，那么称函数y= f(x)在某点处连续。
2、函数y=f(x)导函数的定义：
如果函数y=f(x)在区间（a，b）内的每一点都可导，则对区间（a，b）内的任意一点x，都有y=（x）的唯一一个值与之对应，从而得到一个新的函数，这个新函数叫做函数y=f(x)在区间（a，b）内的导函数，记作y=（x）。
二、导数的运算：
1、常用的求导公式：
（1）=0（c为常数）； （2）=n（nR）； (3) =cosx；
（4）=-sinx； （5）=； （6）=；
（7）=； （8）=lna。
2、函数求导的运算法则：
设函数f(x)，g（x）的导数（x），(x)均存在。
（1）= （x）(x) ；
（2）=c（x）（c为常数） ；
（3）=（x）. g（x）+(x).f(x)；
（4）= 。
3、与导数相关的常用结论：
（1）导函数的奇偶性与周期性：①奇函数的导函数是偶函数；②偶函数的导函数是奇函数；③周期函数的导函数还是周期函数；
（2）函数y=f(x)导函数的几何意义：①导函数（x）反映了函数f(x)的瞬时变化趋势；②导函数（x）的正负号反映了函数f(x)变化的方向；③导函数（x）的大小反映了函数f(x)变化的快慢，|（x）|越大，曲线在该点处的切线越“陡”。
【探导考点】
考点1函数导数的定义及运用：热点①已知函数的解析式，求函数在某点处导数的值；热点②已知函数的解析式，求函数的导函数；
考点2函数在某点处导数的几何意义及运用：热点①求曲线y=f(x)过点P（，f()）处的切线方程；热点②已知曲线y=f(x)在点P（，f()）处的切线方程，求函数f(x)解析式中参数的值；热点③ 导数与函数图像之间的关系。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、函数f(x)=在到+之间的平均变化率为，在-到之间的平均变化率为，则，的大小关系是（ ）
A ＞ B = C ＜ D 无法确定
【解析】
【知识点】①函数平均变化率的定义与求法；②比较实数大小 的基本方法。
【解题思路】根据函数平均变化率的求法分别求出到+，-到的平均变化率，利用比较实数大小的基本方法比较两个平均变化率的大小就可得出选项。
【详细解答】===2+，
===2-，-=2+-2+
=2>0，即＞，A正确，选A。
2、设函数f(x)可导，则=（ ）
A （1） B 3（1） C （1） D （3）
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的定义与求法；②极限的定义与性质。
【解题思路】根据函数在某点导数的求法和极限的性质求出的极限就可得出选项。
【详细解答】==（1），C正确，选C。
3、一质点的运动方程是s=5-3，则在时间［1,1+］内，相应的平均速度为（ ）
A 3+6 B -3+6 C 3-6 D -3-6
【解析】
【知识点】①函数平均变化率的定义与性质；②求函数在某点平均变化率的基本方法。
【解题思路】根据函数平均变化率的基本求法求出在时间［1,1+］内的平均变化率就可得出选项。
【详细解答】 = = =-6-3，D正确，选D。
4、已知函数f(x)在点处的导数（）=a，则= ；
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的定义与求法；②极限的定义与性质。
【解题思路】根据函数在某点导数的求法和极限的性质就可求出的值。
【详细解答】=，
=-=-（）=-a。
5、已知f(x)=-+-2（1）x，则（1）= 。
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的定义与求法；②导函数的定义与求法。
【解题思路】根据导函数的求法求出函数f(x)的导函数，从而得到关于（1）的方程，求解方程就可求出（1）的值。
【详细解答】（x）=-+2x-2（1），（1）=-1+2-2（1），3（1）=1，
（1）=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与函数在某点的导数的定义相关的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用函数在某点导数的定义求函数在该点导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值。
〔练习1〕解答下列问题：
1、自变量x从变到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）（答案：A）
A 在区间［，］上的平均变化率 B 在处的变化率
C 在处的变化率 D 在区间［，］上的导数
2、已知函数y=f(x)在x=处的导数为10，则=（ ）（答案：B）
A -20 B 20 C D -
3、如图，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B， 4y A C
C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0)) 3
= ，= ； 2
4、已知f(x)=x（x-1）（x-2）------（x-50），则（0） 1
= 。 0 1 2 B 3 4 5 6 x
（答案：3、f(f(0))=2，=-2；4、（0）=123------50=50!）
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数y=f(x)的图像如图所示，则（）与（）的大小关系是（ ） A（）＞（）B（）＜（） y B
C（）=（） D不能确定 A
【解析】 0 x
【知识点】①函数在某点导数的几何意义；②比较实数大小 的基本方法。
【解题思路】根据函数在某点导数的几何意义，分别求出（），（）利用比较实数大小的基本方法比较（），（）的大小就可得出选项。
【详细解答】 由图知曲线在点A处切线的斜率大于在点B处切线的斜率，（）＞（），A正确，选A。
2、已知抛物线y=f(x)=-2+bx+c在点（2，-1）处与直线y=x-3相切，则b+c的值为（ ）
A 20 B 9 C 2 D -2
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的几何意义；②求函数导函数 的基本方法。
【解题思路】根据求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，利用函数在某点导数的几何意义，结合问题条件得到关于b，c，的方程组，求解方程组求出b，c的值，从而求出b+c的值就可得出选项。
【详细解答】(x)=4x+b，抛物线y=f(x)=-2+bx+c在点（2，-1）处与直线y=x-3相切，(2)=8+b=1①，f(2)=8+2b+c=-1②，联立①②解得：b=-7，c=5，b+c=-7+5=-2，D正确，选D。
3、物体甲，乙在时间0到范围内路程的变换情况 s------------甲
如图所示，下列说法正确的是（ ） ---------------乙
A 在0到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 -----------
B 在0到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C 在到范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 0 t
D 在到范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的几何意义；②平均速度的定义与性质。
【解题思路】根据求函数在某点导数的几何意义和平均速度的性质，结合图像分别求出甲，乙在0到范围内，在到范围内的平均速度就可得出选项。
【详细解答】在0到范围内甲，乙的平均速度都为是相等的，可排除A，B；
在到范围内甲的平均速度为，乙的平均速度为，>，>
，C正确，选C。
4、已知函数f(x)=ax+5(a 0)，若（1）=2，则a= ；
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的几何意义；②求函数导函数 的基本方法。
【解题思路】根据求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数(x)，利用函数在某点导数的几何意义，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】(x)=a，（1）=2，（1）=a=2，即a=2。
5、已知函数f(x)的图像在点M（1，f(1)）处的切线方程是2x-3y+1=0，则f(1)+ （1）
= 。
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的几何意义；②曲线在某点处切线方程的定义与性质。
【解题思路】根据函数在某点导数的几何意义和曲线在某点处切线方程的性质，结合问题条件分别求出f(1)+，（1）的值就可求出f(1)+ （1）的值。
【详细解答】函数f(x)的图像在点M（1，f(1)）处的切线方程是2x-3y+1=0，（1）
=，f(1)- =， f(1)= +=1， f(1)+ （1）=1+=。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数在某点导数的几何意义及运用的问题，解答这类问题需要清楚函数在某点导数的几何意义，注意函数在某点导数几何意义运用的基本方法；
（2）函数在某点导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，在质点的运动过程中是质点在该点的瞬时速度。
〔练习2〕解答下列问题：
1、设f(x)是可导函数，且满足：=-1，则过曲线y= f(x)上的点（1，f(1)）的切线的斜率为（ ）（答案：B）
A 2 B 1 C -1 D -2
2、如果曲线y= f(x)在点（，f()）处的切线方程为x+2y-3=0，那么（ ）（答案：B）
A （）>0 B （）<0 C （）=0 D （）不存在
3、已知函数f(x)=lnx，g(x)= +mx+(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为（1，f(1)），则m等于（ ）（答案：D）
A -1 B -3 C -4 D -2
4、函数y= 的切线方程为y=mx，则m= 。（答案：m=e）
【典例3】解答下列问题：
1、已知二次函数f(x)=a+bx+c的导数为（x），（0）＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0,则的最小值为（ ）
A 3 B C 2 D
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③基本不等式及运用。
【解题思路】根据函数导函数和一元二次函数的性质，结合问题条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组得出a，b，c之间的关系，从而求出的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）=2ax+b，（0）＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0, （0）
=b>0①，a>0②，=-4ac0③， a>0，b>0，c>0，且4ac， f(1)= a+b+c，
==+1+1+11+12，即的最小值为2，C正确，选C。 2 y
2、如图点A（2，1），B（3，0），E（x，0）（x≥0）， 1 l A
过点E作OB的垂线l，记AOB在直线l左侧部分 B
的面积为S，则函数S=f(x)的图像为下图中的（ ） 0 1 E 2 3 x
y y y y
2 ------------- 2 --------------- 2 --------------- 2 ---------------
1 ------------- 1 --------------- 1 --------------- 1 ----------------
0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x 0 1 2 3 x
A B C D
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据函数导函数的性质，结合问题条件，运用三角形面积公式对x（0，2]，x（2，3]，x（3，+ ）三种情况AOB在直线l左侧部分的面积为S的变化进行分析，得出函数S=f(x)的图像就可得出选项。
【详细解答】函数S=f(x)的定义域为[0，+ ），当x（0，2]时，随着x的增大，AOB在直线l左侧部分的面积为S也随之增大，且增大的速度越来越大，函数S=f(x)的图像是向下凸的；当x（2，3]时，随着x的增大，AOB在直线l左侧部分的面积为S也随之增大，且增大的速度越来越小，函数S=f(x)的图像是向上凸的；当x（3，+ ）时，随着x的增大，AOB在直线l左侧部分的面积为S不变，且增大的速度为0，函数S=f(x)的图像是平行于X轴的一条射线，D正确，选D。
3、已知函数f(x)=ax+5(a0)，若（1）=2，则a= ；
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】求出函数f(x)的导函数，运用求函数值的基本方法得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】（x）=a，（1）=2，a=2。
4、设函数f(x)在（0，+ ）内可导，且f()=x+ ，则（1）= 。
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②求函数值的基本方法；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】根据求函数解析式的基本方法求出函数f(x)的解析式，从而求出函数f(x)的导函数，运用求函数值的基本方法就可求出（1）的值。
【详细解答】设t=，则x=lnt， f(t)= lnt+t， f(x)= lnx+x，（x）=+1，
（1）=1+1=2。
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数导函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解函数导函数的定义，掌握函数导函数的性质；
（2）函数导函数是函数在某区间内自变量x与函数在点x的导数相对应而构成的函数，定义在区间（a，b）上的函数f(x)存在区间（a，b）上导函数（x）的充分必要条件是函数f(x)在区间（a，b）上任意一点的导数都存在。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知曲线y= f(x)= -3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）（答案：A）
A 3 B 2 C 1 D
2、设曲线y= f(x)= 在点（，1）处的切线方程与直线x-ay+1=0平行，则实数a等于（ ）（答案：A）
A -1 B C -2 D 2
3、设P为曲线C：y=+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是［0，］，则点P横坐标的取值范围为（ ）（答案：A）
A ［-1,- ］ B ［-1,0］ C ［0,1］ D ［，1］
4、设（x）是f(x)= +2x+1的导函数，则（-1）的值是 ；（答案：（-1）=3）
5、已知函数f(x)= （）cosx+sinx，则f()的值为 。（答案：f()=1）
【典例4】解答下列问题：
1、下列结论不正确的是（ ）
A 若f(x)=0，则（x）=0 B 若f(x)=5x，则（x）=5
C 若f(x)= ，则（x）=- D 若f(x)= ，则（x）=
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②求函数导函数的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求函数导函数的基本方法对各选项求函数导函数是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A， f(x)=0，（x）=0，A正确；对B， f(x)=5x， （x）=5，B正确；对C， f(x)= ， （x）=-，C正确；对D， f(x)= ， （x）= ，D错误，选D。
2、若函数f(x)= ，则（）=（ ）
A 0 B 1 C 2014 D 2015
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②求函数导函数的基本方法；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式和求函数导函数的基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），利用求函数值的基本方法求出（）的值就可得出选项。
【详细解答】（x）=2015，（）=2015
=2015=1，B正确，选B。
3、函数f(x)= 的导数是（ ）
A B
C D
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和求函数导函数的基本方法，求出函数f(x)的导函数（x）就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= ，（x）=，A正确，选A。
4、用导数的定义求下列函数在点处的导数：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= +3x； （3）f(x)= 。
【解析】
【知识点】①函数在某点导数的定义与性质；②用定义求函数在某点导数的基本方法。
【解题思路】根据函数在某点导数的定义和用定义求函数在某点导数的基本方法，就可求出各函数f(x) 点处的导数。
【详细解答】（1）==-=++-
=+，（）===（2+）=2；（2）==+3--3=3+3++3，（）===（3+3
++3）=3+3；（3）==-=
==，（）=
===。
5、求下列函数的导数：
(1)f(x)=4+3 ； (2)f(x)=( +1)(x-2)；
(3)f(x)=(2x-1)(3x+2) ； (4)f(x)= (-4)；
(5) f(x)=lnx+ ； （6）f(x)= sinx；
（7）f(x)= ； （8）f(x)= ；
(9)f(x)= ； (10)f(x)= ；
(11)f(x)= ； (12)f(x)= 。
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和求函数导函数的基本方法就可分别求出各函数f(x)的导函数（x）。
【详细解答】（1） f(x)=4+3，（x）=20+9；（2） f(x)= ( +1)(x-2)
=-2+x-2，（x）=3-4x+1；（3） f(x)= (2x-1)(3x+2)=6+x-2，（x）
=12x+1；（4） f(x)= (-4)= -4，（x）=5-8x；（5） f(x)= lnx+ ，
（x）=-=；（6） f(x)= sinx，（x）=3sinx+cosx=（3 sinx
+xcosx）；（7） f(x)= ，（x）==-；（8） f(x)
=，（x）=；（9） f(x)= ，（x）==
-；（10）f(x)= ，（x）=
==；（11）f(x)= ，（x）=---=-=-；（12）
f(x)= ，（x）=。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数求导的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数和函数导函数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法和常用的求导公式与求导法则，注意导函数和函数在某点导数的不同意义；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用导数的定义求函数在点处导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值；
（4）已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的导函数的基本原则是先化简，再运求导公式和求导法则求出导函数；
（5）求导函数的基本方法是：①若函数f(x)的解析式是连乘形式，则应先化为多项式，再求导函数；②若函数f(x)的解析式是根式形式，则先化为指数幂，再求导函数；③若函数f(x)的解析式是复杂的分式，则先把解析式化为几个简单分式的和或差，再求导函数；
（6）运用复合函数求导法则：（x）=〔g(x)〕、(x)求函数导函数时应注意：①利用复合函数求导法则求导时，一定要把中间变量换成自变量的函数；②需要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆；
（7）若问题的已知条件中没有函数的解析式，求函数的导函数或函数在某点的导数值时，需要首先根据条件求出函数的解析式，然后再求解问题。
〔练习4〕解答下列问题：
1、下列所求导数不正确的是（ ）（答案：C）
A = B = .ln2 C = D =
2、若函数f(x)= +2x（2），则（2）= ；（答案：（2）=-4）
3、函数f(x)= （x-1）在x=1处的导数等于 ；（答案：x=1处的导数等于0）
4、用导数的定义求下列函数在点处的导数：
（1）f(x)=2 ； （答案：（）=2）（2）f(x)= -4x 。（答案：（）=3-4）
5、求下列函数的导数：
(1)f(x)=8 ；（答案：（x）=16x） (2)f(x)=2x-1；（答案：（x）=2）
(3)f(x)=2+x ；（答案：（x）=4x+1） (4)f(x)=3-4x；（答案：（x）=9-4）
(5)f(x)=(3x-2)(2x+1)；（答案：（x）=12x-1）(6) f(x)= ( +1)；（答案：（x）=5+2x）
（7）f(x)= cosx ； (8)f(x)= ；
(9)f(x)= ； (10)f(x)= ；
（答案：（7）（x）=3cosx-sinx；（8）（x）=；（9）（x）=；（10）（x）=；）
【典例5】解答下列问题：
1、已知函数f(x)在R上满足：f(x)=2 f(2-x)- +8x-8，则曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程是（ ）
A y=2x-1 B y=x C y=3x-2 D y=-2x+3
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法；④求函数解析式的基本方法；⑤曲线y= f(x)在某点处切线方程的定义与性质；⑥求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的解析式，运用求导公式，法则和求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x），利用曲线y= f(x)在某点处切线方程性质和求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法求出曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程就可得出选项。
【详细解答】 f(x)=2 f(2-x)- +8x-8①， f(2-x)=2 f(x)- +4x-4+16-8x-8②，联立①②解得：f(x)= ，（x）=2x，f(1)=1，（1）=2，曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x -1，A正确，选A。
2、已知f(x)=lnx，g(x)= +mx+(m＜0），直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，与f(x)图像的切点为（1，f(1)），则m= （ ）
A -1 B -3 C -4 D -2
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法；④曲线y= f(x)在某点处切线方程的定义与性质；⑤求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】运用求导公式，法则和求函数导函数的基本方法分别求出函数f(x)（或g(x)）的导函数（x）（或（x）），利用曲线y= f(x)在某点处切线方程性质和求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法求出曲线y= f(x)（或y= g(x)）在点（1，f(1)）（或点（ ，g（））处的切线方程，根据直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可得出选项。
【详细解答】设直线l与曲线y= g(x)的切点为（ ，g（）），（x）=，（x）=x+m，f(1)=ln1=0，g（）=+m+，（1）=1，（）=+m，曲线y= f(x)（或y= g(x)）在点（1，f(1)）（或点（ ，g（））处的切线方程分别为：y=x-1，y-(+m+)=(+m)(x-)，即：y=x-1，y=(+m)x-+，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切， x-1=(+m)x-+，+m=1，且-1=-+，m=1-=1-3=-2或m=1-=1+3=4， m＜0，m=-2，D正确，选D。
3、曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（ ）
A B C D 1
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法；④曲线y= f(x)在某点处切线方程的定义与性质；⑤求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】运用求导公式，法则和求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x），利用曲线y= f(x)在某点处切线方程性质和求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法求出曲线y= f(x)在点（0，2）处的切线方程，根据三角形面积公式，结合图像求出曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积就可得出选项。
【详细解答】（x）=-2，f(0)=1+1=2，点 y
（0，2）在曲线y=+1上，（0）=-2=-2， B
曲线y= f(x)在点（0，2）处的切线方程为：y-2=-2x， 0 A x
即y=-2x+2，作出直线y=2x+2的图像如图所示，由图知，OAB是曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形，=1=，曲线y=+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为，A正确，选A。
4、函数y= 的切线方程为y=mx，则m= ；
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法；④曲线y= f(x)在某点处切线方程的定义与性质；⑤求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】设切线与曲线y= f(x)的切点为（ ，f（）），运用求导公式，法则和求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x），利用曲线y= f(x)在某点处切线方程性质和求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法求出曲线y= f(x)在点（ ，f（））处的切线方程，与切线y=mx比较就可求出m的值。
【详细解答】（x）=，f()=，（）=，曲线y= f(x)在点（ ，f（））处的切线方程为：y-=(x-)，即：y=x+（1-)，函数y= 的切线方程为y=mx，m=且（1-)=0， m==e。
5、在抛物线y=+x-1上取横坐标为=1，=3两点，过这两点引割线，在抛物线
上求一点p，使过点p的切线与所引的割线平行。
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法；④曲线y= f(x)在某点处切线方程的定义与性质；⑤求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法；⑥已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；⑦两条直线平行的定义与性质。
【解题思路】设切线与曲线y= f(x)的切点为P（ ，f（）），根据已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法求出割线的斜率，运用求导公式，法则和求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x），利用曲线y= f(x)在某点处切线方程性质和求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法求出曲线y= f(x)在点（ ，f（））处的切线方程的斜率，由两条直线平行的性质得到关于的方程，求解方程求出的值，从而求出f（）的值就可得出点p的坐标。
【详细解答】设切线与曲线y= f(x)的切点为P（ ，f（）），（x）=2x+1，当=1时， =1+1-1=1，当=3时，=9+3-1=11，抛物线上两点的坐标分别为（1，1），（3，11），割线的斜率k==5，（x）=2x+1，曲线y= f(x)在点P（ ，f（））处的切线的斜率为： （）=2+1，过点p的切线与所引的割线平行，2+1=5，
=2，f（）=4+2-1=5，点P（2，5）。
6、已知曲线f(x)= 上一点p（2，），求：
（1）过点p的切线的斜率；
（2）过点p的切线方程。
【解析】
【知识点】①函数求导公式及运用；②函数求导的法则及运用；③求函数导函数的基本方法；④曲线y= f(x)在某点处切线方程的定义与性质；⑤求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用求导公式，法则和求函数导函数的基本方法求出函数f(x)的导函数（x），利用曲线y= f(x)在某点处切线方程性质和求曲线y= f(x)在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y= f(x)在点p（2，）处的切线方程的斜率；（2）根据点斜式直线方程公式就可求出过点p（2，）的切线方程。
【详细解答】（1）（x）=，过点p的切线的斜率为（2）=4；（2）过点p的切线方程的斜率为（2）=4，过点p的切线方程为：y-=4(x-2)，即y=4x-。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求过某点与曲线相切的直线方程的问题，解答这类问题的理论依据是函数f(x)在某点的导数的几何意义是曲线y=f(x)在该点的切线的斜率；
（2）已知一点的坐标，求曲线过已知点的切线方程的问题主要包括：①已知点在曲线y= f(x)上；②已知点在曲线y= f(x)外，解答这类问题时，应注意判断已知点是否在曲线y= f(x)上；
（3）求已知点在曲线y= f(x)上切线方程的基本方法是：①求出函数f(x)在该点的导数值，②运用点斜式求出切线的方程；
（4）求已知点在曲线y= f(x)外切线方程的基本方法是：①设出切线切点的坐标P（，f()）；②求出过点P（，f()）的切线方程；③把已知点代入切线方程求出；④把的值代入切线方程得出答案；
（5）已知切线斜率或切线方程，求参数值的基本方法是：①求出曲线y=f(x)的切线方程；②把求出的切线方程与已知方程相比较得到关于参数的方程或方程组；③求解方程或方程组得出参数的值；
（6）对导数与函数图像的关系问题，应注意运用导数与函数变化之间的联系并结合问题的具体情况进行考虑。
〔练习5〕解答下列问题：
1、设曲线y=在点（，1）处的切线与直线x-ay+1=0平行，则实数a等于（ ）A -1 B C -2 D 2 （答案：A）
2、若曲线y=的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）（答案：A）
A 4x-y-3=0 B x+4y-5=0 C 4x-y+3=0 D x+4y+3=0
3、已知曲线y=3，则过点B（1，-2）的曲线的切线方程为 ；（答案：6x-y-8=0）
4、求过曲线y=-2x上一点（1，-1）的切线方程；（答案：x-y-2=0）
5、如果曲线f(x)= +x-10的某一条切线与直线y=4x+3平行。
（1）求切点p的坐标；（答案：（1，-8）或（-1，-12））
（2）求过点p的切线的方程。（答案：4x-y-12=0或4x-y-8=0）
6、已知直线为曲线y=+x-2在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且。
（1）求直线的方程；（答案：x+3y+=0）
（2）求由直线，和x轴所围成的三角形的面积。（答案：）
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、记函数f(x)的导函数为 (x)，若f(x)= sin2x，则 (0)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 B 1 C 0 D -1
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②求函数在某点导数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用求函数在某点导数值的基本方法求出 (0)的值就可得出选项。
【详细解答】 (x)= sin2x+ 2cos2x=( sin2x+2cos2x)， (0)= (sin0
+2cos0)=1(0+21)=2， A正确，选A。
2、若曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行，则实数a的值为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A -4 B -3 C 4 D 3
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义及运用；③两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数y的导函数，从而求出函数y在点x=1的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和两条直线平行的充分必要条件得到关于a的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。
【详细解答】=+2x， =1+21=1+2=3， 曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行， -a=3,即a=-3, B正确，选B。
3、曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为 （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，从而求出导函数在点x=-1的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程。
【详细解答】==，==5，切线过点（-1，-3），曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为y+3=5(x+1)，即：5x-y+2=0。
4、若过点（a，b）可以做曲线y=的两条切线，则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线y=过点（a，b）的两条切线方程，从而得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b之间的关系就可得出选项。 A
【详细解答】如图，设过点（a，b）与曲线y=的两条切线 y
的切点分别为A（，），B（，），=， B (a，b)
EMBED Equation.DSMT4 =，=，过点（a，b）与曲线y=的
两条切线方程分别为：y=(x-+1)，y= (x-+1)，由图知，当-时，切线y=0，
当+时，切线y=+，点（a，b）在第一象限，且位于曲线y=，即 0D正确，选D。
5、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②奇函数定义与性质。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用奇函数的性质，结合问题条件，就可求出函数f(x)。
【详细解答】设函数f(x)= ，f()==.，f(). f()=.， f()= f(). f()满足①；（x）=2x，当x,（0，+）时，（x）>0满足②；函数
（x）=2x的定义域为R关于原点对称，（-x）=2（-x）=-2x=-（x），函数（x）是
奇函数满足③，同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
6、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
7、设函数f(x)的导函数是 (x)，若f(x)= ()-cosx，则 ()=（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B C D -
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②求函数在某点导数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用求函数在某点导数值的基本方法求出 ()的值就可得出选项。
【详细解答】 (x)= 2 ()x+sinx， ()= 2 ()+sin， ()=0，, ()=2 ()+sin=0+=，B正确，选B。
『思考问题6』
【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试）试卷中关于导数的概念及运算的试题，归结起来主要包括：①函数在某点导数的定义及运用；②函数在某点导数的几何意义及运用；③导函数的定义及运用；④函数求导公式，法则及运用；⑤过一点与曲线相切的直线方程与基本求法；⑥定积分的定义及运用等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题的结构特征，判断问题属于哪种类型；②运用解答该类型问题的思路和基本方法实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 （2021成都市高三零诊）（答案：切线方程为y=4x+1）
2、已知函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）处的切线l的斜率为2，则直线l在Y轴上的截距为（ ）（2021成都市高三三诊）（答案：B）
A 3 B -3 C 1 D -1
3、曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 （2020全国高考新课标I）（答案：切线方程为y=2x）
4、设函数f(x)= ，若（1）=，则a= （2020全国高考新课标III）（答案：a=1）
5、设函数f(x)的导函数为(x)，若f(x)=lnx+ -1，则(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：C）
A e-3 B e-2 C e-1 D e
6、曲线y= -x在点（1，0）处的切线方程为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A 2x-y=0 B 2x+y-2=0 C 2x+y+2=0 D 2x-y-2=0
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