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2023高考专题——平面向量（解析版）
第一讲　平面向量的概念及其线性运算
知识点一　向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 向量a加上向量b的相反向量叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积是一个向量记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ； (2)方向： 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数． (1)λ(μa)＝(λμ)a (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
常用结论：
1．零向量与任何向量共线．
2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±.
3．若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线．
4．首尾相连的一组向量的和为0.
5．若P为AB的中点，则＝(＋)．
6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.　　　　　 　　　 　　　　　　 　　　　　
考点一　向量的基本概念
例1 (1)(多选题)(2021·临沂模拟)下列命题中的真命题是(　BC　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使用＝成立的充要条件是(　D　)
A．a＝b B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同
[解析]　(1)A不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
C正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC．
(2)表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向．
跟踪练习
1．(2022·南通联考)下列命题中正确的是(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
解析：D　则若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定分别重合，A错误；模相等的两个平行向量可能是相等向量也可能是相反向量，B错误；若a和b都是单位向量，但是两向量方向不一致，则不满足a＝b，C错误；两个相等向量的模一定相等，D正确，故选D．
2．设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：B　因为a，b为非零向量，所以a∥b时，a与b方向相同或相反，因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件．故选B．
3．(2022·日照调研)若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是(　　 )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
解析：A　因为＝，所以∥，且||＝||，所以四边形ABCD为以AD为上底边，BC为下底边的梯形．又||＝||，因此四边形ABCD是等腰梯形．
4．(2022·宜昌月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
解析：D　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故选D．
5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反　　　 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
解析：B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．
6．(多选)给出下列命题，其中假命题为(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
解析：BCD　对于A，向量与向量，长度相等，方向相反，命题成立；对于B，当a＝0时，不成立；对于C，当a，b之一为零向量时，不成立；对于D，当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．
考点二　向量的线性运算
角度1　向量加、减法的几何意义
例2 设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　A　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
[解析]　解法一：利用向量加法的平行四边形法则．
在 ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
解法二：∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
角度2　向量的线性运算
例3 (2022·长沙模拟)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝(　D　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析]　
解法一：如图所示，取BC的中点F，连接AF，因为BC＝2AD，所以AD＝CF，又AD∥CF，所以四边形ADCF为平行四边形，则AF∥CD，所以＝.因为DE＝EC，所以＝＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b，故选D．
解法二：如图，连接BD，因为DE＝EC，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋＝a＋b，故选D．
角度3　根据向量线性运算求参数
例4 (2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　C　)
A．1 B．6
C． D．
[解析]　因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，＝，
因为＝－2，所以＝－＝－，
连接AF，在△AEF中，
所以＝＋＝－＋＋
＝－－＋＋＝－，
又因为＝x＋y，
所以x＝，y＝－，故x＋y＝.
跟踪练习
1.(2022·青岛质检)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　 )
A．a＋b　　 B．a＋b
C．a－b　　 D．a－b
[解析]　法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋．因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A．
法二：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A．
2.(2022·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝ ，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[解析]　由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)＝－＋，又＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝．
3．(2022·济南期中)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
解析：A　根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，所以＝－，故选A．
4．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，＝3，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为＝3，所以＝＋ ＝＋(－)＝＋，因为＝，所以＝，所以＝＋，又＝＋m，所以m＝，故选B．
5.(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　D　)
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
[解析]因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．
6.(2021·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　D　)
A．－
B．2－2
C．－
D．2－2
连接CD(图略)，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD，所以＝2＝2(－)＝2－2，故选D．
7.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　D　)
A．1 B．
C． D．
由题意易得＝＋＝＋，
则2＝＋，即＝＋.
所以λ＝，μ＝，
8.故λ＋μ＝＋＝.3．已知正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A． B．
C． D．0
解析：D　如图，连接AD，BE，设AD与BE交于点O，则＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝0．故选D．
9．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　 )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
解析：C　由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
10．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝＋
解析：AC　易证△DEN∽△BAN，又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝AB，∴＝＋＝＋，∴D说法错误；∵＝＝＋，∴C说法正确；∵＝＋＝(＋)＋(－)＝＋，∴A说法正确，B说法错误．故选A、C．
11．(2022·襄阳模拟)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
解析：因为||＝||＝|－|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|＋|＝2．
12．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________．
解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝．
13．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是________h．(附： ≈2．449，精确到0．01)
解析：要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度v必须垂直于对岸，如图所示，|v|＝＝(km/h)，所以t＝＝＝≈0．41(h)．
14．(2022·兰州诊断)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
解析：由已知得AD＝1，CD＝，所以＝2．因为点E在线段CD上，所以＝λ (0≤λ≤1)．因为＝＋＝＋λ＝＋，又＝＋μ，所以μ＝．因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤．
考点三　共线向量定理及其应用
例5 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解析]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，
又∵它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴解得k＝±1.
平面向量共线的判定方法
(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
跟踪练习
1．(2022·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　 )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
解析：A　∵A，B，C三点共线，∴∥，∴存在实数t，使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t，得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b＝(a＋μb)＝，此时存在实数使＝，故和共线．∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线，故选A．
2．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，C三点共线，则m＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－2
解析：A　因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，因为＝＋＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以解得m＝3．故选A．
3.(2022·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　B　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
[解析]　由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.故选B．
4.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　D　)
A．a B．b
C．c D．0
解法1：∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λ1c.①
又∵b＋c与a共线，∴b＋c＝λ2a.②
由①得：b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a.
∴即
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D．
解法2：①－②得a－c＝λ1c－λ2a
∴λ1＝－1、λ2＝－1，
∴a＋b＋c＝0.
5.下列命题正确的是(　D　)
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
[解析]　易知ABC错误．对于D．∵向量a与b不共线，
∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量．
若a＋b与a－b共线，
则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，
即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
所以此时λ无解，故假设不成立，
即a＋b与a－b不共线．故D正确．
6.下列叙述正确的是(　D　)
A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同
B．|a|＋|b|＝|a＋b| a与b的方向相同
C．＋＝0
D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b
[解析]　对于A，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同；对于B，当a，b中有一个为零向量时结论不成立；对于C，因为两个向量之和仍是一个向量，所以＋＝0；对于D，λ(a－b)＝0时，∵λ≠0，∴此时一定有a＝b.故选D．
7.(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．A，B，C三点共线
解析：ABD　由题可得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，∴＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误；由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选A、B、D．
8．(2022·重庆模拟)直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量＝(1－cos α)＋sin α (α是锐角)总成立，则α＝________．
解析：因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得＝λ，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ，所以所以sin α＝cos α，因为α是锐角，所以α＝45°．
9．(2022·潍坊期中)如图，在△ABC中，＝3，D是BE上的点，若＝x＋，则实数x的值为________．
解析：∵＝3，∴＝，∵＝x＋，∴＝x＋×＝x＋，∵B，D，E三点共线，∴x＋＝1，∴x＝．
10.设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解]　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5，∴，共线．
又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b．
∵a，b是不共线的两个向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1．
第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示
知识点一　平面向量的基本定理、，
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.
知识点二　平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
知识点三　平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
知识点四　向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
　　　　 　　　 　　　　　　 　　　　　
考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　C　)
A．a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝－3.
[解析]　(1)
＝＋
＝＋
＝(－)－
＝－－＝－a－b.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，
则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)．
由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，
即解得
所以λμ＝－3.故填－3.
跟踪练习
1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　　　　 B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2
解析：B　由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D，2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意．故选B．
2．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　)
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
解析：B　如图，可知＝＋＝－＝－＝－．故选B．
3.(2022·汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a＋b D．a－b
解析：D　取a＝，b＝作为基底，则＝a＋b．因为BF＝3FE，所以＝＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b，故选D．
4. (多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　)
A．若b＝λa(λ∈R)，则a∥b
B．若a∥b，则存在实数λ，使b＝λa
C．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0 λ＝μ＝0
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底
解析：BCD　A项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；
B项，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在实数λ，使b＝λa，错误；
C项，若a，b为相反向量，则a＋b＝0，此时λ＝μ＝1，错误；
D项，由平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误．故选B、C、D．
5.(2022·长沙模拟)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　C　)
A．－
B．＋
C．－
D．＋
[解析]　(1)因为E为DC的中点，所以＝.因为＝2，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－，故选C．
6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝________．
[解析]　由题图可设＝x (07.已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是(－2,0).
依题意，设＝λ(0<λ<1)，
由＋＋＝0，知＝－(＋)，
所以＝－λ－λ，由平面向量基本定理可知，
m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2,0)．
8.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是(　　)
A．a＝e1＋e2，b＝e1
B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
解析：ACD　对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；
对B，b＝a，所以a，b共线，所以不符合；
对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；
对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合，故选A、C、D．
9.已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．
解析：因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝ ，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心，半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1．
10.如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解：(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b．
(2)由题意知，∥，故设＝x．
因为＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b．
所以(2－λ)a－b＝x．
因为a与b不共线，所以由平面向量基本定理，
得解得故λ＝．
考点二　平面向量坐标的基本运算
例2 (1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
③求M，N的坐标及向量的坐标．
(2)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为(－4，－2).
[解析]　(1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
②因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得.
③设O为坐标原点，
因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
所以M(0,20)．
又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．
所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．
(2)设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．
跟踪练习
1.(2022·天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
[解析]由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
2.(2022·安徽调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
解析：因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝λ．∴＝λ(0,1)＋λ＝，又||＝3，所以2＋2＝(3)2，解得λ＝5．故向量＝(－3,9)．
3.(2022·太原联考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________．
解析：由题意知a＝e1＋λe2＝(1,1＋λ)，b＝－(2e1－3e2)＝(－2,1)．由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－．
4.已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
[解析]　因为a∥b，所以a＝kb，即(2,5)＝k(λ，4)，得解得
5.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
解析：由点C是线段AB上一点，||＝2||，得＝－2．设点B(x，y)，则(2－x,3－y)＝－2(1,2)，即解得所以向量的坐标是(4,7)．
6.(2021·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝－6.
[解析]　由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
7. (2021·湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(－sin θ，0)，c＝(cos θ，－1)，且(2a－b)∥c，则sin 2θ等于－.
[解析]　由题意知2a－b＝(3sin θ，2)，
又(2a－b)∥c，∴－3sin θ＝2cos θ，即tan θ＝－，
∴sin 2θ＝＝＝－.
8.(2022·郑州月考)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝45°.
[解析]　(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，
所以cos2θ＝，所以cos θ＝或cos θ＝－，
又θ为锐角，所以θ＝45°.故填45°.
9.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝－.
(2)＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2
10．(2022·本溪模拟)已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A　若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝x(x＋2)，解得x＝0或x＝－1，所以p：x＝－1是q的充分不必要条件．故选A．
11．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cos C＝＝，因为012．(多选)(2022·珠海模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　 )
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：ABD　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选A、B、D．
13．(2022·菏泽模拟)已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，则实数m的值为__________．
解析：∵向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，∴2a＋b＝(－3，2＋2m)．∵a∥(2a＋b)，∴－2(2＋2m)＝－3m，解得m＝－4．
14．(2022·泰安质检)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
解析：不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，则|b|＝＝10，解得m＝－2(m＝2舍去)，故b＝(6，－8)．
15．已知向量a＝(1,3)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan＝________．
解析：由a∥b可得，3sin α＝cos α，得tan α＝，所以tan＝＝＝2．
16．如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，点P在线段CD上运动．设＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[1,2] B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,4]
解析：C　以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，E(－1,1)，设P(t,1)(0≤t≤1)，则(t,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，所以t＝x－y，且y＝1，故x＋y＝t＋2∈[2,3]．故选C．
17．(2022·福州模拟)若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
解析：因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
18.(2022·辽宁月考)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)法一：∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，
又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
第三讲　平面向量的数量积
知识点一　向量的夹角
两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角；范围是[0，π].
a与b的夹角为时，则a与b垂直，记作a⊥b.
知识点二　平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点三　平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
④夹角：cos θ＝＝.
⑤已知两非零向量a与b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0；a∥b a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．
⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·.
(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
考点一　平面向量数量积的运算
例1 (1)已知向量e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1，)，e1，e2的夹角为60°，则(e1＋e2)·e2＝(　C　)
A． B．
C．5 D．
(2)已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是－25.
[解析]　(1)e2＝(1，) |e2|＝2，所以(e1＋e2)·e2＝e1·e2＋e＝1×2cos 60°＋4＝5.故选C．
(2)如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝，
∴·＋·＋·
＝·＋·
＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×＝－25.
考点二　向量的模、夹角
例2 (1)(2021·四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60°，且a＝(1，－)，|b|＝3，则|2a－b|的值为(　C　)
A．13 B．
C． D．1
(2)(2022·黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC的中点，则||＝2.
[解析]　(1)∵a＝(1，－)，∴|a|＝2.
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝3，
|2a－b|＝＝＝.故选C．
(2)由题意知m·n＝×2×cos ＝3.
∵△ABC中，D为BC的中点，
∴＝(＋)＝(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.
∴||＝|2m－2n|＝2
＝2＝2＝2.
角度2　向量的夹角
例3 (1)(2021·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin＝(　B　)
A． B．
C． D．
(2)(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　D　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　(1)解法1：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(，)，
cos＝＝＝，
∴sin＝，故选B．
解法2：如图，sin〈a，c〉＝.
(2)∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝19.又|a＋b|＝＝＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D．
角度3　平面向量的垂直
例4 (1)(2020·全国Ⅲ，5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　D　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
(2)(2022·安徽宣城调研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　A　)
A． B．
C．6 D．
[解析]　(1)解法1：本题考查向量的数量积．由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝，b2＝|b|2＝1.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A错；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B错；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C错；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b，故选D．
解法2：可以考虑几何意义．
(2)因为⊥，所以·＝(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝0，
因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos 120°＝0，
所以λ＝.故选A．
跟踪练习
1.在△ABC中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则·的值为(　　)
A．20 B．－20
C．20 D．－20
解析：B　由题意知〈，〉＝120°，故·＝||·||·cos〈，〉＝－5×8×＝－20，故选B．
2.(多选) (必修第二册21页例11改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0　　　　 B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0 a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
解析：CD　对于A选项，0·a＝0，错误；
对于B选项，因为a·b＝b·c，如图，由数量积的几何意义可知|a|cos θ1＝|c|·cos θ2，但a≠c，错误；
对于C选项，a·b＝0 a⊥b，正确；
对于D选项，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，正确．
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：A　取点O为BC的中点，根据题意作图，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，∴在上的投影向量为＝，故选A．
4．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为
解析：CD　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝，所以|a|≠|b|，故A错误；
因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)，所以(a－b)与b不平行，故B错误；
又(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b．故C正确；
又cos〈a，b〉＝＝＝，且〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为，故D正确．故选C、D．
5.(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6)　　　　　 B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．
6.在边长为1的等边三角形ABC中．D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB与点E，DF∥AB交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
解析：设BE＝x，x∈，∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1－2x，∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，∴(2＋)2＝4＋4·＋＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，∴|2＋|＝1，∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋，∴当x＝时，(＋)·的最小值为．
7.已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　D　)
A． B．－
C．－ D．－
[解析]　(1)由a＝(1,2)，可得|a|＝，
由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，
∴a·b＝－3，
∴向量b在a方向上的投影为＝－.
8.(2021·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　A　)
A． B．
C． D．
因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以·＝0，即∠BAC＝90°.所以·＝·＝·＝2＋2＝，故选A．
.9.(多选)(2022·常州一模)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是(　　)
A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上
B．若＋＋＝0，则P为△ABC的重心
C．若·>0，则△ABC为锐角三角形
D．若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
[解析]　对于A，设AB中点为D，BC中点为E，∵＋3＋2＝0，∴＋＝－2(＋)，∴2＝－4，即＝2，∴P，D，E三点共线，又DE为△ABC的中位线，∴点P在△ABC的中位线上，A正确；
对于B，设AB中点为D，由＋＋＝0得：＋＝－＝，又＋＝2，∴＝2，∴P在中线CD上，且＝2，∴P为△ABC的重心，B正确；
对于C，∵·>0，∴与夹角为锐角，即A为锐角，但此时B，C有可能是直角或钝角，故无法说明△ABC为锐角三角形，C错误；
对于D，∵＝＋，∴P为线段BC上靠近C的三等分点，即＝，∴S△ABC∶S△ABP＝BC∶BP＝3∶2，D正确．
10.(2020·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝.
本题考查平面向量的数量积运算．由题意知|a|＝|b|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 45°＝.因为ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝0，即k－＝0，得k＝.
11.(2021·山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－2b|＝(　B　)
A． B．
C．13 D．21
|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－1，
∴|a－2b|＝＝＝.故选B．
12.(2021·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为.
由题意可知＝－3，∴＝－3.
∴m＝－3，∴|b|＝＝6，记a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
又0≤θ≤π，∴θ＝.
13.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　B　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
[解析]　解法一：结合题意画出图形，如图所示，设BC的中点为D，AD的中点为E，连接AD，PE，PD，则有＋＝2，则·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．
而2＝2＝，
当点P与点E重合时，2有最小值0，故此时·(＋)取得最小值，最小值为－22＝－2×＝－.
14.(2020·全国新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　A　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
[解析]　本题考查平面向量数量积的取值范围．如图，以正六边形的中心为坐标原点O，线段FC所在直线为x轴，线段FC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则F(－2，0)，C(2,0)，A(－1，－)，B(1，－)．设P(x，y)，x∈(－2,2)，则·＝(x＋1，y＋)·(2,0)＝2x＋2∈(－2,6)．故选A．
15．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝(　　)
A．－2　　 B．±　　　C．±2　　 D．2
解析：C　法一：a＋b＝(1＋x,3)，a－b＝(1－x,1)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(1＋x)(1－x)＋3＝0，解得x＝±2．
法二：因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以a2－b2＝0，所以|a|＝|b|，所以x＝±2．故选C．
16．(2022·淄博三模)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．
解析：D　由已知可得|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1，则a·b＝，因此，|2a＋b|＝＝＝．故选D．
17．(2022·襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为(　　)
A．北偏西30°，20 km/h
B．北偏西60°，10 km/h
C．北偏东30°，10 km/h
D．北偏东60°，20 km/h
解析：A　如图，船从点O出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，||＝10，||＝10，则||＝＝20，则cos∠BOC＝＝，因为∠BOC为锐角，故∠BOC＝30°，故船以20 km/h的速度，以北偏西30°的方向行驶，才能垂直到达对岸．故选A．
18．(2022·金陵月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为(　　)
解析：B　∵A(x，y)，向量与关于y轴对称，∴B(－x，y)，＝(－2x,0)．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1≤0，故满足要求的点A(x，y)在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．故选B．
19．(多选)(2022·滕州模拟)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
解析：BD　由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，因此B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C错误；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．故选B、D．
20．(多选)(2022·青岛质检)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是(　　)
A．若(a＋b)∥c，则t＝6
B．若(a＋b)⊥c，则t＝
C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝
D．|a＋c|<3
解析：BC　a＋b＝(－1,3)，若(a＋b)∥c，则－t－6＝0，所以t＝－6，故A错误；
若(a＋b)⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝，故B正确；
若t＝1，则cos〈a，c〉＝＝＝，故C正确；
a＋c＝(3，t＋2)，则|a＋c|＝≥3，故D错误．故选B、C．
21．在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________．
解析：由题意，向量＝(3，－1)，＝(2，m)，由⊥，可得·＝3×2＋(－1)×m＝0，解得m＝6，所以四边形的面积为||·||＝ ·＝10．
22．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝．又因为0≤θ≤π，所以θ＝，则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6．
23．(2022·淮安模拟)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(－)·的取值范围为________．
解析：∵平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，∴建立如图所示的坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C(5，2)，D(2,2)，设E(x，y)，∵平面内动点E满足|ED|＝2|EC|，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4[(x－5)2＋(y－2)2]，即(x－6)2＋(y－2)2＝4，∴(x－6)2≤4 4≤x≤8，∴(－)·＝·＝(3,0)·(x，y)＝3x∈[12,24]．
24．(2022·天津模拟)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题意知C，
所以＋＝，所以|＋|2＝2＋(0≤t≤1)，
所以当t＝时，|＋|最小，最小值为．
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ
＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1，即m·n取得最小值1－．
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝．
25．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有(　　)
A．a b＝b a B．(λa) b＝λ(a b)
C．a·(b c)＝(a b)·c D．|a|·|b|≥|a b|
解析：ABD　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)．A项，因为a b＝x1x2－y1y2，b a＝x2x1－y2y1，所以a b＝b a，故正确；
B项，因为(λa) b＝(λx1)x2－(λy1)y2＝λ(x1x2－y1y2)＝λ(a b)，故正确；
C项，a·(b c)＝(x2x3－y2y3)a，(a b)·c＝(x1x2－y1y2)c，此时a·(b c)＝(a b)·c不恒成立，故错误；
D项，因为(|a|·|b|)2＝( ·)2＝xx＋yy＋xy＋xy，|a b|2＝xx＋yy－2x1x2y1y2，所以(|a|·|b|)2－|a b|2＝xy＋xy＋2x1x2y1y2＝(x1y2＋x2y1)2≥0，所以(|a|·|b|)2－|a b|2≥0，且|a|·|b|≥0，|a b|≥0，所以|a|·|b|≥|a b|，故正确，故选A、B、D．
26．(2022·本溪模拟)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为(　　)
A．8 B．2
C．4 D．4
解析：C　以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(－8,0)，B(－6,2)，C(－2,2)．圆D的方程为x2＋y2＝3，可设P(cos α，sin α)，所以＝(2,2)，＝(cos α＋6，sin α－2)．故·＝2cos α＋12＋6sin α－12＝4sin≤4．故选C．
27．(2022·珠海模拟)已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)
解析：设b＝(x，y)，∴a·b＝x＋y＝··，∴＝x＋y，∴xy＝0，且b为非零向量，∴x＝1，y＝0满足题意，∴b＝(1,0)．
答案：(1,0)(答案不唯一，满足b＝(x，y)，xy＝0且x2＋y2≠0的任意一个均可)
28．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为________．
解析：如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，C，D(0,2)，不妨设E(t,0)，F(t＋1,0)(0≤t≤2)，则＝，＝，∴·＝·＝×＋4＝(t－1)2＋(t∈[0,2])，∴·的最小值为，当且仅当t＝1时取得．
29．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足·≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．
解析：以A为原点，直线AB为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则Ei，Fj(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)，由·≤2得＋≤2，即i＋4j≤16．当j＝1,2时，i＝1,2，…，7，共2×7＝14对；当j＝3时，i＝1,2,3,4，共4对，故满足题意的有序数对(i，j)共有18对．
答案：18
30．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．
解：(1)设P(x，y)，则Q(8，y)．
由·＝0，
得||2－||2＝0，
即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化简，得＋＝1．
所以点P的运动轨迹为椭圆，其方程为＋＝1．
(2)因为·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1，
P是椭圆＋＝1上的任一点，设P(x0，y0)，
则有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)，
所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17
＝－(y0＋3)2＋20．
因为y0∈[－2，2]，所以当y0＝－3时，2取得最大值20，故·的最大值为19；
当y0＝2时，2取得最小值13－4(此时x0＝0)，故·的最小值为12－4．2023届高考专题——平面向量
第一讲　平面向量的概念及其线性运算
知识点一　向量的有关概念
(1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称模)．
(2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的，零向量记作 .
(3)单位向量：长度等于 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或 的 向量；平行向量又叫 向量．规定：0与任一向量 .
(5)相等向量：长度 且方向 的向量．
(6)相反向量：长度 且方向 的向量．
知识点二　向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 法则 法则 (1)交换律：a＋b＝ ；(2)结合律：(a＋b)＋c＝
减法 向量a加上向量b的 叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b 法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积是一个向量记作λa (1)模：|λa|＝|λ||a| ；(2)方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ是实数．(1)λ(μa)＝(λμ)a(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点三　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 .
常用结论：
1．零向量与任何向量共线．
2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±.
3．若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线．
4．首尾相连的一组向量的和为0.
5．若P为AB的中点，则＝(＋)．
6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.　　　　　 　　　 　　　　　　 　　　　　
考点一　向量的基本概念
例1 (1)(多选题)(2021·临沂模拟)下列命题中的真命题是(　 　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使用＝成立的充要条件是(　　)
A．a＝b B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同
跟踪练习
1．(2022·南通联考)下列命题中正确的是(　　)
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若a和b都是单位向量，则a＝b
D．两个相等向量的模相等
2．设a，b为非零向量，则“a∥b”是“a与b方向相同”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2022·日照调研)若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是(　　 )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
4．(2022·宜昌月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
5．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反　　　 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
6．(多选)给出下列命题，其中假命题为(　　)
A．向量的长度与向量的长度相等
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．|a|＋|b|＝|a－b| a与b方向相反
D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同
考点二　向量的线性运算
角度1　向量加、减法的几何意义
例2 设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
角度2　向量的线性运算
例3 (2022·长沙模拟)如图，在梯形ABCD中，BC＝2AD，DE＝EC，设＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
角度3　根据向量线性运算求参数
例4 (2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，＝－2，若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．1 B．6
C． D．
跟踪练习
1.(2022·青岛质检)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　 )
A．a＋b　　 B．a＋b
C．a－b　　 D．a－b
2.(2022·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝ ，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
3．(2022·济南期中)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－ B．－
C．＋ D．＋
4．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，＝3，若＝＋m，则实数m的值为(　　)
A． B．
C． D．
5.(2022·湖北宜昌一中月考)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
6.(2021·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)
A．－
B．2－2
C．－
D．2－2
7.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)
A．1 B．
C． D．
8.故λ＋μ＝＋＝.3．已知正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
A． B．
C． D．0
9．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　 )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
10．(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝＋
11．(2022·襄阳模拟)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________．
12．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________．
13．一条河的两岸平行，河的宽度d＝4 km，一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，那么行驶航程最短时，所用时间是________h．(附： ≈2．449，精确到0．01)
14．(2022·兰州诊断)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
考点三　共线向量定理及其应用
例5 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
平面向量共线的判定方法
(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
跟踪练习
1．(2022·南昌质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　 )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
2．已知向量a和b不共线，向量＝a＋mb，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，若A，B，C三点共线，则m＝(　　)
A．3 B．2
C．1 D．－2
3.(2022·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
4.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　　)
A．a B．b
C．c D．0
5.下列命题正确的是(　　)
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，＋＋＝0
C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
6.下列叙述正确的是(　　)
A．若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b与a，b其中之一的方向相同
B．|a|＋|b|＝|a＋b| a与b的方向相同
C．＋＝0
D．若λ≠0，λa＝λb，则a＝b
7.(多选)已知A，B，C是同一平面内三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　)
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．A，B，C三点共线
8．(2022·重庆模拟)直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量＝(1－cos α)＋sin α (α是锐角)总成立，则α＝________．
9．(2022·潍坊期中)如图，在△ABC中，＝3，D是BE上的点，若＝x＋，则实数x的值为________．
10.设两向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示
知识点一　平面向量的基本定理、，
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝ .
知识点二　平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与 的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj， 叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝ ，j＝ ，0＝ .
知识点三　平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，a－b＝ ，λa＝ ，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝ ，||＝ .
知识点四　向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b .
　　　　 　　　 　　　　　　 　　　　　
考点一　平面向量基本定理的应用
例1 (1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝ .
跟踪练习
1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　　　　 B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2
2．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　)
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
3.(2022·汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝(　　)
A．a＋b B．a－b
C．－a＋b D．a－b
4. (多选)给出以下说法，其中不正确的是(　　)
A．若b＝λa(λ∈R)，则a∥b
B．若a∥b，则存在实数λ，使b＝λa
C．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0 λ＝μ＝0
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底
5.(2022·长沙模拟)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足＝2，那么＝(　　)
A．－
B．＋
C．－
D．＋
6.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则＝________．
7.已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是 .
8.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是(　　)
A．a＝e1＋e2，b＝e1
B．a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C．a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D．a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
9.已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．
10.如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b．
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
考点二　平面向量坐标的基本运算
例2 (1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
①求3a＋b－3c；
②求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
③求M，N的坐标及向量的坐标．
(2)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为
跟踪练习
1.(2022·天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
2.(2022·安徽调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
3.(2022·太原联考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________．
4.已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
[解析]　因为a∥b，所以a＝kb，即(2,5)＝k(λ，4)，得解得
5.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是________．
6.(2021·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝ .
7. (2021·湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(－sin θ，0)，c＝(cos θ，－1)，且(2a－b)∥c，则sin 2θ等于 .
8.(2022·郑州月考)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝ .
9.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝ .
10．(2022·本溪模拟)已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(　　)
A． B．
C． D．
12．(多选)(2022·珠海模拟)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　 )
A．－2 B．
C．1 D．－1
13．(2022·菏泽模拟)已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，则实数m的值为__________．
14．(2022·泰安质检)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
15．已知向量a＝(1,3)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan＝________．
16．如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，点P在线段CD上运动．设＝x＋y，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[1,2] B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,4]
17．(2022·福州模拟)若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
18.(2022·辽宁月考)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
第三讲　平面向量的数量积
知识点一　向量的夹角
两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角；范围是
a与b的夹角为 时，则a与b垂直，记作
知识点二　平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
知识点三　平面向量数量积的性质及其坐标表示
(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝
②模：|a|＝＝
③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
④夹角：cos θ＝ ＝.
⑤已知两非零向量a与b，a⊥b a·b＝0 ；a∥b a·b＝±|a||b|.(或|a·b|＝|a|·|b|)．
⑥|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·.
(2)平面向量数量积的运算律
①a·b＝b·a(交换律)．
②λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
考点一　平面向量数量积的运算
例1 (1)已知向量e1，e2，|e1|＝1，e2＝(1，)，e1，e2的夹角为60°，则(e1＋e2)·e2＝(　　)
A． B．
C．5 D．
(2)已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是 .
考点二　向量的模、夹角
例2 (1)(2021·四川双流中学月考)若平面向量a、b的夹角为60°，且a＝(1，－)，|b|＝3，则|2a－b|的值为(　　)
A．13 B．
C． D．1
(2)(2022·黄冈调研)已知平面向量m，n的夹角为，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D为BC的中点，则||＝ .
角度2　向量的夹角
例3 (1)(2021·新高考八省联考)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2020·全国Ⅲ理，6)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
角度3　平面向量的垂直
例4 (1)(2020·全国Ⅲ，5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
(2)(2022·安徽宣城调研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为(　　)
A． B．
C．6 D．
跟踪练习
1.在△ABC中，BC＝5，AC＝8，C＝60°，则·的值为(　　)
A．20 B．－20
C．20 D．－20
2.(多选) (必修第二册21页例11改编)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0　　　　 B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0 a⊥b D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量在向量上的投影向量为(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．(多选)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为
5.(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(不包括边界)的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6)　　　　　 B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
6.在边长为1的等边三角形ABC中．D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB与点E，DF∥AB交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
7.已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A． B．－
C．－ D．－
8.(2021·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)
A． B．
C． D．
.9.(多选)(2022·常州一模)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是(　　)
A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上
B．若＋＋＝0，则P为△ABC的重心
C．若·>0，则△ABC为锐角三角形
D．若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2
10.(2020·全国Ⅱ，13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝ .
11.(2021·山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－2b|＝(　　)
A． B．
C．13 D．21
12.(2021·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为 .
13.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．－1
14.(2020·全国新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
15．向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．若(a＋b)⊥(a－b)，则x＝(　　)
A．－2　　 B．±　　　C．±2　　 D．2
16．(2022·淄博三模)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|2a＋b|＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．
17．(2022·襄阳期中)在水流速度10 km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为(　　)
A．北偏西30°，20 km/h
B．北偏西60°，10 km/h
C．北偏东30°，10 km/h
D．北偏东60°，20 km/h
18．(2022·金陵月考)在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足不等式2＋a·≤0的点A(x，y)构成的集合用阴影表示为(　　)
19．(多选)(2022·滕州模拟)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(a·c)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
20．(多选)(2022·青岛质检)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(2，t)，下列说法正确的是(　　)
A．若(a＋b)∥c，则t＝6
B．若(a＋b)⊥c，则t＝
C．若t＝1，则cos〈a，c〉＝
D．|a＋c|<3
21．在四边形ABCD中，＝(3，－1)，＝(2，m)，⊥，则该四边形的面积是________．
22．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
23．(2022·淮安模拟)已知平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠BAD＝，平面内动点E，满足|ED|＝2|EC|，则(－)·的取值范围为________．
24．(2022·天津模拟)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
25．(多选)引入平面向量之间的一种新运算“ ”如下：对任意的向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，规定m n＝x1x2－y1y2，则对于任意的向量a，b，c，下列说法正确的有(　　)
A．a b＝b a B．(λa) b＝λ(a b)
C．a·(b c)＝(a b)·c D．|a|·|b|≥|a b|
26．(2022·本溪模拟)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为(　　)
A．8 B．2
C．4 D．4
27．(2022·珠海模拟)已知平面向量a＝(，)，则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为________．(写出满足条件的一个向量即可)
28．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2CD＝3，AD＝2，若EF在线段AB上运动，且EF＝1，则·的最小值为________．
29．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，分别将边BC与DC等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E1，E2，…，E7，自左到右依次记作F1，F2，…，F7，满足·≤2(其中i，j∈N*,1≤i，j≤7)的有序数对(i，j)共有________对．
30．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2) ))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，求·的最值．

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