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2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的探索性问题（学生版）
圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
例1 (2022·广东省高三新高考测评)设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角θ的取值范围；
(2)直线l交直线x＝于点P，且点A在点P，F之间，试判断－是否为定值，并证明你的结论．
跟踪练习
1、(2021·陕西西安八校联考)已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点M(m,1)在抛物线上，且|MF|＝.直线l：y＝kx＋2与抛物线C交于A、B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设O为坐标原点，y轴上是否存在点P，使得当k变化时，总有∠OPA＝∠OPB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2、已知圆C：(x－1)2＋y2＝，一动圆与直线x＝－相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
3、已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点P，其渐近线方程为y＝±x．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)双曲线C上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
4、如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
5、已知双曲线方程为－＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·＝0，|PF1||PF2|＝6．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)，使得·为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
6、已知抛物线D的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D的方程；
(2)已知动直线l过点P(4,0)，交抛物线D于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
7、已知双曲线C1：－＝1与C2：－＝1有相同的渐近线，点F为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点．
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的探索性问题（解析版）
圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解析讨论，往往涉及对参数的讨论．
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．
例1 (2022·广东省高三新高考测评)设双曲线C：－y2＝1，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角θ的取值范围；
(2)直线l交直线x＝于点P，且点A在点P，F之间，试判断－是否为定值，并证明你的结论．
解：(1)由双曲线C：－y2＝1得c2＝3＋1＝4，
则右焦点F，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋2，
由得y2＋4my＋1＝0，
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，
设A，B，
Δ＝16m2－4>0，y1＋y2＝，y1·y2＝，
则
解得－当m＝0时，直线l倾斜角θ＝，
当m≠0时，直线l的斜率k>或k<－，
综上，直线l倾斜角θ的取值范围为.
(2)是定值．证明如下：
由得P，
不妨假设y1<0则－＝－－
＝＝，
又y1y2＝－，
代入上式，得－
＝＝＝1，
所以－为定值1.
跟踪练习
1、(2021·陕西西安八校联考)已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点M(m,1)在抛物线上，且|MF|＝.直线l：y＝kx＋2与抛物线C交于A、B两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设O为坐标原点，y轴上是否存在点P，使得当k变化时，总有∠OPA＝∠OPB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)根据抛物线的定义，得1＋＝，
解得p＝.
∴抛物线C的方程为x2＝y.
(2)在y轴上存在点P，使得当k变化时，总有∠OPA＝∠OPB．理由如下：
设P(0，b)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由消去y，得2x2－kx－2＝0.且Δ＝k2＋16>0恒成立．
∴x1＋x2＝，x1x2＝－1.y1＝2x，y2＝2x.
∵∠OPA＝∠OPB时，直线PA和直线PB的倾斜角互补，故其斜率互为相反数．
∴kPA＋kPB＝＋＝＝0，
∴x2·2x－bx2＋x1·2x－bx1＝0，
即＝0，
∴·＝0，得b＝－2，
即点P的坐标为(0，－2)．
所以，y轴上存在点P(0，－2)，使得当k变化时，总有∠OPA＝∠OPB．
2、已知圆C：(x－1)2＋y2＝，一动圆与直线x＝－相切且与圆C外切．
(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；
(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．
解：(1)设P(x，y)，则由题意得，|PC|－＝，
即＝x＋1，
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y2＝4x．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意，设直线l的方程为x＝my＋6，联立抛物线方程可得y2－4my－24＝0，Δ＝16m2＋96>0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－24，
∴x1＋x2＝4m2＋12，x1x2＝36，
假设存在N(x0，y0)，使得NA⊥NB，则y0＝＝2m，∴x0＝m2，
∵·＝0，∴(x1－m2y1－2m)·(x2－m2y2－2m)＝0，
∴代入化简可得(m2＋6)(3m2－2)＝0，
∴m＝±，
∴存在直线l：x＝±y＋6，使得NA⊥NB．
3、已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点P，其渐近线方程为y＝±x．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)双曲线C上是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线的标准方程为2x2－y2＝λ，
将P代入双曲线方程，可得λ＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1．
(2)假设双曲线C上存在被点B(1,1)平分的弦，记弦所在的直线为l．
设B(1,1)是弦MN的中点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2．
因为点M，N在双曲线C上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即
两式相减得2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，
所以4(x1－x2)＝2(y1－y2)，所以直线l的斜率kMN＝＝2，
所以直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．
联立直线l与双曲线C的方程，得消去y，得2x2－4x＋3＝0，Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，
所以直线l与双曲线C无交点，所以直线l不存在，故不存在被点B(1,1)平分的弦．
4、如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
解：(1)由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，可得＋＝1(a＞b＞0)，①
由离心率e＝得＝，即a＝2c，则b2＝3c2，②
代入①解得c＝1，a＝2，b＝，
故椭圆的方程为＋＝1．
(2)法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③
代入椭圆方程＋＝1并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中，令x＝4得，M的坐标为(4,3k)，
从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－，
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k，
所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－×，⑤
④代入⑤得k1＋k2＝2k－×＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝(x－1)，
令x＝4，求得M，
从而直线PM的斜率为k3＝，
联立得A，
则直线PA的斜率k1＝，直线PB的斜率为k2＝，
所以k1＋k2＝＋＝2×＝2k3，
故存在常数λ＝2符合题意．
5、已知双曲线方程为－＝1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·＝0，|PF1||PF2|＝6．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点F2作直线l交双曲线于A，B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m,0)，使得·为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．
解：(1)由e＝＝2得c＝2a，∴b＝＝a，
∵·＝0，∴PF1⊥PF2，
在Rt△F1PF2中，由|PF1|－|PF2|＝2a得：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
代入|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1||PF2|＝6得：4c2－12＝4a2，
解得b2＝3，a2＝1，∴双曲线方程为x2－＝1．
(2)当l斜率为0时，l：y＝0，
此时A(－1,0)，B(1,0)，由Q(m,0)得·＝m2－1；
当l斜率不为0时，设l：x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，则Δ＝36t2＋36＞0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
∴·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(ty1＋2－m)(ty2＋2－m)＋y1y2＝(t2＋1)y1·y2＋(2－m)t(y1＋y2)＋(2－m)2＝(t2＋1)＋(2－m)t·＋(2－m)2，
令·＝m2－1，即9(t2＋1)－12t2(2－m)＝(4m－5)(3t2－1)，化简得m＋1＝0，
解得m＝－1，则Q(－1,0)，此时·＝0．
综上所述，存在m＝－1，使得·＝0．
6、已知抛物线D的顶点是椭圆＋＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合．
(1)求抛物线D的方程；
(2)已知动直线l过点P(4,0)，交抛物线D于A，B两点，是否存在垂直于x轴的直线m被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．
解：(1)由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
由椭圆＋＝1知，c2＝a2－b2＝4－3＝1，所以c＝1，
∴抛物线的焦点为(1,0)，
∴＝1，即p＝2，
∴抛物线D的方程为y2＝4x．
(2)设存在直线m：x＝a满足题意，A(x1，y1)，
则圆心M，过M作直线x＝a的垂线，垂足为E，
设直线m与圆M的一个交点为G，可得|EG|2＝|MG|2－|ME|2,
即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝－2
＝y＋＋a(x1＋4)－a2
＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2，
当a＝3时，|EG|2＝3，此时直线m被以AP为直径的圆M所截得的弦长恒为定值2，
因此存在直线m：x＝3满足题意．
7、已知双曲线C1：－＝1与C2：－＝1有相同的渐近线，点F为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点．
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)因为C2的渐近线为y＝±x，
所以＝，
因为c＝＝2，所以a＝1，b＝，
所以双曲线C1的标准方程x2－＝1.
(2)存在．由已知，A，B，M，N，
l过点F与右支交于M，N两点，则l的斜率不为零，
设l：x＝my＋2，由消元得y2＋12my＋9＝0，
因为l与双曲线右支交于两点，
所以，解得m∈，
Δ＝2－4×9＝36>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，
因为k1＝，k2＝≠0，
所以＝＝＝，
因为＝－＝－，
所以my1y2＝－，
所以＝＝＝－，
所以存在λ＝－使得k1＝λk2.

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