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2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的最值、范围问题（解析版）
一、圆锥曲线中最值问题的求解方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
例1 (2022·宿州市高三上学期期末)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，圆E：＋＝4，M，N分别是抛物线C和圆E上的动点，当点M在第一象限且MF⊥x轴时，的最大值为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求·的最小值．
解：(1)当点M在第一象限且MF⊥x轴时，点M的坐标为.
因为圆E的圆心为E，半径r＝2，
所以max＝＋r＝4，
所以 ＋2＝4，解得p＝2或(舍去)，
故抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由题意知F(1，0)，直线l的斜率k存在且不为0，
设直线l的方程为
y＝k，由
可得k2x2－x＋k2＝0.
设P，Q，
则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为直线l⊥MF，所以直线MF的斜率为－.
设M，K，同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝·
＝·＋·＋·＋·
＝·＋·
＝＋
＝x1x2＋x1＋x2＋1＋x3x4＋x3＋x4＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
例2 (2022·青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
解：(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上．
设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，
∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的标准方程为＋＝1．
又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1．
∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1．
(2)由于点(－2,0)在椭圆E外，所以直线l的斜率存在．
设直线l的斜率为k，则直线l：y＝k(x＋2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0．
由Δ＞0得0≤k2＜，从而x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|MN|＝|x1－x2|＝2．
∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝，
∴△F2MN的面积为S＝|MN|·d＝3．
令1＋2k2＝t，则t∈[1,2)，
∴S＝3＝3＝3＝3 ，
当＝即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±．
∴当直线l的斜率为±时，可使△F2MN的面积最大，其最大值．
跟踪练习
1、(2022·陕西西安质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，且点(1，)在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求△AOB面积的最大值．
解：(1)∵抛物线x2＝8y的焦点坐标为(0,2)，
∴椭圆的半焦距c＝2.
由题意可知
解得a2＝8，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵A，B，O三点构成三角形，所以直线l的斜率存在且不为0，
则可设直线l的方程为y＝kx＋3.
联立
消去y整理得(2＋k2)x2＋6kx＋1＝0.
由Δ>0得36k2－4(2＋k2)>0，
即k2－>0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴S△OAB＝|x2－x1|＝＝3·.设＝t(t>0)，
则k2＝，
∴＝＝≤，
当且仅当t＝3，即k2＝时等号成立，
∴△AOB面积的最大值为3×＝2.
2、(2022·咸阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的最小值．
解：(1)双曲线的离心率为，即＝，
因为点A(0,2)在双曲线－＝1上，所以＝1，a＝2，则c＝2，又c2＝a2＋b2，所以b＝2．
所以双曲线C的方程为－＝1．
(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)，
由得(1－m2)y2－4my－8＝0，
设P，Q两点的纵坐标分别为y1，y2，则
解得1＜m＜．
设点M的纵坐标为y0，则y0＝＝，
所以S△OBM＝×|OB|×|y0|＝×2×＝＝，1＜m＜．
易知函数y＝x－在(1，)上单调递增，
所以m－∈，
所以△BOM面积的最小值为2．
3、(2021·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为时，|OB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)延长BF交椭圆C于Q，求△QAB的面积的最大值．
解：(1)由A，得B，
而|OB|＝|BF|.∴F(－2,0)，即c＝2.
由，解得a2＝5，b2＝1.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线BF斜率不存在时，BF：x＝－2，
此时B，|BQ|＝，A，
S△QAB＝××4＝；
当BF所在直线斜率存在时，设BF：y＝k(x＋2)(k≠0)，
联立，得
(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，
设B(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
解法一：|BQ|＝
＝·
＝·.
又O到BQ的距离d＝，
则A到BQ的距离为，
∴S△QAB＝.
令1＋5k2＝t(t>1)，
则S△QAB＝4
＝.
∴当＝时，(S△QAB)max＝.
综上，△QAB的面积的最大值为.
4、(2021·江西五市九校协作体联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点E，A1，A2为椭圆的左、右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x＝－2于点Q，求的最小值．
解：(1)依题意有，＋＝1　①，
因为A1(－a,0)，A2(a,0)，
所以kA1E＝，kA2E＝，
所以·＝－　②，
由①②解得：a2＝2，b2＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋1，
设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝
由弦长公式|MN|＝
＝·＝2 ，
又yP＝＝，
xP＝myP＋1＝－＋1＝，
|PQ|＝|－2－xP|＝ ，
＝·，
令t＝，t≥1，
则＝·＝≥×2＝2，
当t＝，即m＝±1时，取得最小值2.
5、(2021·高考全国卷乙)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题意知M(0，－4)，F(0，)，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2.
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A(x1，)，B(x2，)，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立得消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0　(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝4·.
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－，
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－，
联立得则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1　①，
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4.
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5.
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20.
6、如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解：(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，
∵PA⊥PF，∴·＝0，
则
可得2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6．
由于y>0，故x＝，于是y＝．
∴点P的坐标是．
(2)由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0，点B(6,0)．
设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2．
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝2＋15，
因为－6≤x≤6，
由f(x)＝2＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为．
7、已知椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y＝x－相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，因为它与直线y＝x－只有一个公共点，
所以方程组只有一组解，消去y，整理得(a2＋b2)x2－2a2x＋3a2－a2b2＝0.
所以Δ＝(－2a2)2－4(a2＋b2)(3a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝3.
又焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以a2－b2＝1，联立上式解得a2＝2，b2＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0)时，
则S四边形PMQN＝＝＝2.
若直线PQ的斜率存在，设为k(k≠0)，则直线MN的斜率为－.
所以直线PQ的方程为y＝kx＋k，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程得化简得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|PQ|＝|x1－x2|
＝
＝2×，
同理可得|MN|＝2×.
所以S四边形PMQN＝
＝4×＝4×
＝4×(－)
＝4×
＝4×(－)．
因为4k2＋＋10≥2＋10＝18(当且仅当k2＝1时取等号)，所以∈，所以4×(－)∈.
综上所述，四边形PMQN面积的最小值为，最大值为2.
8、如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，
因为－(2)联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ＝.
因为|PA|＝ ＝ (k＋1)，
|PQ|＝ (xQ－x)＝－，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3(－1所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
二、圆锥曲线中求解范围问题的常见求法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用几何条件构造不等关系．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
例3 (2022·淮北三模)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点H(0，1)，若直线y＝x＋t与椭圆C相交于C，D两点，且直线HC，HD的斜率之和为－2，求实数t的值；
(3)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围．
解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±，
由题意知＝3，又椭圆离心率e＝＝，则c＝a，
所以b2＝a2，所以a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由消去y得7x2＋8tx＋4t2－12＝0，
Δ＝(8t)2－4×7×(4t2－12)>0，解得－x1＋x2＝－，x1x2＝，
由题意可知直线HC和HD的斜率存在，
所以kHC＋kHD＝＋
＝＝－2，
即＝－2，
解得t＝2或－3.
因为－(3)设P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－1，0)，F2(1，0)，
所以可设直线PF1，PF2的方程分别为lPF1：y0x－(x0＋1)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－1)y－y0＝0.
由题意知＝，
由于点P在椭圆上，所以＋＝1，y＝3(1－)，
所以＝.
因为－1所以＝，所以m＝x0，因此－所以m的取值范围是(－，)．
例4 (2022·泉州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
解：(1)因为原点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，
所以2＋2＝b2(b>0)，解得b＝1．
又e2＝＝1－＝，解得a＝2．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
(2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12．
当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0．
由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，
所以y1y2＝．
λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|
＝(m2＋1)·|y1y2|＝＝12．
由m2>12，得0<<，所以<λ<12．
综上，λ的取值范围是．
跟踪练习
1、(2022·广东省质检)已知椭圆C的两个焦点分别是(－1,0)，(1,0)，并且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点Q(0,2)，若C上总存在两个点A、B关于直线y＝x＋m对称，且·<4，求实数m的取值范围．
解：(1)因为椭圆C的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义得
2a＝＋＝2，
所以a＝.
因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝1.
因此，椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)根据题意可设直线AB的方程为y＝－x＋n，
联立，
整理得3x2－4nx＋2n2－2＝0，
由Δ＝(－4n)2－4×3(2n2－2)>0，
得n2<3.
设A(x1，－x1＋n)，B(x2，－x2＋n)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又设AB的中点为M(x0，－x0＋n)，
则x0＝＝，－x0＋n＝.
由于点M在直线y＝x＋m上，
所以＝＋m，得n＝－3m，
代入n2<3，得9m2<3，所以－因为＝(x1，－x1＋n－2)，＝(x2，－x2＋n－2)，
所以·＝2x1x2－(n－2)(x1＋x2)＋(n－2)2
＝－＋＝.
由·<4，得3n2－4n＋8<12,3n2－4n－4<0
得－由①②得－故实数m的取值范围为.
2、已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
解：(1)由△ABP是等腰直角三角形，
得a＝2，B(2，0).
设Q(x0，y0)，则由＝，
得
代入椭圆方程得b2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)依题意得，直线l的斜率存在，方程设为y＝kx－2.
联立
消去y并整理得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.(*)
因直线l与E有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，
故Δ＝(－16k)2－48(1＋4k2)>0，
解得k2>.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系得
因坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0，
又由x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4>0，
解得k2<4，综上可得则则满足条件的斜率k的取值范围为
∪.
3、(2021·陕西部分学校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长与短轴长之积为16.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在直线x＋3y＋t＝0上存在一点P，过P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切，求t的取值范围．
解：(1)由题意得解得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)①当过点P的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为0，易得P(±2，±)．
②过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，
设P(x0，y0)，x0≠±2，
设切线方程为y＝k(x－x0)＋y0，
代入椭圆方程得
(4k2＋1)x2－8k(kx0－y0)x＋4(kx0－y0)2－8＝0，
由Δ＝[8k(kx0－y0)]2－4(4k2＋1)[4(kx0－y0)2－8]＝0，
可得(x－8)k2－2x0y0k＋y－2＝0，
设过点P与椭圆C相切的切线斜率分别为k1，k2，
则k1k2＝，
因为两条切线相互垂直，所以＝－1，
即x＋y＝10(x0≠±2)，
结合①②知，P在圆x2＋y2＝10上，
又因为点P在直线x＋3y＋t＝0上，
所以直线x＋3y＋t＝0与圆x2＋y2＝10有公共点，
则≤，得－10≤t≤10.
综上所述，t的取值范围为[－10,10]．
4、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|＝2，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且·≤，求点P的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得解得a＝2，b＝1，c＝，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为c＝，F1(－，0)，F2(，0)，
设P(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3，
因为＋y2＝1，所以·＝x2＋y2－3＝x2＋1－－3＝(3x2－8)≤，解得－≤x≤.
因为点P在第一象限，
所以x>0，所以0所以点P的横坐标的取值范围是(0， ]．
5、已知双曲线x2－＝1，斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．
(1)若直线l过P(0，1)，且PB＝3AP，求直线l的斜率k；
(2)若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为BP＝3AP，所以＝3，
即(x2，y2－1)＝3(－x1，1－y1)，
所以
所以
所以x1＝－1，y1＝0，即A(－1，0)，
所以k＝kAP＝＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)．
由整理得(2－k2)x2－2kmx－m2－2＝0.
因为直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，
于是2－k2≠0，且Δ＝(－2km)2＋4(2－k2)(m2＋2)>0，
整理得m2＋2－k2>0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
设线段AB的中点坐标(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.
所以AB的垂直平分线方程为
y－＝－(x－)，
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为
(，0)，(0，)．
由题可得||·||＝，
整理得m2＝，k≠0.
所以可得＋2－k2>0，
整理得(k2－2)(k2－|k|－2)>0，k≠0.
解得0<|k|<或|k|>2.
所以k的取值范围是(－∞，－2)∪(－，0)∪(0，)∪(2，＋∞)．
6、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．
解：(1)由题意知解得
则b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，弦MN的中点D(x0，y0)，
由消去y整理得，(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
∵直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点，
∴Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)＞0，即m2＜1＋4k2，
由根与系数的关系得则x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝，
所以直线DG的斜率为kDG＝＝－，
又由直线DG和直线MN垂直可得－·k＝－1，则m＝－，
代入m2＜1＋4k2可得2＜1＋4k2，即k2＞，解得k＞或k＜－．
故所求k的取值范围是∪．2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的最值、范围问题（学生版）
一、圆锥曲线中最值问题的常用求解方法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
例1 (2022·宿州市高三上学期期末)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，圆E：＋＝4，M，N分别是抛物线C和圆E上的动点，当点M在第一象限且MF⊥x轴时，的最大值为4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且直线l⊥MF，设直线MF与抛物线C的另一个交点为K，求·的最小值．
例2 (2022·青岛一模)在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．
跟踪练习
1、(2022·陕西西安质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线x2＝8y的焦点相同，且点(1，)在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点(0,3)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且A，B与坐标原点O构成三角形，求△AOB面积的最大值．
2、(2022·咸阳模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且经过A(0,2)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P，Q，设PQ中点为M，求△BOM(O为坐标原点)面积的最小值．
3、(2021·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为时，|OB|＝|BF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)延长BF交椭圆C于Q，求△QAB的面积的最大值．
.
4、(2021·江西五市九校协作体联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点E，A1，A2为椭圆的左、右顶点，且直线A1E，A2E的斜率的乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线x＝－2于点Q，求的最小值．
5、(2021·高考全国卷乙)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
6、如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
7、已知椭圆的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y＝x－相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于点P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
8、如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
二、圆锥曲线中求解范围问题的常见求法
(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．
(3)利用几何条件构造不等关系．
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围．
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
例3 (2022·淮北三模)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点H(0，1)，若直线y＝x＋t与椭圆C相交于C，D两点，且直线HC，HD的斜率之和为－2，求实数t的值；
(3)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围．
例4 (2022·泉州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(4,0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围．
跟踪练习
1、(2022·广东省质检)已知椭圆C的两个焦点分别是(－1,0)，(1,0)，并且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点Q(0,2)，若C上总存在两个点A、B关于直线y＝x＋m对称，且·<4，求实数m的取值范围．
2、已知P点坐标为(0，－2)，点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
3、(2021·陕西部分学校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，长轴长与短轴长之积为16.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在直线x＋3y＋t＝0上存在一点P，过P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切，求t的取值范围．
4、已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点M，F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|＝2，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且·≤，求点P的横坐标的取值范围．
5、已知双曲线x2－＝1，斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．
(1)若直线l过P(0，1)，且PB＝3AP，求直线l的斜率k；
(2)若线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
6、已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4＋2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G(1,0)，求k的取值范围．

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