资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学
第2章 特殊三角形 测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是(　　)
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
3．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．直角三角形两锐角互余 B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
4．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（　　）
A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
5．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）
A．20cm B． C． D．40cm
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
6．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相较于O，若OB=2则B点到AQ的距离等于（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）
A．183 B．87 C．119 D．81
8．如图，在 中，点D在边BC上，且满足 ，过点D作 ，交AC于点E.设 ， ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标(6，0)，B点坐标(3，-3)，动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC=90°，连结OC，当OC=10时，△OCP的面积为(　　)
A．16 B．64 C．32 D．36
（第10题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　个．
12．如图，把长方形纸条依次沿着线段、折叠，且， 得到“Z”字形图案．已知，要使点，点分别在和的延长线上（不与重合），则　 　．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是　 　.
14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是　 　．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 　 　.
16．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE=　 　度．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形．
（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE
18．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点P.
（1）试说明：；
（2）求的度数.
19．已知 ， ，点 在线段 上，点 在线段 上.设 ， .
（1）如果 ， ， 那么 是什么特殊三角形？请说明理由.
（2）猜想 与 之间有什么关系时，使得 ，并进行证明.
20．如图，在等边中，厘米，厘米，如果点M以3厘米/秒的速度运动从点C到点B运动.
（1）经过多少秒后，是等边三角形？
（2）若点N在线段上由B点向A点运动.点N和点M同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等.当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都是顺时针沿△ABC三边运动，经过20秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少厘米/秒？
21．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）请你连接，并求线段的长.
22．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E、D、F，使得AE＝BD＝CF，过点E作EP⊥DF，垂足为点P
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）求∠DEP的度数；
（3）当点E、D、F分别在三边BA、CB及AC的延长线上时，过点E作EP⊥DF，垂足为点P，若AE＝BD＝CF＝2，若△BDE的周长为19，求DP的长.
23．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．
24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 .
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为　 　；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求△PDC的面积.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学
第2章 特殊三角形 测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意.
故答案为：A.
2．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是(　　)
A．6，15，17 B．7，12，15 C．13，15，20 D．7，24，25
【答案】D
【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是。
A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；
C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．
故选D.
3．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．直角三角形两锐角互余
B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】B
【解析】A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．
故答案为：B．
4．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（　　）
A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm
【答案】C
【解析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．
①当xcm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18， ∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm.
故答案为：C.
5．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A，B两点．若花瓶高16cm，底面圆的周长为24cm，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）
A．20cm B． C． D．40cm
【答案】D
【解析】将圆柱体展开如图，点A为展开图长方形一边的中点，BC为底面圆周长的一半，
∴，
在中，，
∴，
∴需要金色铁丝的长度最少为，
故答案为：D．
6．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相较于O，若OB=2则B点到AQ的距离等于（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】 △ABC是等边三角形∴∠BAP＝∠ACQ＝60°，AB＝AC
∵在△ABP和△ACQ中
∵AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ，AP＝CQ∴△ABP≌△CAQ （SAS）
∴∠ABP＝∠CAQ，
∵∠BAQ＋∠CAQ＝60°∴∠BAQ＋∠ABP＝60°
∵∠BOQ＝∠BAQ＋ABP∴∠BOQ＝60°
如图：过点B作BE⊥AQ于点E，
∴∠BEA=90°，
在Rt△BEO中，∠AOE=60°，
∴∠OBE=30°，
∴OE=BO=1，
∴BE=
即B点到AQ的距离等于.
故答案为：C.
7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（　　）
A．183 B．87 C．119 D．81
【答案】B
【解析】连接BD，
∵∠DAB＝∠BCD＝90°，
∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，
∴S3+S2=S4+S1=135；
∴S4=135-48=87.
故答案为：B
8．如图，在 中，点D在边BC上，且满足 ，过点D作 ，交AC于点E.设 ， ， ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵AB=AD=DC， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
故答案为：D.
9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（　　）
①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四边形BCDE＝BD CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD， ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD， ∠ABD=∠ACE，故①正确；
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴S四边形BCDE=BD CE，故④正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，
在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；
从题干信息没有给出 所以只有时，=90°，
无法说明，更不能说明 故②错误；
∵△ABD≌△ACE， ∴∠ADB=∠AEC，
条件不足以证明
∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．
故答案为：C.
10．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标(6，0)，B点坐标(3，-3)，动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，∠PBC=90°，连结OC，当OC=10时，△OCP的面积为(　　)
A．16 B．64 C．32 D．36
【答案】C
【解析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，延长FB交CE于点D，
∴∠OFD=∠EOF=∠OEC=90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴OF=DE，OE=DF，
∵点B（3，-3），点A（6，0），
∴OF=AF=BF=DE=3，
∵△PBC是等腰直角三角形，
∴PB=BC，∠PBC=90°，
∴∠FPB+∠FBP=90°，∠FBP+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠FPB，
在△FBP和△DCB中
∴△FBP≌△DCB（AAS），
∴BF=DC=3，PF=BD，
∴CE=DE+CD=3+3=6；
在△COE中
∴BD=PF=DF-BF=8-3=5，
∴OP=OF+PF=3+5=8，
∴.
故答案为：C
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝c，b＝c；④a∶b∶c＝1∶2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有　 　个．
【答案】4
【解析】①∵∠C=∠A-∠B，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：2：3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
③∵a= c，b= c，∴a2+b2=c2，∴∠c=90°，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，∴a2＋c2＝b2，∴∠B=90°，故△ABC是直角三角形.
故答案为：4.
12．如图，把长方形纸条依次沿着线段、折叠，且， 得到“Z”字形图案．已知，要使点，点分别在和的延长线上（不与重合），则　 　．
【答案】10
【解析】如图，连接，，点H，点K分别在和的延长线上（不与D，F重合），点M为延长线上一点．
在长方形纸条中，，
∴，，
由折叠可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知：，
∴，
故答案为：10.
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△BED的周长是　 　.
【答案】8cm
【解析】∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，
在△ACD和△AED中， ，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE，
∴△BED的周长＝DE+BD+BE，
＝BD+CD+BE，
＝BC+BE，
＝AC+BE，
＝AE+BE，
＝AB，
∵AB＝8cm，
∴△BED的周长是8cm.
故答案为：8cm.
14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是　 　．
【答案】76
【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，
则，
解得：，
“数学风车”的外围周长．
故答案为：76.
15．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 　 　.
【答案】或
【解析】∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF=
AC=
×1=
；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD=
，
∴AF=AD=
，
故答案为：
或
.
16．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE=　 　度．
【答案】75
【解析】∵∠ACB=90°，CE=AC，
∴∠CAE=∠AEC=45°，
∵∠BAE=15°，∴∠CAB=60°，∴∠B=30°，
∵∠ACB=90°，O为AB的中点，∴CO=BO=AO= AB，
∴△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，∴AC=OC=CE，
∴∠COE=∠CEO= ×（180°-30°）=75°.
故答案为：75.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形．
（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE
【答案】（1）解：如图
（1）解：如图 （2）解：如图， （3）解：如图AD，CE就是所求作的图形.
18．如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点P.
（1）试说明：；
（2）求的度数.
【答案】（1）解：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
.
（2）解：由（1）得，
，
，
.
19．已知 ， ，点 在线段 上，点 在线段 上.设 ， .
（1）如果 ， ， 那么 是什么特殊三角形？请说明理由.
（2）猜想 与 之间有什么关系时，使得 ，并进行证明.
【答案】（1）解： 等腰三角形，理由是：
∵ ， ， ，
∴
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
∴
∴ 是等腰三角形
（2）解：要使 ，则需 ，
∵ ，
，
又∵ ， ，
∴ .
∴ .
20．如图，在等边中，厘米，厘米，如果点M以3厘米/秒的速度运动从点C到点B运动.
（1）经过多少秒后，是等边三角形？
（2）若点N在线段上由B点向A点运动.点N和点M同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等.当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？
（3）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都是顺时针沿△ABC三边运动，经过20秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是多少厘米/秒？
【答案】（1）解：设经过t秒后，是等边三角形，则CM=3t，
∴，
∴，
∴，
答：经过秒后，是等边三角形；
（2）解：设运动时间为t秒，是直角三角形有两种情况：
①当时，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
综上，当或时，是直角三角形；
（3）解：分两种情况讨论：
若点M运动速度快，则，
解得：；
若点N的运动速度快，则，
解得：；
答：点N的运动速度是2.5厘米/秒或4厘米/秒.
21．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）请你连接，并求线段的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ，
由（1）可知 是等腰三角形，
∵N为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵M是 的中点，
∴ .
∵
∴ ，
∴ .
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 交 于点G，连接 ，
∵ ，M是 的中点，
∴N是 的中点，
∴ ，
在 中， ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
即： ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴ .
22．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E、D、F，使得AE＝BD＝CF，过点E作EP⊥DF，垂足为点P
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）求∠DEP的度数；
（3）当点E、D、F分别在三边BA、CB及AC的延长线上时，过点E作EP⊥DF，垂足为点P，若AE＝BD＝CF＝2，若△BDE的周长为19，求DP的长.
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵AE=BD=CF，
∴AB-AE=BC-BD，即BE=CD，
∴△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）解：由（1）得△BDE≌△CFD，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠EDC=∠B+∠BED，
∴∠ EDP+∠CDF=∠B+∠BED，
∴∠ EDP=∠B=60°，
∵EP⊥DF，
∴∠EPD=90°，
∴∠ DEP=30° ；
（3）解：∵△ABC边长为6， AE=BD =2，
∴BE=AB+AE=8，
又∵△BDE的周长为19，
∴ DE=19-BD-BE=9，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=CB，
∴∠EBD=180°-∠ABC=180°-∠ACB=∠DCF=120°，
又∵BD=AE，
∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠DEB=∠FDC，
∵∠EBC=∠EDB+∠DEB=60°，
∴∠EDB+∠FDC=60°，即∠EDP=60°，
又∵EP⊥DF ，
∴∠EPD=90°，
∴∠ DEP=30°，
∴DE=2DP，
∴DP= 4.5.
23．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．
【答案】（1）①
（2）解：
如图，
当EC＝EA时，∠AEC＝60°，
当FC＝FB时，∠BFC＝100°，
当BC＝BG时，∠B＝40°．
如图，
当AC＝AR时，∠CAR＝20°，
当CA＝CW时，∠C＝80°，
如图，
当BC＝BQ时，∠CBQ＝20°，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；
（3）解：如图2中，作AG⊥l于点G．
∵CD为AB边上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°．
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．
∴△CDA不是等腰三角形．
∵CD为△ABC的“友好分割线”，
∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．
∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．
∵∠BAC＝30°，
∴AC＝2CD＝8．
∵DN⊥l于N，
∴∠DNE＝∠AGE＝90°．
∵E为AD的中点，
∴DE＝AE．
在△DNE和△AGE中，
∴△DNE≌△AGE（ASA），
∴DN＝AG．
在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，
∴CM≤CF，AG≤AF，
∴CM+AG≤CF+AF，
即CM+AG≤AC，
∴CM+DN≤8，
∴CM+DN的最大值为8．
【解析】（1）根据“友好分割线”的定义可知，
如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．
等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：①；
24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 .
A．①一定是“方倍三角形”
B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”
D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝ ，则该三角形的面积为　 　；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝ ，求△PDC的面积.
【答案】（1）A
（2）
（3）解：由题意可知：
△ABP≌△DBP，
∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP，
根据“方倍三角形”定义可知：
BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，
∴AD＝AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°，
∴∠ABP＝∠DBP＝30°，
∴∠PBC＝90°，
∵∠CPB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DPC＝90°，
∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△APD为等腰直角三角形，
∴AP＝DP＝ ，
∴AD＝2，
延长BP交AD于点E，如图，
∵∠ABP＝∠PBD，
∴BE⊥AD，PE＝ AD＝AE＝1，
∴BE＝ ＝ ，
∴PB＝BE﹣PE＝ ﹣1，
∵∠CPB＝∠PCB＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴PC＝ PB＝ ﹣ ，
∴S△PDC＝ PC PD＝ （ ﹣ ）× ＝ ﹣1.
【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，
设边长为a，
则a2+a2＝2a2，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
a2+b2＝c2，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：A；
（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，
则满足a2+b2＝3，
根据“方倍三角形”定义，还满足：
a2+3＝2b2，
联立解得 ，
则Rt△ABC的面积为： ；
故答案为： ；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1

展开更多......

收起↑