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专题二 直线与圆的综合
【题型1】 圆的切线与弦长问题
1、直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
2、已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（ ）
A． B． C． D．
3、已知：，点，，从点观察点，要使视线不被挡住，则实数的取值范围是（ ）
A．（－∞，－2）∪（2，＋∞） B．∪
C．∪ D．
4、已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________.
5、已知圆，直线
（1）证明:不论m为何值，直线l与圆相交；
（2）求直线l与圆相交弦长的取值范围．
6、已知直线：和圆：.
（1）求圆的圆心、半径
（2）求证：无论为何值，直线总与圆有交点；
（3）为何值时，直线被圆截得的弦最短？求出此时的弦长.
【题型2】 求直线与圆切点弦问题
7、过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______．
8、设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）．
A． B． C． D．2
【题型3】 求圆的公共弦问题
9、已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点P，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10、若圆与圆相交，且公共弦长为，则__________.
11、已知圆与．
（1）过点作直线与圆相切，求的方程；
（2）若圆与圆相交于、两点，求的长．
【题型4】 求圆中最值问题
12、直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13、已知点在圆：上运动．试求：
（1）的最值；
（2）的最值；
14、已知圆过点．
（1）求圆O的方程；
（2）过点的直线l与圆O交于A，B两点，设点，求面积的最大值，并求出此时直线l的方程．
15、如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；
（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S T两点，求的最小值.
答案解析
1、【答案】B
【解析】圆的圆心到直线的距离为：．即圆心过直线直线被圆截得的弦长等于圆的直径：．故选：
2、【答案】B
圆的圆心，
所以圆心到直线的距离为，则，
而，所以，解得：.
故选：B.
3、【答案】B
解：易知点在直线上，过点作圆的切线，
设切线的斜率为，则切线方程为，
即，
由，得，
∴切线方程为，和直线的交点坐标分别为，
故要使视线不被挡住，则实数的取值范围是.
故选：B.
4、【答案】
由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是
故答案为：
5、【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由圆C的一般式方程可得圆的标准方程，
直线l化为： ．，解得直线过点，
，点在圆C内，故直线l与圆相交.
(2)直线l过圆心C时，弦最长，此时弦长为14，
当直线l与弦l最长垂直时，弦长最短，此时为弦的中点，
弦长为，
所以弦长的取值范围是．
6、【解析】（1）因为
所以，，所以，
所以半径.
（2）由得，
由得，所以直线经过定点，
因为，所以定点在圆内，
所以无论为何值，直线总与圆有交点.
（3）设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦为，
则，则当最大值时，弦长最小，
因为，当且仅当时，取最大值，
取最小值，此时，所以.
所以时，直线被圆截得的弦最短，弦长为.
7、【答案】
【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为，
所以过点作圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以直线的方程为，即；
方法2：设，，则由，可得，
同理可得，
所以直线的方程为.
故答案为：
8、【答案】B
【解析】圆的方程为：，
圆心、半径.
根据对称性可知，四边形PACB的面积为，要使四边形面积最小，则最需最小，即最小时为圆心到直线，
所以四边形PACB的面积的最小值为.
故选：B.
9、【答案】A
由，
两式相减得公共弦所在直线方程为：，
分别取，得，解得，即
故选：A
10、【答案】
圆与圆的方程相减即为公共弦所在直线方程：
，
圆圆心(0，0)到公共弦距离d＝，
则公共弦长度为，解得a＝．
故答案为：．
11、【答案】(1)或(2)
(1)解：圆的方程可化为：，即：圆的圆心为，半径为．
若直线的斜率不存在，方程为：，与圆相切，满足条件．
若直线的斜率存在，设斜率为，方程为：，即：
由与圆相切可得：，解得：
所以的方程为：，即：
综上可得的方程为：或．
(2)联立两圆方程得：，
消去二次项得所在直线的方程：，
圆的圆心到的距离，
所以
12、【答案】C
【解析】因为，所以.
圆的标准方程，圆心，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的取值范围为：，
所以.
故选:C.
13、【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)最大值为，最小值为．
【解析】(1)解：设圆的圆心为，半径，点在圆上，
所以表示到定点的距离的平方，因为，所以，即，所以，即的最大值为，最小值为；
(2)解：点在圆上，则表示圆上的点与点的连线的斜率，根据题意画出图形，当与（或重合时，直线与圆相切，
设直线解析式为，即，
圆心到直线的距离，即，解得，
，即，
的最大值为，最小值为．
14、【答案】(1)
(2)面积的最大值34.375，此时直线方程为.
(1)解：因为圆过点，
所以，
所以圆O的方程为；
(2)当直线的斜率不存在时：直线方程为，
此时，点P到直线的距离为，
所以，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
圆心到直线的距离为，
则，
点P到直线的距离为，
所以，
，
，
当，即，
面积的最大值34.375，此时直线方程为
15、【答案】(1)），直线过定点(2)
(1)，，∴
故以P为圆心，以为半径的圆P的方程为，
显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，
直线AB的方程为，
即，所以，所以直线AB过定点.
(2)设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设PA，PB的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
，
当时，取得最小值.

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